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Regulación AutomáticaTema 6. Respuesta en Frecuencia de SistemasRealimentados

6.1 Estabilidad Relativa

2º Cuatrimestre. Curso 2007­2008

 Criterio de Nyquist hasta ahora utilizado para estudiar la estabilidad absoluta de un sistema

 Es sistemas de fase mínima, la proximidad al punto –1 +0j nos da la estabilidad relativa del sistema

 Ejemplo: ( ) ( )( )( )

KG s H ss s a s b

=+ +

Lugar de las raíces Diagrama Nyquist Respuesta del sistema

Estabilidad relativa expresada mediante “margen de ganancia” y margen de fase”

k1k2k3

k1

k1

k2

k2

k3

k3

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Regulación Automática6.2 Margen de Ganancia y Fase(I)

2º Cuatrimestre. Curso 2007­2008

 Forma de expresar la proximidad de G(jw)H(jw) a  –1 + 0j

 Frecuencia de cruce de fase (de oscilación).  La frecuencia para la cual el ángulo de fase       de G(jw)H(jw) es –180º

 Frecuencia de cruce de ganancia. La frecuencia para la que el módulo de G(jw)H(jw) es 1

 Margen de Ganancia. MgFactor que puede aumentar/disminuir la ganancia para que el sistema se vuelva inestable/estable con 

wϕϕ

( ) ( ) 180G jw H jwϕ ϕϕ �� = −��

( ) ( ) 1g gG jw H jw =

gw

( ) ( ) 11

( ) ( )

[ ] 20 log ( ) ( )

g

g

g

M G jw H jw

MG jw H jw

M db G jw H jw

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

=

=

= −

  

 Mg > 1 (>0 en dB)  sistema estableMg = 1 (0 en dB)  marginalmente estable (oscilante)Mg< 1 (<0 en dB)  sistema inestable

w wϕ=

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Regulación Automática6.2 Margen de Ganancia y Fase(II)

2º Cuatrimestre. Curso 2007­2008

 Margen de Fase. MfÁngulo restante para que el sistema se vuelva estable/inestable cuando se toma la frecuencia

Ambos indicadores utilizados para el estudios de sistemas, aunque a veces carecen de sentido (ejemplo margen de ganancia en sistemas de orden2)

 Norma prácticaMf= 30º60º y Mg >= 6dB

 Representación en el diagrama de bode

gw

180

180 ( ) ( )f

f g g

M

M G jw H jw

ϕ

ϕ

− = −

��= + ��

Mf > 0  Sistema estableMf = 0  Marginalmente estable(oscilante)Mf < 0  Sistema inestable

1 0 1∙20log 1∙ 20 log1 0

180º

j

j

j

j ee dB

e

π

π

π

−

−

−

− + =

= =

= −

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Regulación Automática6.2 Margen de Ganancia y Fase(III)

2º Cuatrimestre. Curso 2007­2008

Representación en el diagrama de Black o amplitud­fasegw w estableϕ<   

gw w inestableϕ>   

Representación en bode de Mg y Mf (continuación)

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Regulación Automática6.3 Especificaciones en el dominio de la frecuencia

2º Cuatrimestre. Curso 2007­2008

Respuesta en frecuencia. Estudio del comportamiento en régimen permanente ante excitaciones senoidales. En principio no aporta información sobre respuesta transitoriaEn sistemas de segundo orden si se puede estableces equivalencia entre frecuencia y respuesta transitoriaPor ejemplo utilizando el concepto de Pico de Resonancia        y frecuencia de resonancia

Recordemos: Forma adimensional de una función de transferencia de un sistema de segundo orden:

A partir de               podemos hallar                que nos dan la respuesta transitoria del sistema, ,nw kξ , ,p r sM t t

2

2 2( )2

n

n n

KwM ss w s wξ

=+ +

rw

2

2

(0)

1 21( )

1

r n

r r

G k

w w

M G w

ξ

ξ

=

= −

= =−

rM

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Regulación Automática6.3 Ábacos de Hall y Nichols (I)

2º Cuatrimestre. Curso 2007­2008

Sirven para obtener la respuesta frecuencial en lazo cerrado a partir de la de en lazo abierto

Ábaco de Hall         ­ Lugar de Módulo Constante

­ Lugar de fase constante

2 2 2 22 2

2 22 2| ( ) | ( )

1 1(1 )x y M MM M jw x y

M Mx y+

= = + + =− −+ +

   ;  

2

2

2

( ,0)1

1

McentroM

MradioM

= −−

=−

22 2

2 2 21 1 1( ) ( )2 2 4

y NN x yx y x N N

+= + + − =+ +

   ;  

2

( 1/ 2,1/ 2 )

1 1/ / 2

centro N

radio N N

= −

= +

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Regulación Automática6.3 Ábacos de Hall y Nichols (II)

2º Cuatrimestre. Curso 2007­2008

Ejemplo ábaco de Hall

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Regulación Automática6.3 Ábacos de Hall y Nichols (III)

2º Cuatrimestre. Curso 2007­2008

 Ábaco de NicholsUtiliza los lugares M y N en el diagrama de BlackSe extiende desde 0 a –360º. Simétrico respecto a la fase –180º. M y N convergen en 0 db y –180º