tema 8 _numeros complejos

7/25/2019 Tema 8 _numeros Complejos

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS

DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ ****NOVENO GRADO A ****

SEGUNDO TRIMESTRE *** 2016 *** 1

NOMBRES Y APELLIDOS : _________________________________________

PENSAMIENTO NUMERICO Y SISTEMA NUMERICO-ESPACIAL

8. LOS NUMEROS COMPLEJOS

Vamos a clasificar los nmeros como soluciones de las ecuaciones. Observa las siguientes

ecuaciones:

Ahora observa la ecuacin: = 1 que como sabes no hay ningn nmero cuyo cuadradosea negativo. En el siglo XVI inventaron un nmero que cumple la ecuacin anterior y llamaron launidad imaginaria, .Es decir definimos la unidad imaginaria como un nmero ( no real ) que cumple : = 1ACTIVIDAD 1 : Escribir los siguientes radicales como nmeros imaginarios puros:

a. 16 =

b. 162 =

c. 17 =

d. 3 72 =

EJERCICIO N 1 :

1. Escribir como nmero imaginario cada una

de las siguientes races:

a. 9 = e. 100 =b.

12 = f.

=

c. 72 = g. =d. 25 = h. 2400 =

2. Reducir cada expresin y expresarla como un

nmero imaginario:

a. 64 225 =b. 25 5 9 =c. 36 49 =d. 0,7144 0,6169 =e. 450 75 =f. 375 525 =


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8.1 POTENCIAS DE Las potencias de la unidad imaginaria , se obtiene a travs de las propiedades de la potenciacin yla definicin de . As :

Las cuatro primeras potencias de i se denominan potencias bsicas de i. A partir de la quinta

potencia los resultados se repiten en perodos de cuatro. As para calcular el valor de una potencia

de i con exponente mayor que cuatro se procede as:

Se divide el exponente de la potencia entre cuatro y se expresa de la forma 4 1, donde es el cociente y es el residuo de la anterior divisin.

Para calcular el resultado se aplican las propiedades de la potenciacin teniendo en cuenta las

potencias bsicas de i.

Ejemplo: Calcular la potencia de = .+ = .. = (). = (1). = EJERCICIO N 2 :

1. Hallar las potencias de :a. . c. d. e. f. g. h.

2. Calcular:

a. (4) = e. + 6 =

b. (2) = f. 8 - + =c. 6 + 32 =d. ( 5 7 ) + ( 5 6 ) - (12) =

8.2 NUMEROS COMPLEJOS

Un nmero complejo es una combinacin de unnmero real

y unnmero imaginario y lo denotamos

con la letra . = { | , = 1 }Se tiene as que el sistema de nmeros se ha ido ampliando.

El nmero complejo se distinguen dos partes : el nmero se llama parte real delnmero complejo y el nmero , se llama parte imaginaria del nmero complejo.
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Por ejemplo, el nmero 4 5 , la parte real es 4 y la parte imaginaria es 5 .As, los nmeros complejos de la forma

= 0 son nmeros reales, por lo tantoTODOS LOS NUMEROS REALES SON

COMPLEJOS.

Los nmeros imaginarios a los de la forma

= 0 20 , por lo tanto TODOS LOSNUMEROS IMAGINARIOS SON COMPLEJOS.

FORMA BINOMIAL:

La forma binmica de un nmero complejo

es de la forma .FORMA CARTESIANA:

Como pareja ordenada donde la primera

componente es la parte real y la segunda

componente es el coeficiente de la parte

imaginaria. Es decir, el nmero en laforma cartesiana es ( , ).

NUMEROS COMPLEJOS IGUALES:

Dos nmeros complejos son iguales si y solo si, sus partes reales y sus partes imaginarias,

respectivamente, son iguales. Es decir,

= si y solo si

= y

=

REPRESENTACION GRAFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS:

Todo nmero complejo se representa geomtricamente sobre el

plano cartesiano.

En el eje horizontal se ubican los nmeros reales (eje real)y en el

eje vertical se ubican los nmeros imaginarios (eje imaginario).

Para representar el nmero se usa la forma cartesiana(,) , donde la primera componente , se ubica sobre el eje realy la segunda componente , se ubica sobre el eje imaginario.EJERCICIO N 3 :

1. Complete la tabla: 2. Escriba en forma binomial el nmerocomplejo representado en el plano cartesiano:


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8.3 CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO

El conjugado de un nmero complejo es otro nmero complejo que se diferencia del anterior en el

signo de la parte imaginaria.

El conjugado de un nmero se simboliza por . Si = , entonces, =

EJERCICIO N 4 :

1. Halla el conjugado de cada nmero complejo :

3. Escribe en forma binomial el conjugado de cada

nmero representado en el plano cartesiano:

2. Completa la tabla:

3. Escribe cada nmero en su forma binomial: 4. Representa grficamente los siguientes

nmeros complejos:


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4. Representa en el plano complejo cada nmero

complejo y su conjugado:

8.5 OPERACIONES CON LOS NUMEROS COMPLEJOS

En los siguientes ejemplos pueden observar cmo sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos

nmeros complejos:

Suma: ( 2+ 3i ) + ( 15i ) = ( 2 + 1 ) + ( 35 )i = 32i

Resta: ( 2+ 3i )( 15i ) = ( 21 ) + ( 3(5)i) = 1 + 8i

Multiplicacin:

( 2 + 3i ).( 1 5i )= 2.1 + 2.(5i) + 3 i.1 + 3i .(5i) = 210i + 3i15i2

= 27i 15.(-1) = 177i

Divisin: Para resolver la divisin de dos nmeros complejos, siendo el divisor no nulo,

multiplicamos a ambospor el conjugado del divisor, del siguiente modo:

i

i

51

32

=

i

i

i

i

51

51.

51

32

=

)5(1

153102

i

iii

=

251

1313

i = i

26

13

26

13

= i

2

1

2

1

EJERCICIO N 5:

Consideren los complejos:1

z =2 + i ;2

z = 3 + 5 i ;3

z = 4i y resuelvan las

siguientes operaciones:

a)1

z +2

z 3

z = b)1

z +2

z 3z = c) 1z 3z = d) 5. 3z =

e) (1

z +2

z ).3

z = f) (1

z +2

z ).(1

z 3z ) = g) 1z . 2z 3z = h) ( 3z ) =

EJERCICIO N 6:

Consideren los complejos:1

z = 3i ;2

z =4 i ;3

z = 7 + 2 i y resuelvan las siguientes

divisiones:

a) 1

2

z

z

b) 3

1

z

z

c) 2

3

z

z

d) 3

2

z

z

e)

2

3.16z

z

= f)1

1

z

=

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