tema 7 modelos y sistemas. - sistemamid.com

Apuntes de regulación Automática.

Prácticas y Problemas.

- -

1

TEMA 7

Modelos y Sistemas. OBJETIVOS:

Para continuar el estudio de los sistemas, introducimos la modelización simple

de sistemas, realizada a partir de las ecuaciones físicas que los describen, en concreto de las ecuaciones diferenciales lineales que ligan las fuerzas, los momentos y los desplazamientos.

7.1 Linealización

Pero en general los sistemas físicos no son lineales, y basta con que lo sea algún elemento de la cadena, pero los métodos de cálculo en los sistemas sencillos han sido pensados para sistemas lineales, y obtenemos modelos linealizados de los sistemas no lineales. La no linealidad se manifiesta en la aparición de productos, raíces, potencias, etc.. de las variables que intervienen, o bien que alguno de los coeficientes fuera variable

Como es sabido, un sistema lineal representado por su FDT, ha de cumplir el principio de superposición. Esto es, si el sistema sometido a una entrada x (t) da una respuesta y (t)

Esta condición caracteriza el comportamiento dinámico de un sistema que sea

lineal. A pesar de que solamente un número reducido de sistemas de regulación actúan según una ecuación diferencial lineal y la mayoría lo harán según ecuaciones no lineales, algunas de estas últimas pueden ser sustituidas por otras lineales equivalentes, si se considera que el sistema está trabajando en su punto nominal de funcionamiento y las alteraciones a que se ve sometido son muy pequeñas, todas además alrededor del punto de funcionamiento.

En un problema de control en los casos simples, y casi en todos, nos interesa el

estudios del sistema en un rango reducido de funcionamiento (es decir alrededor de un punto) no en todo el rango, pues para ese rango puede ser suficiente una aproximación lineal del modelo.



- -

2

El método se denomina de "linealización en torno al punto de funcionamiento". Además existe también la linealización de elementos fuertemente no lineales cuyos procedimientos son tratados en la teoría de los sistemas de regulación no lineales, pero eso esta fuera de nuestro objetivo.

El caso de linealización de sistemas sometidos a pequeñas perturbaciones es

bastante corriente en la práctica, especialmente cuando se trata de sistemas físicos de regulación cuyo objetivo es mantener la variable de salida en un valor nominal fijo, constante.

Sea un sistema con una entrada X (t) a la cual corresponde la salida Y(t),

ligadas por la relación funcional no lineal:

representada en la figura. Sea P, el punto de funcionamiento nominal, al que corresponde los valores:

Si el sistema está en su punto de funcionamiento P, y se ve sometido a una variación, o perturbación, pasará a actuar en el punto

los efectos debidos á la mencionada perturbación, serán función del tiempo.



- -

3

En tal caso la expresión puede ser desarrollada en serie de Taylor llada en serie de Taylor en torno al punto P, resultando la expresión:

en la que las derivadas

son evaluadas en el punto de funcionamiento X = X0 , con lo que resultarán constantes.

Si la perturbación introducida en el sistema es pequeña pueden despreciarse los términos de orden superior de la ecuación, resultando

La ecuación indica que el efecto "y" causado por la perturbación “x" es proporcional a esta, dando un modelo matemático lineal para el sistema no lineal.

Dicho de otra manera, se ha sustituido la curva de la figura por su tangente en el punto P de funcionamiento nominal para desviaciones

muy pequeñas en torno al mismo, lo que puede resultar una aproximación razonable si x es lo suficientemente pequeña.

Este será nuestro problema mas complejo pues no resulta rentable hoy complicar el proceso mucho mas, pues basándose en el mismo método se pueden linealizar en forma semejante funciones multivariables.



- -

4

Ejemplo Sea un depósito de sección constante en toda su altura A1 y que está lleno de agua hasta una altura variable, a medida que se vacía, h(t), el caudal q(t) que sale por el fondo del depósito es controlado mediante una válvula que abre o cierra el orificio de área a(t).

Se trata de obtener mediante las ecuaciones que describen el sistema, el modelo, comprobar que no es lineal, y de él el sistema linealizado. A continuación por ejemplo aplicarlo al caso de que entre un caudal Qe(t) y sale un caudal Qs(t) y pretendemos mantener constante la altura h(t) a lo largo del tiempo. La energía potencial de una masa de agua m, situada en la superficie, superficie libre del líquido llamaremos, situada a una altura h(t) es:

La misma masa de agua cuando sale del depósito cuando sale por el tubo de salida salida, tendrá una energía cinética

Por el principio de conservación de la energía, ambas energías tienen que ser iguales, y despejando, tenemos la velocidad de salida del agua en función de la altura:



- -

5

Esta es una relación no lineal, pues depende de la potencia, raiz cuadrada. El caudal de salida lo obtenemos multiplicando la sección del orifico de salida a(t) por la velocidad de salida v(t)

La variación del caudal entre el que entra Qe(t) y el que sale Qs(t) es igual a la variación del volumen A1 h(t) de agua del depósito, es decir:

Si mantenemos Igualando estas dos ecuaciones obtenemos el modelo matemático de una ecuación diferencial no lineal, pues se relaciona por una raíz cuadrada

Para hacer la linealización del sistema, empezamos por escoger un punto de funcionamiento, en el caso de un depósito de gran altura, habría que linealizarla a tramos, según la altura.

En este caso elegimos un punto de equilibrio de altura

el caudal de salida en un punto dado es

La ecuación que liga el caudal que entra, el que sale y la altura del depósito es:

Esta ecuación sigue siendo no lineal, en el punto de equilibrio el caudal de entrada en este punto es Qe0 y la altura a mantener constante h0



- -

6

..

Esta si es ya una ecuación lineal en torno al punto de funcionamiento, y supone que la variación de la altura alrededor del equilibrio va a ser pequeña, pues intentamos mantener un control de nivel, y el caudal de salida va a variar poco pues la sección de la salida también va a tener pequeñas variaciones.

Para expresar a estas mismas relaciones, definimos una nuevas variables:

Que indican los pequeños incrementos que toman las variables alrededor del punto de equilibrio.

La funcion

Que liga las variables h y a

� � � �

� � � �

.

10

0

..

100

0

0

..

.00

2

2

0..0

0..0

hAhh

KQ

hhAhhh

KQQ

evaluando

hhh

fhh

hf

QQ

e

ee

hh

hhhh

hhee

��

�¸�¹�·

�¨�©�§ ��

�¸�¹�·

�¨�©�§ ��

�w

�w��

�w�w

��

�

� �

�



- -

7

7.2 Modelización. Para poder trabajar con sistemas reales, dadas las limitaciones con que contamos, solo trabajamos con sistemas sencillos, reducimos cualquier sistema a unos cuantos elementos fundamentales, simples pero suficientes para trabajar. Estos elementos permiten representar, generar un modelo sencillo y simple que nos permita un manejo adecuado. Para una mejor aproximación a los modelos reales, para establecer las ecuaciones adecuadas, partimos de las ecuaciones diferenciales, y en cada caso dividiéndolos según los tipos fundamentales:

�x Sistemas Mecánicos. �x Sistemas Eléctricos �x Sistemas Electromecánicos. �x Hidráulicos. �x Térmicos. Etc..

Como podemos observar a lo largo del desarrollo, las FDT obtenidas, nos

permiten plantearnos una similitud de comportamientos, entre elementos totalmente diferentes. 7.2.1.- Elemento de los sistemas eléctricos.

Para establecer las ecuaciones de una red eléctrica, por el método de mallas y nodos, que se formulan a partir de las leyes de Kirchoff, que relacionan las tensiones e intensidades en cada elemento. De entre los elementos eléctrico electrónicos, subrayaremos el,

Amplificador Electrónico – Amplificador operacional.

Un circuito electrónico, construido con transistores, con dos características típicas de proporcionar una amplificación según los valores deseados, y siempre da inversión de las señal de entrada. Es el elemento a utilizar en los sumadores.



- -

8

Caracterizado por elevada ganancia en circuito abierto, de 106, muy pequeña corriente de entrada al circuito, y una tensión de salida limitada a los valores mínimos por los elementos de protección del circuito. Se adopta como representación, el denominado amplificador operacional ideal, en el que consideramos: * Una impedancia de entrada muy elevada, * Una impedancia de salida muy pequeña

* Una ganancia A, en circuito abierto muy alta El circuito de utilización del amplificador operacional, A.O. en adelante es:

En el circuito básico, sin conectar elementos externos, según las características

del circuito se cumple que: Es decir en condiciones ideales, la amplificación A, multiplica a la tensión presente en su entrada, Uo. por un cierto valor, en circuito abierto, a es infinito. Además invierte la señal. Por ello, para controlar esa amplificación colocamos un divisor de tensión como el visto anteriormente:

Y puesto que no entra corriente al A.O., en Uo la corriente de entrada es nula, se

debe de cumplir que las corrientes que circulan por las resistencias son las mismas.

�f�|

0�|

�f�|A

oAUUA

tierraaconectadaestáU

UUAUs

��

�

� ��

��

��

��

)(

.0

)(

2

21

IRUsUo

IrIrI

��

� �



- -

9

Y también se cumplirá que:

21 RRUsUe

I��

�

Sustituyendo esta expresión en la

anterior obtenemos:

AUoUsconjunto

UeRR

RUs

RRR

RRUeR

RRUsR

RRUsR

RRUsR

RRUsUeRRRUs

RRUsUe

RUsUo

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

212

211

212

212

212

211

21)(2)21()

21(2

Podemos representarlos en un bloque total:

Y calcular su FDT como

12

2122

)1(122

121 RR

RRAR

RARR

AR

ARRRA

��|��

��|

��

� ��

��



- -

10

7.2.2.- Elemento de los sistemas mecánicos. En los sistemas mecánicos distinguimos etre sistemas mecánicos de traslación y

de rotación, comenzaremos por los de traslación que realizan un desplazamiento lineal.

Los elementos constituyentes son: �x Masa �x Muelle �x Rozamiento viscoso ó amortiguador

Los símbolos y unidades utilizados son los habituales en los sistemas mecánicos. Magnitud Símbolo Unidades Distancia Y(t) Metro Velocidad V Metro/segundo Aceleración a Metros/seg2

Fuerza F Newton Rigidez K Newton/metro Rozamiento(amortiguador) B Newton/(m/seg) Masa M Kgramo

Sus símbolos y ecuaciones harán referencia a los elementos fundamentales que son el desplazamiento y la fuerza.

Masa: Se define para el elemento al que al aplicarle una fuerza, f(t), se produce un

desplazamiento y(t).

Que tomando transformadas tenemos unos bloques, en función de fuerza, o

desplazamiento:

2

2 )()(dt

tydMtf �



- -

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Resorte lineal:

Se define para el elemento al que al aplicarle una fuerza, se opne al desplazamiento proporcionalmente a su constante K.

Lo que definimos como )()()()( sKYsFtKytf � � Y representamos por

Rozamiento viscoso (amortiguador).

Se define para el elemento al que al aplicarle una fuerza se opone proporcionalmente a la velocidad de aplicación de la fuerza:

Que tomando transformadas de Laplace, obtenemos los bloques representativos:

Ejemplo: El bloque mecánico en que están englobados todos los elementos, es el

compuesto por una masa suspendida de un sólido, mediante un amortiguador y un resorte. Por supuesto, se suponen todos los elementos reducidos a un punto, en el que se concentran todos los esfuerzos, se aplica la fuerza, y se miden los desplazamiento.

dttdy

Btf)()( �



- -

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Aplicando la ley del movimiento de Newton al conjunto, tenemos su descripción

mediante una ecuación diferencial. Si aplicamos transformadas y simplificamos tenemos una FDT, similar en la

forma y en conjunto, a la obtenida para el circuito eléctrico, que tenía todos los componentes, R,L,C,

Y de manera puramente deductiva, o bien por transformaciones de la FDT

anterior, obtenemos un diagrama de bloque como:

)()()()(2

2

tftKydt

tdyB

dttyd

M � ��



- -

13

7.2.3.- Elementos de los sistemas mecánicos de rotación.

En los sistemas mecánicos de rotación la ecuación a considerar es la suma de los momentos de Inercia, por contraposición a la suma de los momentos de traslación anterior. Son similares a los de traslación variando la terminología y símbolos.

Al aplicar un par de rotación instantáneo, P(s), se produce un giro de �T grados, y

la masa de inercia J, al aplicarle un par constante, gira a velocidad angular �Z. Se oponen al movimiento el resorte de giro K, y el freno viscoso B.

Los elementos constituyentes son: �x Masa de Inercia J. �x Resorte K. �x Freno viscoso ó amortiguador B.

Los símbolos y unidades utilizados son los habituales en los sistemas mecánicos de rotación: Magnitud Símbolo Unidades Angulo �T (t) Radianes Velocidad angular �Z Radian/segundo Aceleración angular �D Radianes/seg2

Par (de giro) P ó C Newton / metro Monteo de Inercia J Kgramo/metro2 Rigidez (Resorte) K Newton/(m/rad) Rozamiento (amortiguador) B Newton m. /rad /seg

Los 3 elementos básicos de un sistema mecánico de rotación con sus símbolos y ecuaciones diferenciales, y Transformadas de Laplace, para representar esas FDT, son: Momento de inercia (“Masa de Inercia”):

Se define para el elemento al que al aplicarle un Par C(t) gira con una

aceleración angular �D(t). Siendo:

2

2 )()(dt

tdJtC

�4�



- -

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Ejemplo: Engranajes:

Un elemento mecánico simple es el conjunto o relación de engranajes que utilizamos para multiplicar el par que extraemos de un motor, y multiplicarlos aun a costa de reducir la velocidad o viceversa. Podemos pues relacionar los distintos elementos, suponiendo engranajes ideales:

Para la relación entre radios y número de engranajes, tenemos:

Para la relación ángulos girados, radios de los engranajes

Para la relación con el par obtenido y producido:

Para la relación entre en par C y la velocidad angular a que giran los engranajes, se cumple que:

Por último enlazando todas las expresiones tenemos que:



- -

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Ejemplo: Suspensión de un móvil :

Un ejemplo interesante resuelto en algunos libros, es el modelo simplificado de la suspensión de un móvil, en el que no se consideran barras de torsión, y otros elementos añadidos para aumenta la estabilidad.

Consideramos solamente el conjunto masa del móvil, muelles de suspensión y amortiguadores,

como se comportan al encontrar baches en su recorrido.

Con lo que el modelo a considerar para las suspensiones, sería el de la figura, considerando

idénticos los cuatro conjuntos, estudiamos uno de ellos:

Para el conjunto de la figura, las ecuaciones que ligan el desplazamiento de la carrocería del coche respecto al suelo, nos daría una medida del confort en la marcha, así como de la eficacia de la suspensión,

Siendo P el punto de contacto con el suelo, el desplazamiento

de la carrocería Xo respecto al suelo Xi:

Tomando transformadas de Laplace y considerando

condiciones iniciales nulas,



- -

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La función de transferencia que obtenemos, sería:

Eso nos permitiría estudiar cuanto tarda el móvil, en responder a escalones (baches) que encuentre en el recorrido, puesto que al avanzar, si tarda mas de un cierto tiempo en “conectar” con el firme, cuando encuentre baches muy cercanos, puede entrar en oscilación y perder la dirección.

Esta FDT es similar a la que tendríamos en la suspensión de una motocicleta, pero podemos

añadir un detalle, considerar la existencia de una rueda hinchada a una cierta presión, por tanto, dotada de una cierta elasticidad, en el contacto con la superficie.

Siendo ahora m2 la masa de la moto, m1 la de la rueda, unida a la moto por un muelle y un

amortiguador, y la elasticidad de la rueda, es función de la presión de hinchado y representamos por K1. Los desplazamientos respectivos son u, x e y. Con

ellos estudiamos como responde ante los baches de altura u. Las ecuaciones que describe la dinámica son:

Tomando transformadas de Laplace, y considerando condiciones iniciales nulas:

Podemos ahora establecer distintas relaciones, si queremos moto con suelo, eliminamos entre las

dos X(s), y tendremos:



- -

17

Se propone completar los diagramas de bloques elementales, escribiendo en el gráfico los

elementos que faltan:



- -

18

7.3.. - CARACTERIZACIÓN DE LA RESPUESTA TEMPORAL La respuesta temporal ante una señal de entrada, comenzamos por estudiarla para sistemas de primer orden, que su E.C. y comenzamos por estudiar la respuesta de un sistema de primer orden, si su ecuación diferencial es de primer grado, ante entradas distintas, y procederemos siempre de idéntica manera:

�x En primer lugar obtenemos la FDT total del sistema, sea cual sea su representación.

�x Obtenemos la transformada de la señal de salida, como el producto de la transformada de la entrada, multiplicada por la transformada del impulso unitario, por la FDT del sistema.

Y aplicando la Transformada inversa, obtenemos la Función temporal:

Así calculamos la señal temporal de salida. El comando CC que se va a emplear en esta práctica es el comando TIME, que se encarga de

representar gráficamente la respuesta temporal. Veremos después las distintas opciones que permite el comando pero empezamos escribiendo una FDT, que nos dé una gráfica:

Introducimos los comandos que se indican en la siguiente línea: G1=5/(s+5) �€ con esta orden definimos la FDT G2= 1/s �€ es la señal de entrada, escalón unitario. G3 = (1/s) * ( 5/(s+5) o lo que es lo mismo G3 = G1 * G2

Representamos la transformada de Laplace inversa de la respuesta ante la entrada, mediante:

TIME G3,4,a �€

Se ha definido una FDT de un sistema de primer orden y se representa la respuesta de dicho sistema ante una entrada en escalón unitario. Este procedimiento general se utiliza con distintas entradas:

7.4.. - SEÑALES DE ENTRADA NORMALIZADAS Para estudiar las características de la dinámica temporal de los sistemas se les aplican una serie de entradas típicas que permiten establecer comparaciones entre las respuestas. Algunas de estas entradas normalizadas son ofrecidas por el comando TIME y otras deben ser obtenidas a partir de las existentes, utilizando las características de la respuesta impulsional.

7.4.1.- Impulso. La respuesta de un sistema ante una entrada en forma de impulso unitario se obtiene con el comando TIME, indicándole la FDT correspondiente a dicho proceso y eligiendo la opción 4 para el tipo de

respuesta. Así 6

5)(1��

� s

sG para representar la respuesta a un impulso usamos TIME,G1, 4, AUTO

.

)()(

1)(

sRsY

sK

sG G � ��

� �W

1*)(*)()(

��

sK

sRssY G

�W�G�»

�¼

�º�«�¬

�ª��

� �»�¼

�º�«�¬

�ª��

� ��

1*)(*1

1*)(*)()( 11

sK

sRLsK

sRsLtY GG

�W�W�G

55)(1��

� s

sG



- -

19

7.4.2.- Escalón. Cuando la entrada del sistema es un escalón unitario, la respuesta se obtiene multiplicando la FDT por la función escaló 1/s y representando con TIME. Del mismo modo que en el caso anterior, si el escalón no es unitario bastará con multiplicar la FDT del proceso por la amplitud del escalón de entrada.

Dado6

5)(1��

� s

sG con un escalón como señal de entrada de valor 3 unidades , es decir s3 , tendremos en

total 6

53)(2��

� ss

sG como FDT a usar, con la respuesta impulsional. Representar. mediante

TIME,G2,4,AUTO ; Y obtendríamos la gráfica:... 7.4.3.- Rampa de velocidad La respuesta a obtener ante entradas en rampa de velocidad aplicando el método de la respuesta impulsional .

La respuesta de 4

4)(2��

� s

sG ante una rampa de velocidad unitaria: 2

1s

Multiplicamos por la entrada en rampa 4

41)(32 ��

� ss

sG y aplico impulso unitario

Puesto que obtenemos la Señal temporal:

Que mediante la orden TIME,G3,4,AUTO representamos en la gráfica:

7.4.4.- Rampa de aceleración. La rampa de aceleración (parábola) es una entrada de un orden superior a la anterior, en 3

1s

. La

respuesta ante este tipo de entradas se puede obtener dividiendo la FDT del proceso por s3 y eligiendo la opción 4. como siempre para obtener respuesta impulsional. Si la parábola no es unitaria, además será necesario multiplicar la FDT del proceso por la amplitud de la parábola.

Todos los casos representados hasta ahora han sido con FDT en bucle abierto, por supuesto para

representarlos en bucle cerrado, únicamente es necesario calcular previamente la FDT en bucle cerrado, multiplicada por las entradas, según sean estas, impulso 1, escalón 1/s, etc.., y aplicar igualmente la opción 4

7.5. - SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Para los sistemas de primer orden, representados por una ecuación diferencial de primer orden en el tiempo, ó son aquellos sistemas cuya dinámica puede ser descrita por una ecuación diferencial de primer orden. Aplicada la transformada de Laplace, a la ecuación diferencial, la función de transferencia general

del sistema de primer orden resulta ser: 1

)(��

� s

KsG G

�WSe dice representada como constante de tiempo.

O bien en la forma: as

KsG

�� )( De una cte y un polo en el denominador

�»�¼

�º�«�¬

�ª��

� �»�¼

�º�«�¬

�ª��

� �»�¼

�º�«�¬

�ª��

� ��

44*1

1*)(*1

1*)(*)()( 1

111

ssL

sK

sRLsK

sRsLtY GG

�W�W�G



- -

20

Expresada de esta forma los parámetros del sistema de primer orden tienen el siguiente significado físico: �‘ KG : Ganancia estática del sistema. Factor adimensional que representa la relación entre la salida y la

entrada del sistema, una vez éste ha alcanzado su régimen permanente �‘ �W : Constante de tiempo del sistema. Corresponde al tiempo que le cuesta a la salida del sistema

alcanzar el 63% del valor final. Para obtener la expresión temporal de la señal de salida, de un sistema de primer orden, procedemos a

calcularla. �»�¼

�º�«�¬

�ª��

� �»�¼

�º�«�¬

�ª��

� ��

1*1

1*)(*)()( 1

11

s

K

sL

s

KsRsLtY GG

�W�W�G

Y Obtenemos: )1()( tG eKtY

�W��

�� Podemos calcular algunos puntos notables, dado que para t tendiendo a infinito es obvio que la expresión tendería a KG, pero no hace falta llegar tan lejos, pues si hacemos t = 5�W la expresión anterior se

transforma en : GGt

t

Gt

G KKeKeKtY �|��

)007.01()1()1()(5�W

Obtenemos el valor de KG con un error menor del 1%, por tanto suficiente. “Para valores del tiempo iguales o superiores a 5 veces la constante de tiempo �W, del sistema de primer orden, el sistema podemos considerarlo ya estable, y su salida es KG veces la señal de entrada, en este caso KG veces la altura del escalón”. Otro punto a considerar es aquel en que t = �W, pues entonces la expresión resultante es:

Cuando ha transcurrido �W segundos, desde que se produjo el escalón de entrada, la señal de salida ha alcanzado el 63`2 % del valor final de la salida en régimen estacionario, KG veces la señal escalón de entrada”. Así podemos identificar sistemas de primer orden. Con TCF muestra la FDT en forma de constante de tiempo, e identificar la ganancia estática y la constante de tiempo en sistema de 1º orden. Con TIME, se representa gráficamente la salida ante escalón unitario y así identificar. Se propone, para 3 sistemas de 1º orden indicar su respuesta al escalón, e indicar sobre las gráficas la constante de tiempo y la ganancia estática de cada uno de ellos. Comprueba estos valores con el comando TCF. Se pide representar sobre una misma gráfica la respuesta del sistema de primer orden genérico

1)(

��

s

KsG G

�W, al variar la constante de tiempo (�W = 0.1, 1, 2), para una ganancia estática K = 1.

53)(��

� s

sG 22

2)(��

� s

sG 3

1)(��

� s

sG

)632.0()1()( Gt

t

G KeKtY � ��



- -

21

En otra gráfica, representar la respuesta del sistema de primer orden ante un escalón unitario, al variar la ganancia estática (K = 0.5, 1, 2, 5), para un valor único de la constante de tiempo (�W = 1). Podemos ver el efecto de aumentar o disminuir los valores de la constante de tiempo y la ganancia estática del sistema de 1º orden.

El sistema de primer orden

1

)(��

� s

KsG G

�Wsometido a prueba

con señal de entrada en rampa de velocidad, que para mayor claridad en en el estudio, suponemos no unitaria, de una pendiente c, por tanto una señal de entrada R(t) = ct: Mediante la respuesta impulsional se transforma en esquema en el estudio de la figura, por tanto la respuesta temporal se expresa como:

En la que el primer término corresponde a la respuesta estacionaria, permanente del sistema, que indica que en una recta de pendiente KGc(t-�W), por tanto con un restraso �W con respecto a la recta de pendiente KGct, que sería la de la entrada ct, amplificada en la ganancia KG.

� � � � �¸�¸�¹

�·�¨�¨�©

�§�� ¸

�¸�¹

�·�¨�¨�©

�§��

� �»�¼

�º�«�¬

�ª��

� �»�¼

�º�«�¬

�ª��

�

� ��

�

��

��

�2t

GG�2t

G

GG

G

e�2cK�2tcKe�2�2tcKY(t)

�2sK

*s

L�2sK

�/(s)*R(s)*LY(t)

obtenemosormadasantitransftomandoydespejando

R(s)Y(s)

�2sK

sistema del FDTct R(t)

11

1

1

211

1��sKG

�W2s

c



- -

22

En la gráfica se representan la señal de entrada, la salida y la recta de pendiente “amplificada en

KG veces, para mayor claridad en las mediciones. Por tanto los problemas de identificación o diseño en sistemas de primer orden, se resumen en estas dos entradas, puesto que para entradas de mayor o menor orden no tiene tanto interes, o claridad. Veamos ahora la identificación ante señales de entrada en rampa de velocidad.

Un sistema de FDT tal como: 93

6)(1��

� s

sG ; Si ponemos una señal de entrada R(t)=3t 2

3)(s

sR �

La respuesta del sistema calculada por el método de la respuesta impulsional sería:

Si lo respresentamos: F.D.T. G1= 6/(3*s+9) Entrada R(s) G2=3/ s^2

G3 = G1 * G2 Con Time, G3 , 4 , auto Representamos tambien con la opción A, la señal de entrada, rampa de pendiente 3t Medimos la pendiente de la señal de salida, entre 3 y 4 seg. Da una pendiente 2 t, como la entrada era 3 t...

�¸�¸�¹

�·�¨�¨�©

�§��¸

�¹

�·�¨�©

�§ �� ¸�¸�¹

�·�¨�¨�©

�§��

� �»�¼

�º�«�¬

�ª��

� �»�¼

�º�«�¬

�ª��

�

��

��

��

��

33

211

3112

3112

312*3

9363

1

936

13

tt

G

G

ete�2tY(t)

s*

sL

�2sK

�/(s)*R(s)*LY(t)

obtenemosormadasantitransftomandoydespejando

sR(s)Y(s)

�2sK

sistemadel FDT t R(t)



- -

23

Por tanto K =2/3 = 0.6666 Añadimos la recta de pendiente 2t, haciendo G33 = 2 / s^2 y con la opción A. Medimos ahora para un valor cualquiera en la zona final �W obteniendo 0.333..

Con lo que hemos identificado el sistema como :93

61333.0

666.0)(��

� ��

� ss

sG

Podemos tomar la opción de dar la gráfica y sobre ella identificar el sistema, así en la g´rafica siguiente, como señal de entrada se utilizó una rampa de pendiente 2t

Se propone identificar el sistema, siendo el resultado: 8

4)(��

� s

sG

7.6. - SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Los sistemas de segundo orden son aquellos cuya dinámica viene descrita por una ecuación diferencial de segundo grado con coeficientes constantes. Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial se llega a la función de transferencia del sistema de segundo orden :

22

2

2)()()(

nn

nG

ss

KsEsU

sG�Z�]�Z

�Z��˜��

�˜� �

En esta forma se expresa la FDT de los sistemas de segundo orden. Los parámetros que en ella aparecen tienen el siguiente significado físico:

� KG: Ganancia estática del sistema. Representa la relación salida/entrada cuando la respuesta del sistema se ha estabilizado.

� �Zn: Pulsación natural del sistema. Corresponde la frecuencia (en radianes por segundo) de las oscilaciones de la respuesta del sistema.

� �]: Coeficiente de amortiguamiento. Parámetro adimensional que determina la rapidez con la que las oscilaciones de la respuesta son amortiguadas hasta desaparecer.

La respuesta temporal ante distintas entradas, interesa solo en entradas en escalón y caracterizar la respuesta, para mayor orden de complejidad en la entrada, la solución se complica mucho. Por tanto para obtener la respuesta ante distintos tipos de entradas, despejamos en la anterior FDT la transformada de la señal de salida, y obtenemos:

Vamos a probar ante señales de entrada en escalón. Para la señal temporal de salida ante entradas en escalón, se obtendría como:

Como la FDT de transferencia puede tener distintas soluciones, en función de los posibles valores de la FDT usada, estudiamos cada por separado.

�x Polos complejos conjugados, sistema subamortiguado.

22

2

2)()(

nn

nG

ss

KsEsU

�Z�]�Z

�Z

��˜��

�˜�

2

1escalón entradacon 2

)()( 22

21

22

21

�»�»�¼

�º

�«�«�¬

�ª

��˜��

�˜

�»�»�¼

�º

�«�«�¬

�ª

��˜��

�˜� ��

nn

nG

nn

nG

ss

K

sL

ss

KsELtU

�Z�]�Z

�Z

�Z�]�Z

�Z



- -

24

�x Polos reales iguales, ante entrada en escalón, dan respuesta amortiguamiento crítico. �x Polos Imaginarios puros, sistema oscilatorio mantenido. �x Polos reales distintos, ante entrada en escalón dan respuesta sobre amortiguada.Polos

complejos conjugados, sistema subamortiguado.

Veamos cada uno de los sistemas posibles según los polos obtenidos: * Sistema con polos complejo conjugados:

La respuesta es un sistema sub amortiguado oscilatorio, que en esencia contiene as características mas buscadas, y mas típicas de los sistemas de 2º orden. * Sistema con polos reales iguales.

En caso de amortiguamiento crítico su comportamiento es el límite entre sistema sub amortiguado,

y el siguiente con amortiguamiento crítico. Corresponde a sistemas con amortiguamiento �[ = 1 su comportamiento es similar al de sistemas de 1º orden, y sus características se calcularán de manera similar. Puesto que no tienen parte imaginaria, no tienen frecuencia, y por tanto no sobrepsan la salida final, como se ve en la gráfica. * Sistema con polos reales iguales.

Tienen respuesta mas “aplanada” que los anteriores, y su respuesta se calcula de similar manera.

Son como de primer orden, por tanto podemos calcular sus características de manera similar.



- -

25

* Sistema con polos imaginarios puros.

En sistemas oscilatorios, interesa para calcular la frecuencia de oscilación, Los parámetros característicos anteriormente escritos, tienes valor y representan magnitudes

típicas en el caso de sistemas subamortiguados, Por ello dado que el mas interesante es este último, nos centraremos en él en el siguiente estudio, y para él definiremos las principales características. Podemos proponernos como ejemplo la obtención de la respuesta temporal de un sistema de segundo orden, ante entradas en escalón, en cada uno de los cuatro casos enunciados, y representar la respuesta, eso no permite ver la forma característica y comprobar la complejidad de la ecuación en algunos casos.

Empecemos por escribir una FDT de un sistema de segundo orden con dos polos reales y

distintos:

Por ejemplos1 entradacon

)2)(1(2)(1

��

sssG tenemos como respuesta

En caso de amortiguamiento crítico o sobre amortiguado, su comportamiento es mas parecido a sistemas de primer orden, por tanto podemos calcular sus características de manera similar.

En el caso de sistemas oscilatorios, se consigue si tenemos dos polos imaginarios puros. Conjugados, por tanto una FDT como:

)4(21 2 ��

� s

G solo tiene interés en

cuanto a calcular la frecuencia de oscilación, como característica mas interesante, y la ganancia, por la señal de entrada, que da el valor medio alrededor del cual oscila.

La señal temporal que obtenemos ante entrada en escalón unitario es

Y la representación gráfica resultante es : Los parámetros característicos tienen un valor y representan magnitudes típicas en sistemas subamortiguados, Por ello dado que el más interesante es este último, nos centraremos en él, en el siguiente estudio, y para él definiremos las principales características.

e*1*21)( -2t1 �� tetU

)2cos(*5.5.)( ttU ��



- -

26

Dados los tres sistemas siguientes, identifica en ellos los parámetros comentados de �], �Zn y K, que podemos obtener:

Mediante el comando SHORT, se puede obtener los valores de �] y �Zn , pero solo en el caso de sistemas subamortiguados, es decir solo si el valor del denominador aparece entre corchetes. Y con TCF el valor del numerador, representa la ganancia.

Se pide calcular los valores, y representar en la gráfica adjunta la respuesta de los tres sistemas ante escalón unitario. Comenta, a la vista de las gráficas, la relación entre los valores de los parámetros y las características de la respuesta.

G1 G2 G3 KG

�Zn

�]

7.6.1. - TIPOS DE TRANSITORIO

Dado un sistema de segundo orden genérico, si se estudia la forma del transitorio en la salida del sistema cuando se le aplica como entrada un escalón unitario, se puede clasificar en los siguientes tipos :

� �] �• ] 1 , �f [ : Respuesta sobreamortiguada. El régimen transitorio de la salida sigue la forma de una exponencial creciente. No aparecen oscilaciones en la salida del sistema.

� �] �• ] 0 , 1 [ : Respuesta subamortiguada. Al haber reducido el coeficiente de amortiguamiento del sistema aparecen en el transitorio unas oscilaciones que van desapareciendo tanto más lentamente cuanto menor es dicho coeficiente.

� �] �• ] -1 , 0 [ : Respuesta oscilatoria inestable. Cuando el coeficiente de amortiguamiento se hace positivo la oscilaciones de la respuesta del sistema, además de no desaparecer se intensifican, lo que da lugar a una respuesta inestable (la amplitud de la salida crece indefinidamente).

� �] �• ] -�f , -1 [ : Respuesta exponencial inestable. La salida del sistema crece indefinidamente siguiendo la forma de una exponencial sin oscilaciones.

Como casos particulares de transición entre estos tipos de transitorio conviene mencionar los

siguientes : � �] = 1 : Respuesta críticamente amortiguada. Supone el caso límite entre una respuesta

sobreamortiguada y una subamortiguada. � �] = 0 : Respuesta marginalmente estable. Las oscilaciones presentes en el transitorio no se

amortiguan pero tampoco se intensifican. La salida del sistema sigue la forma de una señal senoidal. La frecuencia de las oscilaciones (en radianes/segundo) viene determinada por el parámetro �Zn de la FDT del sistema.

G ss s1 2

2718 9

( ).

� � � � �

G ss s2 2

6 750 6 2 25

( ) .. .

� ��

G ss s2 2

4 50 9 2 25

( ) .. .

� � � � �



- -

27

Partiendo del sistema de segundo orden genérico, construye 6 FDT con KG =1, �Zn=1 y variando el

coeficiente de amortiguamiento �] = 2, 1, 0.1, 0, -0.1, -2. Esto dará lugar a 6 tipos de transitorios diferentes, represéntalos juntos sobre la misma gráfica mediante el comando TIME usando la opción A, para añadir cada una de las FDT. Identifica claramente cada uno de los tipos de transitorio.

Ajusta los parámetros KG, �Zn y �] del sistema de segundo orden genérico para conseguir los

sistemas que aparecen descritos a continuación : - Sistema sobreamor-tiguado con ganancia unitaria. - Sistema críticamente amortiguado con ganancia 2.5

a) Sistema subamortiguado con ganancia 0.5 b) Oscilador de frecuencia 10 Hz con ganancia unitaria. c) Sistema inestable oscilatorio. Comprueba los resultados gráficamente mediante el comando TIME y rellena la tabla de valores

siguiente :

KG �Zn �] Sistema a)

Sistema b)

Sistema c)

Sistema d)

Sistema e)



- -

28

7.6.2. - ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA En concreto en un sistema de segundo orden, respuesta subamortiguada ( �] �• ] 0 , 1 [ ), suele ser

con mayor suavidad de respuesta ( con respuesta sobreamortiguada tendría mayor rapidez). La respuesta ante una entrada escalón se caracteriza por unos parámetros. Siempre hay relación

directa entre estos parámetros y la FDT del sistema, así fijar las características de la respuesta actuando sobre la FDT :

� Tiempo de pico (tp) : Es el tiempo que transcurre hasta que la salida alcanza el primero de sus

máximos. Depende del coeficiente de amortiguamiento y de la pulsación natural según la siguiente relación

� Máximo de pico (Mp) : Valor de la salida en el primer máximo. Por la forma de la respuesta

subamortiguada es el valor máximo alcanzado durante el transitorio de la respuesta.

� Sobreoscilación (�G) : Es el exceso de la salida en el primer máximo sobre el valor final de la misma (valor de establecimiento) expresado en tanto por ciento respecto al valor final. No depende de la amplitud de la señal de entrada.

� Tiempo de establecimiento (te) : Es el tiempo que le cuesta a la salida alcanzar y mantenerse dentro de un cierto rango entorno al valor final. Se emplea un rango de valores expresado en porcentaje respecto al valor final (los más utilizados son el criterio de 2% y del 5%).

El mas utilizado de todos en general es el del 98% del valor final, por lo que cuando no se

especifica nada mas, se entiende este valor del 98%

tp te (98%)

K

Mp

K + 2%

K - 2%

D �G = (D/K) �� /100

%) 95 del o 5%, del Criterio(

%) 98 del o , 2% del Criterio(4

%) 100 del o 1%, del Criterio(5

ne

ne

ne

t

t

t

�[�Z�S

�[�Z

�[�Z

�#

�#

��#

21 �[�Z

�S

��

n

pt

)1(21 ��

��[

�[�S

eKM p

21 �[

�[�S

�G ��

� e



- -

29

La figura representa la respuesta ante escalón unitario de un proceso de segundo orden, se pide que basándose en la figura dada, identificar los coeficientes o parámetros característicos del sistema de segundo orden subamortiguado. Se pide pues, identificar la FDT del sistema:

Tomando medidas en esta

respuesta calcula los valores para los siguiente parámetros :

Sobreoscilación.

Tiempo de pico.

Máximo de pico.

Ganancia estática.

Tiempo de establecimiento (aproximado).

Con estos valores y las fórmulas que se relacionan a continuación, obtener los parámetros

característicos de los sistemas de segundo orden y con ellos construir la función de transferencia del sistema. Comprobar con el comando TIME que la respuesta del sistema identificado es la misma que la presentada en la gráfica. Las fórmulas para el cálculo de los parámetros del sistema sub amortiguado son:

Con la gráfica y la fórmulas obtenidas podemos obtener la FDT del sistema, dado que

conocemos la entrada, un escalón unitario 1/s.

�:�r� ��r

��

��

�f�f

� �

��

�o

jj

t

EY

sGLimK

ss

KsG

nn

p

n

sest

nn

nest

�V�[�Z�[�Z

�[

�S�Z

�G�S

�[

�Z�[�Z�Z

2

2

2

0

22

2

1-en conjugados complejos polos

1

;)

ln(1

1

)()()(

;2

)(



- -

30

G s( ) �

Podemos plantearlo al revés, Sea el sistema de segundo orden cuya FDT es la siguiente :

G ss s

( ) � � � � �10

52 Calcula analíticamente y señala en la respuesta temporal representada en la

gráfica adjunta los parámetros que se relacionan a continuación :

Valor de estabilización. Máximo de pico. Sobreoscilación. Tiempo establecimiento al 95%. Tiempo establecimiento al 98%. Tiempo de pico.

Señalamos en la gráfica la confirmación de los valores obtenidos

.Clasifica los siguientes sistemas de segundo orden cuyas FDT se dan a continuación, según distintos criterios

a) De mayor a menor sobreoscilación. b) De mayor a menor tiempo de establecimiento.

Comprueba mediante el comando TIME los resultados. Sobreoscilación : Tiempo de establecimiento :

Clasifica los siguientes sistemas de segundo orden cuyas FDT se dan a continuación.

530)(;

1010)(

20260)(;

510)(

2423

2221

��

��

��

��

sssG

sssG

sssG

sssG



- -

31

G ss s

G ss s

G ss s

G ss s

1 2 2 2

3 2 4 2

105

602 20

1010

305

( ) ; ( )

( ) ; ( )

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

c) De mayor a menor sobreoscilación. d) De mayor a menor tiempo de establecimiento. Comprueba mediante el comando TIME los resultados. Sobreoscilación :

Tiempo de establecimiento :

Sistemas de orden superior tienen interes en cuanto se puede reducir su estudio a sistemas de primer o segundo orden, con algunas transformaciones. Problemas: 1º)En la siguiente figura están representados dos procesos formados, respectivamente, por la puesta en paralelo y en serie de dos sistemas de primer orden. Determina el valor que deben tomar las constante K1 y K2 para que ambos procesos presenten ganancia estática total unitaria.

K1 = K2 =

Representa en las gráficas adjuntas la salida de los procesos cuando su entrada es un escalón de

amplitud 2. Desde el punto de vista de la constante de tiempo, ¿por cual de los dos sistemas de primer orden se podría aproximar la respuesta de cada uno de los procesos?. ¿Por qué?.

21

��s

K

22

��s

K20

1��s

201

��s

+

+



- -

32

Problemas: 1º) Obtener la respuesta al escalón unitario de los siguientes sistemas, y dibujarla mediante el programa de cálculo; con el cursor siguiendo la curva, escribir en una tabla, 20 pares de valores espaciados regularmente a lo largo de toda la respuesta.

Indicar en una gráfica en que lugar ocurre, y en una tabla para que valor tenemos, la constante de tiempo, la ganancia y el régimen estacionario, justificar la respuesta. 2º) Para el sistema de la figura, calcular el valor de KT para el cual el coeficiente de amortiguamiento es �[=0,7

3º) En el sistema de la figura, encontrar el valor de K necesario para tener amortiguamiento crítico. ¿ Y para tener amortiguamiento subamortiguado.

4º) Dos sistemas de primer orden, G1 y G2 se conectan en serie. G1 Tiene una constante de tiempo de 4 segundos y el valor de la señal de salida en régimen estacionario es de 14 unidades, ante una entrada en escalón de 7 unidades. G2 Tiene una ganancia en régimen estacionario unitaria, y un retardo de 5 segundos, para entrada en rampa de velocidad unitaria. Se pide:

a) Obtener la FDT de G1 y G2. b) Dibujar la entradas y salida individuales de G1 y G2. c) Calcular la respuesta del conjunto en serie, ante una entrada en escalón unitario, tal como se

indica al principio.. d) Calcular la respuesta del conjunto en serie y realimentado unitaria y negativamente ante un

escalón de altura 2 unidades.

384

6123

49,02

25,01

��

��

��

��

sG

sG

sG

sG



- -

33

5º) Dado el sistema de la figura, hallar los valores de K y k que hacen que el sistema tenga un sobreimpulso Mp = 25 % y tiempo de posicionad al 98 % de 2 segundos.

6º) Dado el sistema de FDT 52

105 2 ��

��

ss

asG dibuja y compara las respuestas obtenidas ante una

entrada en escalón de altura 2 unidades, en cuanto a sobre impulso, tiempo de posicionado al 98 %, coeficiente de amortiguamiento y tiempo de pico, para a tomando los valores : a = 10, 5 , 2 , 0.8 7º) Un sistema responde ante una entrada en escalón unitario, como se indica en la figura. Se pide dibujar razonadamente la respuesta ante una entrada en rampa de valor 3 t

OPCIONES DE GRAFICOS

�‘ Eje horizontal: Corresponde al eje de tiempos en segundos. �‘ Eje vertical: Corresponde a la salida del proceso. Las unidades son indeterminadas, dependen de la

naturaleza del proceso modelado con la función de transferencia. �‘ Gráfica : Cada punto del trazado corresponde a la relación entre un instante de tiempo y el valor de

la salida en dicho instante.



- -

34

�‘ Opciones : Identificadas con una serie de letras, están las distintas opciones que ofrece el comando. Pulsando ? se puede ver una breve descripción de cada una de ellas.

Siguiendo de arriba abajo y de izquierda a derecha, tenemos las opciones que nos ofrece este comando, y según se indique, con esta gráfica representada tendremos el resultado que se indica: �x A : Permite añadir más gráficas sobre la actual para poder comparar la respuesta de distintos

sistemas. Al pulsar pregunta si como antitransformada, siempre será que si, y entonces pide cual función se quiere añadir, por ejemplo pongamos G2, que si existe en el disco, de otras ocasiones, añade a la representación gráfica otra nueva. Pero siempre las añade con la misma opción 3, con la que hemos representado la gráfica primera. Pregunta por el color y otras opciones que se asumen por defecto siempre.

�x B : Cursor de pantalla. Proporciona relaciones entre los ejes horizontal y vertical en toda la pantalla gráfica. Sirve para tomar medidas sobre todas las gráficas representadas. Este cursor se mueve por toda la pantalla libremente, y en el recuadro inferior izquierdo aparece el valor de la posición que ocupa. Si además apretamos X el cursor aparece como dos líneas horizontales que se cruzan en el punto en que mide.

�x C : Cursor de la FDT actual. Igual que el anterior pero solo se mueve por la gráfica de la FDT actual. E incluso si añadimos mas gráficas, solo sigue la primera que hayamos representado.

�x D : Cambio de opciones de pantalla (tipo de trazado y fondo). Habitualmente la opción 1,2 es la mas usada, pues sitúa en la pantalla un tramado de fondo muy útil en gráficas de medidas. Y representaciones.

�x E : Es la opción que nos permite cambiar los limites superior e inferior de los ejes, así como el numero de divisiones. Por defecto el programa suele realizar una representación adecuada, pero el cambio de límites puede ser necesario. Incluso el número de puntos utilizado en los cálculos, que permite tener una mayor precisión. Cuidado con poner muchos, pues puede tardar mucho tiempo en realizarlo, pues también tiene que dibujarlo y sin ganar casi nada a cambio. Valores de cómo máximo 1000 puntos son suficientes en casi todos los casos.

�x F : Permite la creación de un fichero con los datos actualmente representados en la pantalla para poder analizarlos externamente. Este fichero es editable en cualquier programa de edición, y en él aparecen los valores y los tiempos en dos columnas, por lo que es fácilmente aceptable en cualquier programa externo en cualquier lenguaje.

�x G : Definición de nuevas FDT sin necesidad de abandonar el entorno gráfico. Con lo que en caso de necesidad se pueden escribir nuevas funciones sin dejar la gráfica. Por ejemplo si definimos g5=1/s, podemos ahora con la opción A añadir a nuestra gráfica anterior, esta nueva representación.

�x H : Esta opción ofrece la posibilidad de obtener copia impresa en papel de la gráfica presentada en pantalla si el programa ha sido configurado correctamente. Pero dispone de pocas opciones, es lenta y difícil de configurar, mas vale imprimir en otro entorno.

�x J : Cambio de colores de las líneas, ejes y fondo. Si cambiamos a blanco el fondo, y negro el primer plano, las gráficas se pueden copiar al entorno gráfico de ventanas. Los cambios si son correctos, se deben guardar con Setup, antes de abandonar el programa.

�x K : Muestra en pantalla la hora y fecha del sistema. Interesa a la hora de copiar y pegar una gráfica, para tener una referencia.

�x L : Permite la edición de etiquetas de texto para introducir comentarios en la gráfica. Podemos seleccionar el paso del cursor, y el tipo de edición, en vídeo normal, o inverso, pero solo edita caracteres ASCII muy sencillos. Si se sitúa sobre una gráfica la borra, pero conviene escribir en la gráfica cual es la FDT representada y que hemos representado, para recordarlo mejor.

�x M : Aumenta el valor que en este instante tenga el eje de tiempos en un 50%. Así “alargamos” la representación.

�x P : Redibuja la gráfica. Pero ojo, si no se escogen las opciones adecuadas, pues borrará las demás gráficas, y los letreros que hemos añadido. Cuando varían algunas opciones, automática mente se produce el redibujado, por lo que entonces no hace falta.

�x Q : Abandona el entorno gráfico para volver a la línea de comandos de CC. �x T : Refuerza el trazado de las curvas haciéndolo más grueso. En impresoras de aguja, conviene antes

de imprimir, pues se verá mejor. �x W : Permite introducir títulos a los ejes y a la gráfica. Escribe letreros, pero solo en lo alto de la

pantalla gráfica, para poner el título. �x Z : Centra la gráfica para verla completa en pantalla. Util como primera medida antes de cambiar la

representación con E, se prueba con Z a ver si tenemos la representación completa, o ante cualquier cambio en el que se pierda la visión de la gráfica.



- -

35

No está documentada, pero ante cualquier “cuelge” o síntoma de ello, se aprieta F1 y esto para el programa, se encuentre como se encuentre, sin perder datos. Si a esto tampoco responde, se aprieta CTRL+Break, y si esto tampoco Reset.

tema 7 modelos y sistemas. - sistemamid.com

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