Tema 5. Funciones de una variable. Diferenciación yaplicaciones.

5.1 Funciones de una variable: límites y continuidad.

5.2 Derivada de una función. Aplicaciones.

5 3 Derivación implícita5.3 Derivación implícita.

5.4 Resolución numérica de ecuaciones: método de Newton.

5.5 Diferencial.

5.6 Polinomios de Taylor.5.6 o o os de ay o .

5.7 Ejercicios propuestos.

1Apéndice: Funciones hiperbólicas

E.U.Politécnica de Sevilla. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Especialidades de Electrónica, Mecánica y Electricidad. Curso 2007-08.

5.1 Funciones de una variable: límites y continuidad

Si ( ) se hace arbitrariamente próximo a un único número cuando se

i b l d d i l lí it d ( ) d ti d

f x L x

f

Definición

aproxima a por ambos lados, decimos que el límite de ( ) cuando tiende

a es , y escribimos: lim ( )x c

c f x x

c L f x L→

=

Si y son números reales, un número entero y y funciones que tienen

lí it d t

b c n f g

Proposición

límite cuando c, entonces:

1) lim[ ( )] [lim ( )]

2) li [ ( ) ( )] li ( ) li ( )x c x c

x

bf x b f x

f f→ →

→=

± ±2) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )

3) lim[ ( )x c x c x c

x c

f x g x f x g x

f x g→ → →

→

± = ±

g ( )] lim ( ) lim ( )x c x c

x f x g x→ →

= g

4) lim[ ( ) / ( )] lim ( ) / lim ( ), ( lim ( ) 0)

5) lim[ ( )] [lim ( )]

x c x c x c x c

n n

x c x c

f x g x f x g x g x

f x f x

→ → → →

→ →

= ≠

=

26) lim ( ) y lim ( ) ( ), entonces lim ( ( )) ( )

x c x c

x c x L x cg x L f x f L f g x f L

→ →

→ → →= = =

Si f ió i ú l l lí i d ( ) df L f

Proposición

Si es una función y si y son números reales, el límite de ( ) cuando

c es si si sólo si lim ( ) lim ( )x c x c

f c L f x

x L f x f x L− +→ →

→ = =

D fi i ió

a) Una función es continua en un punto si: ( ) está definida, existe

lim ( ) y lim ( ) ( )

f c f c

f x f x f c=

Definición

lim ( ), y lim ( ) ( ).

) Una función es continua en un intervalo ( , ) si lo es en todos los

punto

x c x cf x f x f c

b f a b→ →

=

s del intervalo puntos del intervalo.

1) ti i l t d l t lf

Observación

1) es continua si lo es en toda la recta real

2) es discontinua en si esta definida en un intervalo que contiene a

(excepto quizás en ) y no es continua en

f

f c f c

x c f c= (excepto quizás en ) y no es continua en .

3) Las dis

x c f c

continuidades se dividen en dos categorias: evitables y no evitables.

4) Una discontinuidad en es evitable si puede hacerse continua rede-x c f=

3 finiéndose en .x c=

Definición

Una función es continua en el intervalo [ , ] si es continua en el intervalo

( , ) y además lim ( ) ( ) y lim ( ) ( ).x a x b

f a b

a b f x f a f x f b+ −→ →

= =

: la función se dice que es continua por la derecha en

i l i i d

f x a

b

=Observación

y continua por la izquierda en .x b=

Proposición

Si es un número real y y son continuas en , tambien son continuas

en las funciones:

b f g x c

c

=

1) 2) 3) 4) / si ( ) 0.bf f g f g f g g c± ≠g

Proposición

Si es continua en y lo es en ( ), la función compuesta dada por

es continua en : lim ( ( )) ( ( )).

g c f g c f g

x c f g x f g c= =

Proposición

o

4

es continua en : lim ( ( )) ( ( )).x c

x c f g x f g c→

I di l d i i l id d l f ió ( )fEj l 1: Indica el dominio y el recorrido de la función ( ).

1 si 1 a) ( ) 1 b) ( ) tg c)

1 i 1

f x

x xf x x f x x

⎧ − <⎪= − = ⎨⎪⎩

Ejemplo 1

1 si 1x x− >⎪⎩

: Expresa la función ( ) 2 sin usar el símbolo del valorf x x x= + −Ejemplo 2 p ( )

absoluto.

fj p

: Sea la función cuya gráfica se muestra en la figurafEjemplo 3: Sea la función cuya gráfica se muestra en la figura.

a) Determina ( ).

b) Usando la gráfica de dibuja la gráfica de la funciones siguientes:

f

f x

f

Ejemplo 3

) g j g g

1) ( 4) 2) ( 2)

f

f x f x− +12

3) ( ) 4

4) ( ) 1 5) 2 ( ) 6) ( ).

f x

f x f x f x

+−

3

: Calcula los siguientes límites:

1 1 1x x +

Ejemplo 4

51 0

1 1 1 a) lim b) lim

1x x

x x

x x→ →

− + −−

: Calcula los siguientes límites:Ejemplo 5

20 3 2

: Calcula los siguientes límites:

21 cos a) lim b) lim c) lim

29x x x

xx x

x xx− +→ →− →

−−−−

Ejemplo 5

: Calcula el siguiente límite:

( ) ( ) 4f h f

Ejemplo 6

0

( ) ( ) 4 lim , siendo ( )

h

f x h f xf x

h x→

+ −=

x2

: Sea ( ) . Determina el dominio de y los puntos de

discontinuidad. ¿Hay alguna discontinuidad evitable?.

xf x f

x x=

−Ejemplo 7

: Calcula los valores de y para los cuales la función es

continua en toda la recta real

a b fEjemplo 8

continua en toda la recta real.

2 1

( ) 1 3

x

f x ax b x

≤ −⎧⎪= + − < <⎨

6

( ) 1 3

2 3

f x ax b x

x

+ < <⎨⎪ − ≤⎩

T d l l i t di

Si es continua en [ , ] y es cualquier numero comprendido entre ( )

y ( ) entonces existe al menos un numero en [ ] para el cual ( )

f a b k f a

f b c a b f c k=

Teorema del valor intermedio

y ( ), entonces existe al menos un numero en [ , ] para el cual ( ) .f b c a b f c k=

( )f a ( )f a

( )f b

k k

( )f b

1c 2c 3ca b

( )f

a b

( )f

es continua en [ , ]f a b NO es continua en [ , ]f a b

7

Teorema de Bolzano

Si es continua en [ , ] y ( ) 0 ( ) (o ( ) 0 ( )) entonces

existe algún número ( , ) tal que ( ) 0.

f a b f a f b f a f b

c a b f c

< < > >∈ =

Teorema de Bolzano

g ( , ) q ( )f

a b a b

33: Explica porqué la función ( ) 3 2 tiene un cero en el

intervalo [1,2].

f x x x= + −Ejemplo 9

8

Cálculo de raíz de 2 mediante el método de bisección

» bg

Introduce el extremo inferior del intervaloa=1

Introduce el extremo superior del intervalob=2b 2

Introduce el nombre del archivo en donde se encuentra la funciónnombre de la función=g

Introduce el test de paradaep=0.0001

solucion =

1.4142

El numero de iteraciones es:

i =

9

i

14

las iteraciones son:

n x f(x) a b ep=|b-a |

1 1 5000 0 2500 1 0000 1 5000 0 50001 1.5000 0.2500 1.0000 1.5000 0.50002 1.2500 -0.4375 1.2500 1.5000 0.25003 1.3750 -0.1094 1.3750 1.5000 0.12504 1 4375 0 0664 1 3750 1 4375 0 06254 1.4375 0.0664 1.3750 1.4375 0.06255 1.4063 -0.0225 1.4063 1.4375 0.03136 1.4219 0.0217 1.4063 1.4219 0.01567 1 4141 0 0004 1 4141 1 4219 0 00787 1.4141 -0.0004 1.4141 1.4219 0.00788 1.4180 0.0106 1.4141 1.4180 0.00399 1.4160 0.0051 1.4141 1.4160 0.002010 1 4150 0 0023 1 4141 1 4150 0 001010 1.4150 0.0023 1.4141 1.4150 0.001011 1.4146 0.0010 1.4141 1.4146 0.000512 1.4143 0.0003 1.4141 1.4143 0.000213 1.4142 -0.0001 1.4142 1.4143 0.000113 1.4142 0.0001 1.4142 1.4143 0.000114 1.4142 0.0001 1.4142 1.4142 0.0001 (0.00006103515625)

Como ep = 0.00006103515625 < 0.0001 termina el proceso y

10

Como ep 0.00006103515625 0.0001 termina el proceso y

La solución es x=1.4142

5 2 Derivada de una función Aplicaciones5.2 Derivada de una función. Aplicaciones.

( ) ( )f c h f c+Definición

0

( ) ( )La derivada de en es '( ) lim , supuesto que este

límite exista.

h

f c h f cf c f c

h→

+ −=

y=f(x)

f(c+ h) Q secante

f(c)

f(c+ h)

P t tP tangente

c c+ h

11

D i d l l

0

( ) ( )Si es derivable en , entonces existe el límite '( ) lim ,

h

f c h f cf c f c

h→

+ −=

Derivadas laterales

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )y los límites laterales lim y lim ,

h

h h

hf c h f c f c h f c

h h+ −

→

→ →

+ − + −

A estos límites les llamaremos derivadas laterales y los denotaremos por

'( ) y '( ).

U f i d i bl t i ól i i t l d i d

f c f c+ −

g

Una funcion es derivable en un punto si y sólo si existen las derivadas

laterales y coinciden.

g

2 21: Sea la función ( ) , estudia la derivabilidad

24 3

xxf x

xx

≤⎧ += ⎨ ≥−⎩

Ejemplo 10

12

en 2.x =

T

Si es derivable en , entonces continua en dicho punto.f c

Teorema

Funcion derivada

Una función que tiene derivada en cada uno de los puntos de su dominio

se llama función derivable, y en tal caso ' es la función con el mismo do-

minio que asigna a cada valor d

f

f

g

e su derivadax minio que asigna a cada valor d

0

e su derivada.

( ) ( ) '( ) lim

h

x

f x h f xx f x

h→

+ −=a

h

A ' se le llama función derivada de . Usualmente hablaremos de laf fgA se le llama función derivada de . Usualmente hablaremos de la

función ( ) y de su derivada '( ).

f f

f x f x

g

13

Si no es derivable en todos los puntos de su dominio, tambien podemos

definir ', aunque en este caso sus dominios seran diferentes:

D ( ') D (

f

f

f f

g

)

Sea una función dada por ( ), la función derivada puede expresarse de y f x=g

Dom( ') Dom(f f⊆ ).

p ( ), p p

( ) diversas maneras: '( ), ', , , ...

y f

df x dyf x y

dx dx

g

S ( ) f ió d i bl i l d i d d '( ) t bif f

Derivadas sucesivas

Sea ( ) una función derivable, si la derivada de '( ) tambien es

'( ) derivable, tendremos que su derivada es , y la denotaremos como:

y f x f x

df x

dx

=g

''

dx

f2 2

2 2

( )( ), '', , , ...

d f x d yx y

dx dx

14

Reglas básicas de derivación

1) [ ] ' 2) [ ] ' ' 3) [ ] ' '

' '4)

d d dcu cu u v u v uv u v uv

dx dx dxd u u v uv

= ± = ± = +

−⎡ ⎤ 15) [ ] 0 6) [ ] 'n nd d −2

4) dx v v

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦1 5) [ ] 0 6) [ ] '

17) [ ] 1 8) [ln ] ' 9) [ ] '

n n

u u

c u nu udx dx

d d dx u u e e u

dx dx u dx

= =

= = =

110) [log ] ' 11)

(ln )a

dx dx u dxd d

u udx a u dx

= [ ] (ln ) ' 12) [sen ] (cos ) 'u u da a a u u u u

dx= =

2 2

1 113) [cos ] ( sen ) ' 14) [tg ] ' 15) [cotg ] '

cos sen1 1

16) [arcsen ] ' 17) [arccos ] ' 18) [arc

d d du u u u u u u

dx dx u dx ud d d

u u u u

−= − = =

−= =

1tg ] 'u u=

2 216) [arcsen ] 17) [arccos ] 18) [arc

1 1u u u u

dx dx dxu u= =

− −tg ]

1u u

u=

+ 2

15

Sea continua en [ , ] y derivable en ( , ). Si ( ) ( ) existe al menos

ú ( ) t l '( ) 0

f a b a b f a f b

b f

=Teorema de Rolle

un número ( , ) tal que '( ) 0.c a b f c∈ =

a bc1

c2

c3a bc

16

Si continua en [ , ] y derivable en ( , ), existe al menosun número

( ) ( )

f a b a b

f b f

Teorema del valor medio

( ) ( )( , ) tal que '( ) .

f b f ac a b f c

b a

−∈ =

−

a b a b

c3c1 c2

c

17

2 23: Halla los puntos de la gráfica de ( ) ( 1) donde '( ) 0

aquellos en los que '( ) no existe.

f x x f x

f x

= − =Ejemplo 11

: Halla '( ) para ( ) y calcula la pendiente de la gráfica

de en los puntos (1,1) y (4,2). Discute el comportamiento en el punto (0,0).

f x f x x

f

=Ejemplo 12

de en los puntos (1,1) y (4,2). Discute el comportamiento en el punto (0,0).f

: Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica deEjemplo 13 2 ( ) que pasan por el punto P (1, 3).f x x= −

4 24 2: Sea ( ) 2 , determina todos los valores de en el

intervalo ( 2,2) tales que '( ) 0.

f x x x c

f c

= −− =

Ejemplo 14

4: Sea ( ) 5 , determina aquellos puntos del intervalo

(1,4) tales que la pendiente de la recta tangente a la curva sea igual

f xx

f

= −Ejemplo 15

18

( , ) q p g g

a la de la recta secante que une los puntos (1,1) y (4,4).

f

Extremos absolutos y relativosExtremos absolutos y relativos

Sea una función continua en un intervalo tal que .f I c I∈q

Extremos absolutos.

f

a) ( ) es el mínimo de en cuando ( ) ( ) para todo .

b) ( ) es el máximo de en cuando ( ) ( ) pa tar o

f c f I f c f x x I

f c f I f c f x

≤ ∈≥ do .x I∈

a) Si existe algún intervalo abierto ( ) tal que ( ) y en el que ( )

Extremos relativos.

a b c a b f c∈ a) Si existe algún intervalo abierto ( , ) tal que ( , ) y en el que ( )

es el mínimo de , se dice que ( ) es un mínimo relativo de .

b) Si existe algún int

a b c a b f c

f f c f

∈

ervalo abierto ( , ) tal que ( , ) y en el que ( )a b c a b f c∈) g ( , ) q ( , ) y q ( )

es el máximo de , se dice que ( ) es un máximo relativo de .

f

f f c f

19

a bca b1c2c 3c

( ) á i l ti d á i b l t d [ ]f f f b1

2

3

( ) máximo relativo de y máximo absoluto de en [ , ].

( ) mínimo relativo de .

( ) máximo relativo de .

f c f f a b

f c f

f c f

20

3( ) máximo relativo de .

( ) mínimo absoluto de en [ , ].

f c f

f b f a b

Si continua en [ , ] tiene un máximo y un mínimo en [ , ].f a b f a b⇒Teorema del valor extremo

yf f

( )f b( )f b ( )f bmáximo

( )f bNo hay máximo

( )f bmáximo

( )f c

( )f b

mínimo

a bc

( )f cmínimo

a bc

( )f c

No hay mínimo

a bc

continua en [ , ] f a b continua en ( , )f a b no es continua en f x c=

21

Definición

Sea definida en .

Diremos que es un número crítico de , si ' no está definida en

ó '( ) 0

f x c

c f f c

f

=

Proposición

ó '( ) 0.f c =

Si tiene un extremo relativo en , entonces ' no está definida en

ó '( ) 0.

f c f c

f c =

'( ) 0f c =( ) 0f c =

'( ) no existef c

c

'( ) no existef c

c

22

Cálculo de los extremos absolutos de f en [a,b]Cálculo de los extremos absolutos de f en [a,b]

Sea continua en [ ]f a bSea continua en [ , ],

1) Se determinan los números críticos de en ( , ).

2) Se evalúa en los números críticos y en los puntos y .

f a b

f a b

f a b 2) Se evalúa en los números críticos y en los puntos y .

3) El más grande de esos valores es el máximo; el más pe

f a b

queño es el mínimo.

Ejemplo :

23Halla los extremos de ( ) 2 3 en [ 1,3].

2

f x x x= − −

Ejemplo :

-1

0

1

-3 -2 -1 1 2 3x

3

2 '( ) 2

Números críticos: 0 y 1.

f xx

x x

= −

= =5

-4

-3

-2

Números críticos: 0 y 1. x x-6

-5

x -1 0 1 3

f( ) 5 0 1 0 24máximo abs. en x = 0,

23

f(x) -5 0 -1 0.24 mínimo abs. en x = -1

Nota: en x = 1, mínimo relativo.

Crecimiento y decrecimiento

) U f ió i t i t l i l i d úf I

Definición

Crecimiento y decrecimiento

1 2 1 2 1 2

a) Una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de números

, , ( ) ( ).

b) Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de númer

f I

x x I x x f x f x

f I

∈ < ⇒ <osb) Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de númerf I

1 2 1 2 1 2

os

, , ( ) ( ).x x I x x f x f x∈ < ⇒ >

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea continua en [ , ] y derivable en ( , ), entonces:

a) Si '( ) 0 para todo ( , ) es creciente en ( , ).

f a b a b

f x x a b f a b> ∈ ⇒ b) Si '( ) 0 para todo ( , ) es decreciente en ( , ).

c) Si

f x x a b f a b< ∈ ⇒ '( ) 0 para todo ( , ) es constante en ( , ).f x x a b f a b= ∈ ⇒

24

Determinación de los extremos relativosDeterminación de los extremos relativosCriterio de la derivada primera

Sea un número crítico de , siendo continua en un intervalo abierto

, , y derivable en excepto quizás en . Entonces:

c f f

I c I f I c∈ a) Si '( ) cambia en de negativa a positiva ( ) es un mínf x c f c⇒ imo rel. de .

b) Si '( ) cambia en de positiva a negativa ( ) es un máximo rel. de .

) Si '( ) bi d i ( ) t l ti

f

f x c f c f

f f

⇒ c) Si '( ) no cambia de signo en ( ) no es extremo relativo.f x c f c⇒

'( ) 0 f x <'( ) 0 f x >

'( ) 0 f x < '( ) 0 f x <'( ) 0 f x <

'( ) 0 f x >

25

ccc

Concavidad

Sea es derivable en un intervalo abierto .f I

Definición

a) es cóncava hacia arriba en si ' es creciente en .

b) es cóncava hacia abajo en si ' es decreciente en .

f I f I

f I f I

c) Si en el punto ( , ( )) hc f c ay recta tangente, se dice que ( , ( ) es

un punto de inflexión cuando la concavidad cambia en .

c f c

c

Cóncava hacia arriba,f ‘ es creciente.

Cóncava hacia abajof ‘ es decreciente.

L áfi d f d i La gráfica de f q eda por debajo

26

La gráfica de f queda por encimade la recta tangente.

La gráfica de f queda por debajode la recta tangente.

Criterio de concavidad

Sea tal que existe '' en un intervalo abiertof f I Sea tal que existe '' en un intervalo abierto .

a) Si ''( ) 0 para todo es cóncava hacia arriba en .

b) Si ''( ) 0 para todo es cóncava hacia abajo en .

f f I

f x x I f I

f x x I f I

> ∈ ⇒< ∈ ⇒

Determinación de los e tremos relati os

b) Si ( ) 0 para todo es cóncava hacia abajo en . f x x I f I< ∈ ⇒

Determinación de los extremos relativosCriterio de la derivada segunda

Sea tal que '( ) 0, y existe '' en un intervalo abierto , .

Entonces:

f f c f I c I= ∈

a) Si ''( ) 0 ( ) es un mínimo relativo de .

b) Si ''( ) 0 ( ) es un máximo relativo de .

f x f c f

f x f c f

> ⇒< ⇒

27

c) Si 'f '( ) 0 el criterio no decide.x = ⇒

Puntos de inflexión

Si tiene un punto de inflexión en ( , ( )), entonces ''( ) 0

o bien '' no está definida en .

f c f c f c

f x c

==

Cóncava

Cóncava hacia arriba

hacia arriba

Cóncava

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

hacia abajo Cóncava hacia abajo

28

Trazado de gráficas y = f(x)

- Dominio y recorrido.

- Intersecciones con los ejes.

Trazado de gráficas y f(x)

Intersecciones con los ejes.

- Simetrías.

- Continuidad.

- Asíntotas: verticales, horizontales y oblícuas.

- Derivadas primera y segunda.

i

2( ) 1f x x= −Ejemplo :

- Números críticos.

- Crecimiento.

- Extremos relativos- Extremos relativos.

- Concavidad.

- Puntos de inflexión.

- Cuadro resumen.

- Esbozo de la gráfica.

29( )ln

xf x

x=Ejemplo:

5.3 Derivación implícita

Dada una ecuación que contiene a y a , y supuesto que es una

función derivable de , se puede hallar / como sigue:

x y y

x dy dx

1.- Derivar ambos lados respecto de .x

2.- Agrupar todos los términos que contengan / a la izquierda

de la ecuación y todos los demás a la derecha.

dy dx

3.- Factorizar / en el lado izquierdo.

4.- Despejar / .

dy dx

dy dx3

Calcular / sabiendo quedy dx

Ejemplo :1

2y

3 2

Calcular / sabiendo que

5 4

dy dx

y y y x+ − − = −2

-2

-1

0-4 -2 2 4x

30-3

5.4 Método de Newton

Sea una función continua en [ , ] y derivable en ( , ). Si ( ) y ( )

tienen signos opuestos, tiene al menos un cero en ( , ).

f a b a b f a f b

f a b

a bcx1 x2

1Estimamos la posición del cero en . x x= 1p

1 1 1( ) '( )( )y f x f x x x− = − La recta tangente a la curva en dicho punto es:

312 Esta recta corta al eje en el punto :x x 12 1

1

( )

'( )

f xx x

f x= −

2Estimamos la posición del cero en . x x=

2 2 2( ) '( )( )y f x f x x x− = − La recta tangente a la curva en dicho punto es:

a bcx1 x2x3

Esta recta corta al eje en el punto :x x 2( )f xx x= −

3 Esta recta corta al eje en el punto :x x 3 22'( )

x xf x

=

Ahora estimamos la posición del cero en y reiteramos el procesox x32

3Ahora estimamos la posición del cero en y reiteramos el proceso. x x=

Método de NewtonMétodo de Newton

Sea ( ) 0, donde es derivable en un intervalo abierto que contiene a . f c f c=Para aproximar seguimos los siguientes pasos:

1 H i ió ó i

c

11.- Hacemos una estimación próxima a .

2.- Determinamos una nueva estimació

x c

1

( )n .

'( )n

n n

f xx x

f x+ = −

1 1

( )

3.- Si ε, siendo ε la precisión deseada, tomamos c , en caso

contrario volvemos al paso 2

n

n n n

f x

x x x+ +− < ;

contrario volvemos al paso 2.

Nota: este método puede fallar por dos motivos.

a) Anulación de la derivada en algun punto

33

a) Anulación de la derivada en algun punto.

b) No convergencia de la sucesión.

: Cálculo de 2 con un error menor que ε 0.0001. =Ejemplo

2Consideramos la función ( ) 2 que es continua y derivable en .

En particular, es continua en el intervalo [1, 2] y derivable en (1,2).

f x x= − ¡

p [ ] y ( )

Se verifica que (1) 1 y (2) 2, luego existe (1, 2) tal que ( ) 0.f f c f c= − = ∈ =

1

2

1 1

Calculamos usando el Método de Newton con 2.

( ) 2n n

c x

f x xx x x x

=

−= − ⇒ = −1 1

'( ) 2n n n nn n

x x x xf x x+ +⇒

2x =1

2

3

2

1.5

1.4167

x

x

x

=== Solución: 1.4142c =3

4

5

1.4167

1.4142

1.4142

x

x

x

==

Solución: 1.4142 c

34

5

3 2: Aproxima los ceros de ( ) 2 1 usando el Método

de Newton con un error menor que ε 0.0001.

f x x x x= + − +=

Ejemplo

2

2 '( ) 6 2 1, ''( ) 12 2f x x x f x x= + − = +1

2

Hay un único cero.

Se verifica que ( 2) 0 y ( 1 0,f f− < − > -1

0-3 -2 -1 1 2 3x

luego existe ( 2, 1) tal que ( ) 0.

( )

c f c

f

∈ − − =

1 1x = −

-2

1

( )

'( )n

n nn

f xx x

f x+ = −1

2

3

1

1.3333

1.2434

x

x

x

= −= −

3 2

1 2

2 1

6 2 1n n n

n n

x x xx x

x x+

+ − += −

+ −

3

4

5

1.2339

1.2338

x

x

= −= −

35

6 2 1n nx x+6 1.2338

x = − Solución: 1.2338 c = −

3: Sea ( ) f x x=Ejemplo

( )( )

13

1 1 21 3

( ) 3 2

'( )nn

n n n n n n n

xf xx x x x x x x

f x+ + −= − ⇒ = − = − = −( )1 3

3( )n n

f x x

1 0 1x =

1 x

1

2

0.1

0.2

0 4

x

x

x

= −=3

4

0.4

0.8

x

x

== −M

1 x2x 3x4x M

El límite de la sucesión no existe

36

Convergencia del Método de NewtonConvergencia del Método de Newton

Teorema

Sea una función continua en [ , ] y derivable dos veces en ( , ).

Si además se verifica que

f a b a b

a) ( ) ( ) 0.

b) '( ) 0, para todo ( , ).

c) ''( ) no cambia de signo en ( )

f a f b

f x x a b

f x a b

<≠ ∈

c) ( ) no cambia de signo en ( , ).

ento

f x a b

{ }1 1 1nces, si es el punto terminal de intervalo [ , ] en el cual ( ) ''( ) 0,

la sucesión definida porn

x a b f x f x

x

⋅ >

{ }

1

p

( )

'( )

n

nn n

n

f xx x

f x+ = −

converge al punto tal que c ( ) 0.f c =

37

5.5 Diferencial de una función

Sea una función derivable en un intervalo abierto , y sea .f I c I∈

y=f(x)

f(c+ ∆ x)

f(c)

f( )

f(c+ ∆ x)-f(c)f ’(c) ∆ x

c c+ ∆ x

Cuando es pequeño: ( ) ( ) '( )x y f c x f c f c x∆ ∆ = + ∆ − ∆;Cuando es pequeño: ( ) ( ) ( ) . x y f c x f c f c x∆ ∆ = + ∆ ∆;

se denota por y se llama .x dx diferencial de x∆

38

p y

'( ) se denota por y se llama en .

f

f c dx dy diferencial de y x c=

Definición :

Sea una función derivable en un intervalo abierto , . La diferencial de

es cualquier número real no nulo. La diferencial de es '( ) .

f I x I x

y dy f x dx

∈=

Propagación de errores

Sea un valor que resulta de una medición, es el valor exacto.

se denomina error de medida

x x x

x

+ ∆∆ se denomina error de medida.

Si el valor medido se emplea para calcular otro valor ( ), la diferen

x

y f x

∆

= cia

( ) ( ) se denomina error propagado.y f x x f x∆ = + ∆ −

Para estimar el error propagado utilizaremos la aproximación:

y dy∆ ;

39

L did d l l d d d d 12 t d dEj l La medida del lado de un cuadrado es 12 cm, con una cota de error de

1/64 cm. Aproxima, mediante la diferencial, la cota de error propagado al calcular

el área del cuadrado.

Ejemplo :

el área del cuadrado.

2( )A f l l= =

l

12cml =1

cm64

l∆ =

d ( ) ( )A f l l f l dA∆ ∆Error propagado: ( ) ( )A f l l f l dA∆ = + ∆ − ≈

d 2 d 2A l l l l= ⋅ = ⋅ ∆

1 3d 2 d 2 12

64 8A l l= ⋅ ≤ ⋅ ⋅ =

64 8

23Una aproximación de la cota del error propagado es cm

8E =

40

p p p g8

5.6 Polinomios de Taylor

Sea una función derivable en un intervalo abierto , y sea .f I c I∈

y=f(x)

P( )P(x)

f(c)

c

Cerca del punto ( , ( )), la gráfica de aproxima la gráfica de . c f c P f

Las gráficas de y pasan por ( , ( )) : ( ) ( )f P c f c P c f c=

41

Las gráficas de y tienen la misma pendiente en ( , ( )) : ´( ) '( )f P c f c P c f c=

1 0 1Dada la función ( ) , halla un polinomio de grado uno ( ) xf x e P x a a x= = +Ejemplo :

cuyo valor y cuya pendiente coincidan con los de en 0.f x =

P1(x)

ex

1( )

1 0 1 1 01

( ) (0) (0) 1( ) ( ) 1

'(0) '(0) 1'( ) '( )

x

x

P x a a x P f af x eP x x

P f aP x a f

⎫= + = == ⎫ ⎫⎪⇒ ⇒ ⇒ = +⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎭ ⎭⎭

42

1 11 1 '(0) '(0) 1'( ) '( ) x P f aP x a f x e = == = ⎪ ⎭ ⎭⎭

Podemos mejorar la aproximación con un polinomio de segundo grado, imponiendo

di ió di i l i id l d i d d 0una condición adicional: que coincidan las derivadas segundas en 0.x =

x

P2(x)

ex

⎫22 0 1 2 02

212 1 2 1 22 2

1

( )( ) 1(0) (0)

'( ) 2 '( ) 1 ( ) 1'(0) '(0)

''( ) 2 ''(0) ''(0)''( )

x

x

x

f x eP x a a x a x aP f

P x a a x f x e a P x x xP f

P x a aP ff x e

⎫== + + == ⎫⎫⎪ ⎪ ⎪= + = ⇒ ⇒ = ⇒ = + +=⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪= === ⎭ ⎭⎭

43

2 2 22 2( ) 2 (0) (0)( )P x a aP ff x e= === ⎭ ⎭⎭

Polinomios de Taylor y MacLaurin

S f ió d i bl l li if

Definición

2 )

Sea una función derivable veces en , el polinomio

1 1( ) ( ) '( )( ) ''( )( ) ( )( )

2! !n n

n

f n c

P x f c f c x c f c x c f c x cn

= + − + − + + −L

se llama polinomio de Taylor de grado de en .

Si 0 entonces: ( ) (0)n

n f c

c P x f= = + 2 )1 1'(0) ''(0) (0)

2! !n nf x f x f x

n+ + +L

2! !se llama polinomio de Maclaurin de grado de

nn f

: El polinomio de Maclaurin de grado de la función ( ) es

1 1

xn f x e=Ejemplo

21 1 ( ) 1

2! !n

nP x x x xn

= + + + +L

: El polinomio de Taylor de grado 4 de la función ( ) ln , centradof x x=Ejemplo

442 2 4

: El polinomio de Taylor de grado 4 de la función ( ) ln , centrado

1 1 1 en 1, es ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

2 3 4n

f x x

c P x x x x x= = − − − + − − −

Ejemplo

Resto de un polinomio de Taylor

Sea na f nción deri able 1 eces en n inter alo Paraf I I+Teorema

Sea una función derivable 1 veces en un intervalo , . Para

cada existe un valor comprendido entre y tal que

f n I c I

x I x cθ+ ∈

∈1 1

1) 11siendo ( ) ( )( )n nR x f x cθ+ +

2 )1 1( ) ( ) '( )( ) ''( )( ) ( )( ) ( )

2! !n n

nf x f c f c x c f c x c f c x c R xn

= + − + − + + − +L

)siendo ( ) ( )( )( 1)!nR x f x cn

θ= −+

( ) ( )

Nota

f x f c−( ) ( )Para 0 se tiene ( ) ( ) '( )( ) '( ) ,

que es la expresión del teorema del valor medio.

f x f cn f x f c f x c f

x cθ θ= = + − ⇒ =

−

45

2

4

2

4

-2

0-4 -2 2 4x

-2

0-4 -2 2 4x

-4

1( ) sen( ) ( )f x x P x x= =

-4

1( ) ( ) 1xf x e P x x= = +

44

0

2

-4 -2 2 4x0

2

-4 -2 2 4x

-4

-2

-4

-2

46

3

3( ) sen( ) ( )3

xf x x P x x= = −

2 3 4

4( ) ( ) 12 6 24

x x x xf x e P x x= = + + + +

2

4

( )f x2

4

( )f x

-2

0

2

-4 -2 2 4x

-2

0-4 -2 2 4x

-4-4

1( ) ln(1 ) ( )f x x P x x= + =2 3

3

1 1( ) ln(1 ) ( )

2 3f x x P x x x x= + = − +

2

4

( )f x2

4

( )f x

-2

0-4 -2 2 4x

-2

0-4 -2 2 4x

-4

2 3 41 1 1( ) ln(1 ) ( )f x x P x x x x x= + = − + −

-4

21

47

4( ) ln(1 ) ( )2 3 4

f x x P x x x x x= + = +22

1( ) ln(1 ) ( )

2f x x P x x x= + = −

48

49

50

51

52

53

Tema 5 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería, Mecánica y Electricidad. E.U.P. Sevilla 1

5.7 Ejercicios propuestos

1. Suponiendo que la ecuación dada de�ne a y como función implícita de x calculardy

dx;d2y

dx2en el

punto indicado. Obtener también, en cada caso, la ecuación de la recta tangente a la curva enel punto indicado.

a) 2x3y � y3 � 1 = 0 A(1; 1). b) tg (x+ y) = x A(0; 0).

2. Un punto �jo x0 de una función f es un valor de x para el cual f (x0) = x0: Aproximar el punto�jo de f (x) = cosx con dos cifras decimales exactas.

3. Hallar el punto de la grá�ca de f(x) = 4� x2 más cercano al punto (1; 0) :

4. La medida del lado de un cuadrado ha dado 15 cm, con cota de error de 0:05 cm.

a) Aproximar el porcentaje de error en el cálculo de su área.

b) Estimar el máximo error porcentual admisible en la medida del lado para que el error cometidoal calcular el área no supere el 2:5 por 100:

5. Obtener el polinomio de Maclaurin de grado cuatro de la función f(x) = cosx y valorar el errorque se comete si se utiliza dicho polinomio para calcular cos (0:3) :

6. Hallar los extremos absolutos de la función en el intervalo que se indica:

a) f(x) = 2x+ 4 cosx, en el intervalo [0; 2�] : b) g(x) =xpx2 + 1

; en el intervalo [0; 2] :

7. Calcular el dominio, las asíntotas, los extremos relativos y puntos de in�exión de las siguientesfunciones. Con esa información hacer un esbozo de la grá�ca.

a) f(x) =x+ 1

x� 1 : b) g(x) =��x2 � 9�� : c) h(x) = x+ cosx; en el intervalo [0; 2] :

8. Un ganadero desea vallar un prado rectangular adyacente a un río. El prado ha de tener 180.000m2 con el �n de que proporcione su�ciente pasto al ganado. ¿Qué dimensiones debe tener paraque requiera la menor cantidad de valla posible teniendo en cuenta que no hay que poner vallaen el lado que da al río?

9. Se llama ventana de Norman a la formada por un semicírculo unido a una ventana rectangularordinaria. Hallar las dimensiones de una ventana de Norman de 16 metros de perímetro y áreamáxima.

10. Tres lados de un trapecio tienen la misma longitud a. De todos los trapecios con esa condiciónprobar que el de área máxima tiene su cuarto lado de longitud 2a:

11. Calcular la longitud de la tuberia más larga que se puede transportar por dos pasillos en ángulorecto de anchura 4 m. y 6 m.

12. Se forma un sólido adosando dos hemisferios a las bases de un cilindro circular recto. El volumentotal del sólido es de 12 cm3: Hallar el radio del cilindro que produce área mínima de la super�ciedel sólido.

13. Un hombre está en un bote a dos millas del punto más cercano de la costa y desea ir al puntoQ de la �gura, tres millas costa abajo y una tierra adentro. Puede remar a 2 millas por horay caminar a 4 millas por hora. ¿Hacia qué punto de la costa debe dirigirse si quiere tardar elmenor tiempo posible?

Tema 5 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería, Mecánica y Electricidad. E.U.P. Sevilla 2

14. Un hombre está en un bote a dos millas del punto más cercano de la costa y desea ir al puntoQ de la �gura, tres millas costa abajo y una tierra adentro. Puede remar a 3 millas por horay caminar a 4 millas por hora. ¿Hacia qué punto de la costa debe dirigirse si quiere tardar elmenor tiempo posible?

Soluciones de los ejercicios del tema 5.

1. a)dy

dx

����(1;1)

= 6;d2y

dx2

����(1;1)

= �132; recta tangente: y = 6x� 5

b)dy

dx

����(0;0)

= 0;d2y

dx2

����(0;0)

= 0; hay una recta tangente horizontal en x = 0

2. x0 = 0:7391:

3. Y el punto de la grá�ca más cercano al A(1; 0) es B(1:9385; 0:240):

4. a) 0.67%. b) 1.25%

5. P (x) = 1� 12x2 +

1

24x4. El error que se comete al calcular cos (0:3) es 2:025:10�5.

6. a) Mínimo absoluto en x = 5�6 ; máximo absoluto en x = 16:56

b) Mínimo absoluto en x = 0; máximo absoluto en x = 2:

7. a) f(x) =x+ 1

x� 1 b) g(x) =��x2 � 9�� c) h(x) = x+ cosx

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

x

y

x

y

a)

52.50-2.5-5

15

12.5

10

7.5

5

2.5

x

y

x

y

b)

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

x

y

x

y

c)

8. 600 m � 300 m.

9. Dimensiones de la parte rectangular: 16�+4 �

32�+4 :

10. Base menor a; base mayor 2a:

11. l = 14:075

12. r = 3

q9� ;obsérvese que el cilindro degenera pues h = 0:

13. x = 1

14. x = 1:5626