tema 6: campo y potencial eléctrico.ley de gauss. concepto de flujo. nº de líneas que cruzan a ae...

Tema 6: Campo y potencial eléctrico.

Ley de Coulomb.Campo eléctrico.Ley de Gauss.Potencial eléctrico.Cálculo del potencial eléctrico.

Objetivos.• Revisar el concepto de carga eléctrica y la ley de Coulomb.• Entender el concepto de campo eléctrico.• Aprender a calcular campos eléctricos de distribuciones discretasy continuas de carga.• Saber cómo se representa gráficamente el campo eléctricomediante líneas de campo.• Conocer la ley de Gauss y cómo aplicarla al cálculo de campos dedistribuciones de carga con cierta simetría.• Conocer el concepto de potencial eléctrico y cómo calcularlo.

Ley de Coulomb.

212

21

r

qqKF K=8.99·109 N·m2/C2

212

21

04

1

r

qqF

0=8.85·10-12 C2/m2·N

permitividad dieléctrica delvacío

Fuerza entre cargas puntuales: Nociones básicas.

• Módulo: Fuerza proporcional a la carga einversamente proporcional al cuadrado de ladistancia.

Considera una carga puntual q1=+5 C situadaen el origen de coordenadas y otra cargapuntual q2=+1 C situada en el punto decoordenadas (3 cm, 4 cm).Calcula el vector fuerza que ejerce la carga 1sobre la 2.

Ejemplo

• Dirección: En la línea que uneambas cargas.

• Sentido: Depende de si lafuerza es atractiva o repulsiva.

Ley de Coulomb.Forma vectorial.

Cargas del mismo signo

121212 r̂FF

Recuerda: Puedes construir un vectormultiplicando su módulo por un vectorunitario que sea paralelos a su dirección.

Considera una carga puntual q1=+5 C situadaen el origen de coordenadas y otra cargapuntual q2=+1 C situada en el punto decoordenadas (3 cm, 4 cm).Calcula el vector fuerza que ejerce la carga 1sobre la 2.

Ejemplo

Ley de Coulomb.Forma vectorial.

Cargas de distinto signo

121212 r̂FF

12212

2112 r̂

r

qqKF

12212

2112 ˆ

)(r

r

qqKF

12212

2112 r̂

r

qqKF

válida para cargas puntualesen ambos casos si las cargas se escriben con signo

12212

2112 r̂

r

qqKF

Para ambos casos

Ley de Coulomb.Validez de la ley de Coulomb.

• Dos objetos cargados dedimensiones finitas puedenconsiderarse puntuales si ladistancia que los separa muygrande en comparación con suspropias dimensiones.

¿Puedes calcular lafuerza entre estas dosvarillas usando la ley deCoulomb? ¿Por qué?

Campo eléctrico.

¿Cómo explicar la existencia de fuerzas adistancia?:- una de las cargas modifica las propiedadesdel espacio que la rodea: crea un campoeléctrico- cuando se introduce una segunda carga enese campo, éste ejerce una fuerza sobre ella.

Campo creado por una carga puntual

0

0

q

FE

(q0 carga de prueba, pequeña)

rr

qK

q

rrKqq

q

FE ˆ

/ˆ2

0

20

0

0

Concepto.

¡Cuidado! Recuerda que esta expresión esválida sólo para una carga puntual.

Campo eléctrico.

0

2010 ...

q

EqEq

0

2010

0

0 ...

q

FF

q

FE

N

ii

i

i rr

qKEE

1221 ˆ...

Campo eléctrico de varias cargas puntuales.

¡Cuidado! Recuerda que estaexpresión es válida sólo paracargas puntuales.

Campo eléctrico.Campo eléctrico de varias cargas puntuales: Ejemplo.

Campo creado por dos cargas puntuales

nCqnCq 12,12 21

jirirr cqqˆ12.0ˆ05.0;ˆ1.0;0

21

2

99

221 13.0

10·1210·9

ic

i

r

qKEE

cos13.0

10·1210·9

2

99

21

xcxc EE

CNiiEE xcc /ˆ4920ˆ2 1

Otra forma: Usando vectores unitarios

ccc

rrr

qKE 12

99

121

11 ˆ

13.0

10·1210·9ˆ

13.0

ˆ12.0ˆ05.0

13.0

10·1210·9

2

99

1

jiE

13.0

ˆ12.0ˆ05.0

13.0

10·1210·9

2

99

2

jiE

13.0

ˆ12.0ˆ05.0

13.0

10·1210·9

2

99 ji

CNii

EEEc /ˆ492013.0

ˆ10.0

13.0

129

221

jirirr cqqˆ12.0ˆ05.0;ˆ1.0;0

21

Campo eléctrico.Campo eléctrico de varias cargas puntuales: Ejemplo.

N

ii

i

iN

ii r

r

qKEE

12

1

ˆ

rr

dqKEdE ˆ

2

Campo eléctrico.

Distribuciones continuas.

2r

dqKdE

Campo creado por una carga infinitesimal

Ejemplos: Problemas 15 y 16

Campo eléctrico.Representación gráfica del campo: Líneas de campo.

• Las líneas de campoeléctrico nacen en lascargas positivas.

• Observa que laslíneas están másapretadas en la zonadonde el campo esmás intenso (cerca dela carga).

•Las líneas de campo eléctricomueren (o terminan) en lacargas negativas.

Ley de Gauss.

Una pregunta para empezar... En la figura se muestran las líneasde campo correspondientes a doscargas puntuales¿Cuál es el signo de cada una deellas?Si la carga de la izquierda es de +2pC ¿Cuánto vale la carga dederecha?

Ley de Gauss.

Origen del concepto de flujo.

Si el área A1=4A2 ¿cómo es la velocidad del fluido en elpunto 2 respecto al punto 1?

En fluidos incompresibles el producto de la velocidad porla sección del tubo es una cantidad constante llamadacaudal.

James Clerk Maxwellextendió el conceptode flujo alelectromagnetismo.

2211 AvAv

Observa además que el número de líneas de corrienteque atraviesan el área A1 es el mismo que atraviesa elárea A2. Por tanto el caudal está relacionado con elnúmero de líneas de corriente.

Ley de Gauss.

Vector área asociado a una superficie plana.

• El módulo es igual al área dela superficie plana.• Perpendicular a la superficie. 1A

2A

3A

4A

5A

6A

• Si tenemos un poliedro cerrado, losvectores área de las distintas carasmirarán hacia fuera.

Ley de Gauss.

Concepto de flujo.

nº de líneasque cruzan A

AE

AE

EA


EA


cosAE

SAdE

AdEd

Recuerda: El flujo a través deuna superficie se relaciona conel número de líneas de campoque la atraviesa.

Ley de Gauss.

El signo del flujo (para superficies cerradas).

• Flujo saliente: positivo • Flujo entrante: negativo

Ley de Gauss.

Flujo de una carga puntual a través de una esfera.

S

AdE

Carga puntual y superficieS esférica (de radio r) queencierra la carga SEdA

22

0

44

1r

r

qEAS

SdAE

Tenemos en cuenta que losvectores campo y área sonparalelos.

Tenemos en cuenta que elmódulo del vector campoeléctrico no cambia en laesfera que he elegido.

0q

Ley de Gauss.

Enunciado de la ley de Gauss.

Este resultado se puede generalizar a:- cualquier tipo de superficie cerrada- cualquier distribución de carga

0S

S

QAdE

QS : carga encerrada por S

RECUERDA: La cargas que están fuera de lasuperficie no contribuyen al flujo neto através de ella, porque sus líneas de campocortan la superficie dos veces, una entrando(flujo positivo) y otra saliendo (flujo negativo).

Ley de Gauss.

Un ejercicio para empezar a practicar...

Ley de Gauss.

Un ejemplo sencillo de aplicación. En la figura se muestran las líneasde campo correspondientes a doscargas puntuales¿Cuál es el signo de cada una deellas?Si la carga de la izquierda es de +2pC ¿Cuánto vale la carga dederecha?

S1 S2

101 Q

nº de líneas que cruzan S1

202 Q nº de líneas que cruzan S2

28

16

20

10

2

1

Q

Q

0S

S

QAdE

0

2·

l

rlE

0

l

dAElateral

rE

02

Ley de Gauss.

Aplicación típica I: Varilla infinita cargada.

0l

AdElateral

Sólo hay flujo a travésde la superficie lateral

0l

dAElateral

Tenemos en cuentaque los vectores campoy área son paralelos.

Tenemos en cuentaque el módulo delvector campo eléctricono cambia en esasuperficie.

0l

AdES

es la densidadlineal de carga(carga por unidad delongitud)

Este resultado se puedeaplicar a una varilla delongitud finita parapuntos cercanos a lazona media de la varilla.

0 S

S

QAdE 0

2·

A

AE

0

A

dAEbases

02

E

Ley de Gauss.

0A

EdAbases

es la densidadsuperficial de carga(carga por unidad desuperficie)

0A

AdEbases

Sólo hay flujo a través

de las bases del cilindro

Tenemos en cuentaque los vectores campoy área son paralelos.

Tenemos en cuentaque el módulo delvector campo eléctricono cambia en esasuperficie.

Aplicación típica II: Plano infinito cargado.

0A

AdES

OBSERVA: El campoeléctrico no depende dela distancia. En lapráctica esto es sólocierto si consideramospuntos muy cercanosal plano y lejos de losbordes.

Potencial eléctrico.

lFWab

·

Ejemplo 1: Carga moviéndose en un campo uniforme.

)ˆ)()·(ˆ(0 jyyjEq ba

)(0 ba yyEq

Resultado válido paracualquier trayectoria, perosólo para campo uniforme.

Trabajo realizado por fuerzas electrostáticas.

)( fipeso yymgW



Ejemplo 2: Carga moviéndose en el campo de una carga puntual.

Cab ldFW

(en principio, válido sólo para un camino que coincida con una línea de campo)

b

a

r

rdr

r

qqK

20

b

a

r

r r

drKqq

20

b

a

r

rrKqq

10

baab r

qqK

r

qqKW 00

C

rdF

jihgfedcab rr

Kqqrr

Kqqrr

Kqqrr

KqqW11111111

0000

jihgfedc rrrrrrrrKqq

111111110

ba rrKqq

110



El trabajo no depende de la trayectoria: El campo eléctrico es conservativo.

El trabajo en una trayectoria cerrada es 0

Si el trabajo no depende de la trayectoria, siempre es posible encontrar unafunción U (energía potencial eléctrica) tal que

UUUW baab

Ejemplo 2: Energía potencial asociada al campo creado por una carga puntal.

baab r

qqK

r

qqKW 00

r

qqKU 0

EyqU 0Ejemplo 1: Energía potencial asociada al campo uniforme (en la dirección y sentido del eje –y) )(0 baab yyEqW


Energía potencial electrostática.

ba UU

ba UU


Energía potencial electrostática.

Cuando se las abandona en una región donde hay uncampo eléctrico las cargas tienden a moverse haciaregiones de energía potencial más baja.

EyqU 0


)()( 000 babaab VVqVqVqW

EyqUV 0/

r

qKV

(unidad SI: V=J/C)

0q

UV

Definición de potencial eléctrico.

Ejemplo 1: Energía potencial asociada al campo uniforme (en la dirección y sentido del eje –y)

Ejemplo 2: Energía potencial asociada al campo creado por una carga puntual.

Las cargas positivas (y la corriente eléctrica en general) se mueven hacia regiones de potenciales más bajos.

El potencial es la energíapotencial electrostáticapor unidad de carga

RECUERDA: La diferencia de potencial entredos puntos, a y b, nos da el trabajo porunidad de carga para ir desde a hasta b.


Superficies equipotenciales.

OBSERVA: Las superficiesequipotenciales son en todopunto perpendiculares alas líneas de campo.


El campo como gradiente del potencial.

z

UF

y

UF

x

UF zyx

,,

z

VqEq

y

VqEq

x

VqEq zyx

)(,

)(,

)( 00

00

00

z

VE

y

VE

x

VE zyx

,,

zyx

,,

VE

Definición de operador nabla (coordenadas cartesianas)

gradiente del potencial

z

V

y

V

x

VEEE zyx ,,),,( V

zyx

,,

ikxFkxU ˆ221

Ejemplo 1 (Tema 2)

?¿5 EyV

Ejemplo 2

a) Aplicando el principio de superposición

a1) Distribución discreta i i

i

r

qKV

a2) Distribución continua r

dqKV

b) Conocido el campo eléctrico

0

0

0 q

ldEq

q

WVV Cab

ba

Cba ldEVV

Cálculo del potencial eléctrico.

Ejemplos: Problemas 17 y 19

Ejemplos: Se verán en el tema siguiente.

¡Cuidado! Observa que en estaexpresión se resta el potencialinicial menos el final. Sinembargo, V=Vb-Va

Cálculo del potencial eléctrico.

NOTACIÓN: Diferencias de potencial.

Opción A (incremento)

Opción B (inicial menos final)

Definición

Función creciente(subida de potencial)

Función decreciente (bajada de potencial)

VVVV abab

positivo

negativo

baab VVV

positivo

negativo

¡Recuerda! Ten claro siestás trabajando con laopción A o B antes deinterpretar o asignarsignos.

• Sears, F. W., Zemansky, M. W., Young, D. H., Freedman, R. A.,‘Física universitaria’ (2 volúmenes), Addison-Wesley-Longman, 2004.• Tipler, P. A., ‘Física para la ciencia y la tecnología’ (2 volúmenes),Reverté, 2004.• Gettys, W. E., Keller, F. J., Skove, M. J., ‘Física para las ciencias eingeniería’, McGraw-Hill, 2005.

Bibliografía especialmente recomendada.

Figuras. Muchas de las figuras utilizadas en esta presentación han sido extraídas de‘Física universitaria’ y ‘Física para la ciencia y la tecnología’.

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