tema 46. distintas coordenadas para describir el plano y...

Tema 46. Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 46. Distintas coordenadas para describir el

plano y el espacio. Curvas y superficies.

1. Introducción.

El estudio y representación de algunas curvas es bastante previo a la definición y

utilización de los sistemas de referencia, teniendo tales curvas un enfoque sistémico.

Se considera a la Grecia clásica la primera cultura en estudiar curvas. Los conocimientos

del saber griego perduran por los años y han tardado en superarse, en especial la geometría.

Los pensadores más relevantes de la Grecia clásica en estudio de las curvas pueden ser

Arquímedes (la espiral), Apolónio (las cónicas) y Ptolomeo (ciclos epiciclos).

Las curvas eran entendidas como lugares geométricos y como tales se construían a partir

de herramientas propias, por esta razón se denominaron curvas mecánicas.

Descartes en el S XVII define los sistemas de coordenadas (ejes cartesianos), a partir de

este momento las curvas se interpretan de forma algebraica siendo una relación de y frente x.

Esta nueva forma de entender las curvas se ha mantenido y ha dado a nuevas

herramientas que nos ayudan a la representación gráfica a partir de la expresión analítica, es el

cálculo infinitesimal.

El sistema de coordenadas polar surge de su utilización por los matemáticos y físicos

Newton y Leibnitz.

2. Sistemas de coordenadas en el plano.

2.1. Planos afines.

Los sistemas de coordenadas en el espacio afín permiten representar de forma sencilla y

concreta puntos y curvas en el plano.

Plano Afín(A2): es una estructura formada por la terna ( Π 2, V2, p) donde se cumple:

- Π 2 es el conjunto de puntos en el plano ℝ2, P=(x,y).

- V2 es el espacio vectorial de 2 dimensiones: (ℝ2, +, ·)

- p aplicación que nos relaciona dos puntos A,B∈ ℝ2 con un vector: p(A,B)= ABv = y

que está definida de la siguiente forma ),( ABAB yyxxABv −−==

Sobre el plano Afín definimos un sistema de referencia cartesiano ℛ={O, 21 ,uu } donde O

es un punto de Π 2 y 21 ,uu dos vectores base de V2. Las rectas que contienen el origen O y

con direcciones 21 uyu se llaman ejes coordenados del sistema de referencia ℛ.

Por ser 21 uyu base, todo vector v se puede expresar como combinación lineal de

estos: =v 2211 ·· uu λλ + , siendo 2211 ·· uyu λλ las proyecciones del vector v en los dos ejes.

Los valores de 21 λλ y se denominan coordenadas de v en ℛ. De igual forma podemos definir

las coordenadas de un punto P∈Π 2 a los valores x e y que cumplen: 21· uyuxOP += y se

expresan como P(x,y).



2.2 Plano Euclideo, coordenadas cartesianas.

La diferencia entre el plano afín y el euclideo es que el segundo tiene una aplicación

métrica asociada, denominada producto escalar, que nos relaciona dos vectores con el cuerpo

(los números reales). A partir de esta aplicación se define la norma del vector como veremos.

Producto escalar:

·: V2xV2 ℝ

21 , uu λ=21 ·uu

Norma: se define a partir producto escalar

||: V2 ℝ

u uuu ·=

Plano Euclideo E2 es un espacio Afín donde el espacio vectorial dotado de una aplicación

del tipo producto escalar, y por tanto de norma: E2( Π 2, V2, p).

Nota: si V2= ℝ2 entonces el producto escalar definido de la siguiente forma:

212121 ··· yyxxuu += y por tanto la norma: 22· yxuuu +==

Para fijar el plano euclideo es necesario definir el sistema de referencia, denominado en

este caso cartesiano: ℛ={O, 21 ,ee } donde se cumple que O es un punto (centro del sistema) y

los vectores , 21 ,ee son base de V2 y ortonormales, es decir 0,· 21 =ee y 121 == ee . En el

caso de que V2= ℝ2 los vectores serán perpendiculares y de tamaño unidad. Fijado el sistema

de referencia se llaman ejes cartesianos a las rectas que pasando por O tiene dirección 21 eye

Todo vector y todo punto se podrán poner en función del sistema cartesiano de la

siguiente forma: 21 ·· eyexv += y P(xp,yp)= 21 ·· eyexOP pp += .

2.3 Cambio de base en ejes Euclideos.

Tenemos infinidad de sistemas de referencias distintos, sin más que cambiar el centro y/o

los vectores de la base. Muchas veces es necesario pasar de un sistema de referencia ℛ={O,

21 ,ee } a otro ℛ′={O’, ',' 21 ee }, para esto se suele trabajar con la matriz de cambio de sistema

de referencia. Veamos como relacionar las coordenadas de un punto P(x,y) y P(x’,y’):

'·'·

'·'·

2221212

2121111

ecece

ecece

+=

+= �

=

2221

1211

cc

ccC

y '·'·' 21 eyexOO oo += .

O 1e x· 1e

y· 2e

2e

v

P

Propiedades producto escalar:

1) 1221 ·· uuuu =

2) ( ) 3121321 ··· uuuuuuu +=+

3) 0· ≥uu

4) 00· =↔= uuu

5) ( ) ( )1221 ·· uuuu αα =



Las propiedades de los 4 vectores (ortonormales) nos limitan los cambios de base y por

tanto las matrices C, ya que deben cumplir: 12

12

2

111 =+= cce , 12

22

2

212 =+= cce y

0··· 2212211121 =+= ccccee . Sólo hay tres tipos de cambios de coordenadas:

a) Traslación del origen: ℛ={O, 21 ,ee } ℛ′={O’, 21 ,ee }: por lo que si P(x’,y’) en ℛ�

entonces en ℛ se cumple P(x,y)=(x’+xo ,y’+yo):

b) Simetría axial: ℛ={O, 21 ,ee } � ℛ′={O’, 21 , ee − } o ℛ′′={O,- 21 ,ee } de tal forma que si

P(x,y) en ℛ entonces P(x’,y’)=(x,-y) en ℛ′ y P(x’’,y’’)=(-x,y) en ℛ��.

c) Giro o rotación de los ejes (α): Si giramos un ángulo α los ejes la relación de los

elementos de la base es: ')·(')·cos( 211 esenee αα −= , ')·(cos')·( 212 esesene αα +=

O

1e '' 1e = 1e ’

2e = 2e ’’

2e ’

==

10

01IdC

=

'

'

1

·

10

01

0011

0

0

y

x

y

x

y

x

−==

10

01' IdC

−

=

'

'

1

·

100

010

0011

y

x

y

x

−==

10

01' IdC

−=

''

''

1

·

100

010

0011

y

x

y

x

−=

)cos()(

)()cos(

αααα

sen

senC

−=

'

'

1

·

)cos()(0

)()cos(0

0011

y

x

sen

sen

y

x

αααα



Todas las matrices de cambio de sistema de referencia ortonormal cumplen A-1

=At. Si

tenemos varios cambios de referencia la nueva matriz de cambio de base se obtiene

multiplicando las matrices.

2.4 Coordenadas polares.

Se basan en la relación de equivalencia entre los conjuntos de ℝ2 y ℂ. De esta forma

podemos definir cada punto P o vector v en función del módulo de v o distancia al origen del

punto P y del ángulo que forma el vector v o el vector OP con el eje positivo OU1

(generalmente denotado como OX).

P(x,y) ≡P(ρ,θ) donde

- Polares en función de cartesianas: ρ=22

yx + y )/(1 xytg −=θ

- Cartesianas en función de polares: x= ρ·cos(θ), y= ρ·sen(θ).

Se pueden definir los vectores unitarios en polares ( θρ uu , )

pero son distintos en cada punto del plano, no como los

cartesianos que son siempre los mismos.

3 Sistemas de coordenadas en el espacio.

3.1 Espacio Cartesiano.

En el espacio con tres dimensiones el espacio afín asociado será la terna A3=( Π 3, V3, p)

donde Π 3 es el conjunto de todos los puntos en el espacio (ℝ3), V3 es el espacio vectorial de

dimensión 3 (ℝ3,+, ·) y p la aplicación que asocia dos puntos A, B a un vector AB . Si además

se define un producto escalar en V3 obtenemos el espacio euclideo E3( Π 3, V3, p). En este

espacio definimos el sistema de referencia ℛ={O, ),, 321 eee } donde los vectores son

ortonormales, es decir

≠

===

jisi

jisiuu ijji

0

1· δ . Los ejes coordenados son las rectas que

pasan por O y tienen vector director 321 , eyee



3.2 Cambio de sistema de coordenadas ortonormal.

Si tenemos dos sistemas de referencia ortonormales ℛ={O,321 ,, eee } y ℛ′={O, ',',' 321 eee }.

Las coordenadas de cualquier punto P se podrá poner en cualquier sistema de referencia . La

ecuación matricial es semejante al plano afín con la diferencia de una coordenada más. Se

tiene que cumplir que los coeficientes de la matriz aij : 1||2

3

2

2

2

1 =++= iiii cccu si i≠j se

cumple 0···· 332211 =++= jijijiji ccccccuu . Veamos algunos casos de cambios de sistema:

A) Traslación del Origen de O(0,0,0) a O’(xo,yo,zo):

+=

+=

+=

'

'

'

zzz

yyy

xxx

o

o

o

La matriz asociada es :

=

'

'

'

1

·

100

010

001

00011

0 z

y

x

z

y

x

z

y

x

o

o

B) Inversión o simetría: para que se cumpla el orden ( 213 uuu ×= ) hay que invertir 2

ejes, tenemos tres opciones:

=

−=

−=

'

'

'

zz

yy

xx


−

−=

'

'

'

1

·

1000

0100

0010

00011

z

y

x

z

y

x

=

=

−=

'

'

'

zz

yy

xx


−

−=

'

'

'

1

·

1000

0100

0010

00011

z

y

x

z

y

x

−=

−=

=

'

'

'

zz

yy

xx


−

−=

'

'

'

1

·

1000

0100

0010

00011

z

y

x

z

y

x

C) Rotación: A diferencia en 2-d hay muchas formas de rotar los ejes, aunque se puede

demostrar que toda rotación es composición de los 3 ángulos de Euler y no de los 9

ángulos siguientes:

∠+∠+∠=

∠+∠+∠=

∠+∠+∠=

3332321313

3232221212

3132121111

))',(cos())',(cos())',(cos('

))',(cos())',(cos())',(cos('

))',(cos())',(cos())',(cos('

uuuuuuuuuu

uuuuuuuuuu

uuuuuuuuuu

Aplicando la ortogonalidad ijjiijji eeyee δδ == ''·· vemos que sólo 3 ángulos

independientes (ángulos de Euler) que se identifican como

- Α=φ (rotación): giro del eje Z � (x1, y1, z1=z)

- Β=ψ (nutación) : giro del eje x1 � (x2, y2, z2)

- γ =θ (precesión): giro del eje z2 � (x3, y3, z3)


Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria

Matriz de giro:

−=

0

cos()(

)cos(

sen

sen

z

y

x

γγ

3.3 Coordenadas cilíndricas.

Cuando las curvas o superficies estudiadas

coordenadas más útiles son las cilíndricas, que se basan en las coordenadas polares en el

espacio. Veamos el significado de las tres coordenadas cilíndricas y su relación con x,y,z

ρ=distancia del punto al eje OZ=

ϕ=ángulo de la proyección del punt

z, z∈(-∞,∞)

3.4 Coordenadas esféricas.

Estas coordenadas se denominan de esta manera pues se representan de forma muy

sencilla la ecuación de la esfera. Estas coordenadas son las que se utilizan para situarse en la

Tierra. Las coordenadas esféricas son las siguie

r=distancia del punto al origen (módulo del vector OP)

ϕ=ángulo de la proyección del punto P en el plano XY con el eje OY en sentido positivo.

θ=ángulo del vector OP y el eje OZ positivo.

Coordenadas para describir plano y superficies. Curvas y Superficies

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)

−

−

0

)(

)cos(

·

)cos()(0

)()cos(0

001

·

10

0)cos(

0)(

sen

sen

sen

sen

αα

ββββγ

γ

Coordenadas cilíndricas.

uperficies estudiadas tiene simetría axial respecto al eje OZ las



ρ=distancia del punto al eje OZ= 22

yx + : ρ∈(0,∞)

=ángulo de la proyección del punto sobre el plano XY y el eje OX, ϕ=tg-1

(y/x):

El cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas es

sencillo:

x=ρ·cos(ϕ)

y= ρ·sen(ϕ)

z=z

Coordenadas esféricas.



Tierra. Las coordenadas esféricas son las siguientes:

r=distancia del punto al origen (módulo del vector OP)

=ángulo de la proyección del punto P en el plano XY con el eje OY en sentido positivo.

=ángulo del vector OP y el eje OZ positivo.


6

'

'

'

10

0)cos()

0)(

z

y

xsen

αα

tiene simetría axial respecto al eje OZ las



(y/x): ϕ∈(0,2π)

El cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas es



=ángulo de la proyección del punto P en el plano XY con el eje OY en sentido positivo.



esfericacartesiana

z

yxtg

x

ytg

rzyxr

→

∈

+=

∈

=

∞∈++=

−

−

),0(

)2,0(

),0(

22

1

1

222

πϑϑ

πϕϕ

cartesianaesferica

rz

senrseny

senrx

→

=

=

=

)cos(

)()(

)()cos(

ϑϑϕϑϕ

Al igual que en las coordenadas cilíndricas las coordenadas esféricas no tienen ejes

definidos, de forma que los vectores directores ϑϕ uuu r ,, son distintos en cada punto P.

4. Curvas y superficies. Generalidades.

4.1 Distintas formas definir curvas y superficies en plano y espacio

A) Curvas en el plano: una curva es una línea de 1 dimensión, siendo la relación de dos

variables (x e y). Pueden definirse de distintas maneras.

• Análitica o funcional: cuando una variable (generalmente la y ) se puede poner

en función de la otra x, de manera que a cada valor de x le corresponde un

único valor de y: y=f(x) o x=f(y). Ejemplo: y=f(x)=x2-2x+5

• Algebraica: los puntos de la curva son las soluciones de una ecuación

algebraica de dos incógnitas (x e y). Toda expresión analítica se puede poner

de forma algebraica pasando la y al otro lado de la igualdad (F(x,y)=x2-2x+5-y)

pero el sentido inverso no siempre es posible al no poderse despejar ninguna

variable. Ejemplo: x2+y

2-25=0

• Paramétrica: los valores de x e y se expresan en función de un parámetro, t.

Este parámetro puede tener significado geométrico (ángulo) o no. Tenemos

entonces 2 ecuaciones con 3 variables, es decir un parámetro libre. Siempre es

posible pasar de expresión analítica a pramétrica llamando a x=t, en sentido

inverso no siempre es posible. Ejemplo: x=5·cos(t), y=5·sen(t) t∈(0,2π)

• En polares: es una relación funcional entre ρ y θ: ρ =f(θ). Ejemplo ρ=θ.

Por lo general es posible relacionar las distintas representaciones entre si, aunque no

siempre es posible pues para la expresión analítica es necesario que la relación entre la

variable y y la x sea inyectiva (f(x)=y una única solución).

B) Curvas en el espacio: en el espacio tenemos que añadir una variable más (x, y, z). Dos

posibles representaciones:

• Algebraica: dos igualdades que con 3 variables nos darán un parámetro libre

(curva). Esta forma de definirla es como intersección de dos superficies:



� sCartesianazyxF

zyxF

=

=

0),,(

0),,(

2

1

� sCilíndricazF

zF

=

=

0),,(

0),,(

2

1

ϕρϕρ

� EsféricasrF

rF

=

=

0),,(

0),,(

2

1

ϕϑϕϑ

• Paramétricas: las 3 variables en función de un parámetro t: Cartesianas

{x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t)}; polares {ρ=f1(t), ϕ=f2(t), z=f3(t) }; esféricas {r=f1(t),

θ=f2(t), ϕ=f3(t)}.

C) Superficies en el espacio: en el plano no hay superficies, si en el espacio. Las

superficies se caracterizan por dos tener dos grados de libertad. Al igual que con las

curvas en el plano hay tres formas de definir una superfice:

• Analíticamente: cuando podemos poner una de las tres variables en función

de las otras dos. De esta forma la superficie vendrá definida por la expresión

� Cartesianas: z=f(x,y), y=f(x,z) o x=f(y,z)

� Cilíndricas: ρ=g(z,ϕ), z=g(ρ,ϕ) o ϕ=g(ρ,z)

� Esféricas: r=h(ϕ,θ), ϕ=h(r,θ) o θ=f(ϕ,r)

• Algebraica: los puntos de la superficie son las soluciones de una ecuación con

tres incógnitas (los tres variables que definen el espacio).

� Cartesianas: F(x,y,z)=0

� Cilíndricas: G(ρ,ϕ,z)=0

� Esféricas: H(r,θϕ)=0

• Paramétricas: las 3 variables están en función de dos parámetros. Modificando

los parámetros obtenemos los distintos puntos de la superficie.

� Cartesiana: x=f1(t,s), y=f2(t,s), z= f3(t,s)

� Cilíndricas: ρ= g1(t,s), ϕ= g2(t,s), z= g3(t,s)

� Esféricas: r= h1(t,s), θ= h2(t,s), ϕ= h2(t,s)

Nota: no siempre es posible pasar de una expresión a otra. Por ejemplo la expresión

analítica sólo es posible si podemos despejar una variable en función de las otras dos,

siendo solamente posible si esta variable es inyectiva con las otras dos.

5. Algunas curvas planas importantes.

5.1 En forma analítica (Cartesiana).

Pueden ser de dos tipos y=f(x), y inyectiva ( toda recta x=cte corta sólo una vez a la curva)

o x=g(y), x inyectiva ( toda recta y=cte corta sólo una vez a la curva) o x=g(y).

1) Recta : y=mx+n. Siendo m la pendiente y n la ordenada origen.

2) Parábola inyectiva en x: y=ax2+bx+c , y=a(x-x0)

2+y0 con vértice en V(x0,y0 )

3) Parábola inyectiva en y: x=ay2+by+c , x=a(y-y0)

2+x0 con vértice en V(x0,y0 )

4) Proporcionalidad inversa: y=(ax+b)/(cx+d)



5) Gaussiana (típica en distribuciones normales): y=2

20

·2

)(

σ

xx

e

−−

6) Función exponencial: y=A·ek(x-xo)

+y0 o y=A·e-k(x-xo)

+y0

7) Función logarítmicas: y=y0 + A·lga(x-x0) con dos opciones a>1 y 0<a<1.

8) Trigonométricas: y=A·cos(kx-α0), y=A·sen(kx-α0), y=A·tg(kx-α0), y=A·sec(kx-α0),

y=A·cosec(kx-α0), y=A·cotg(kx-α0)

5.2 En forma paramétrica y/o algebraica (Cartesiana).

Muchas curvas no pueden expresarse en forma analítica al no ser inyectivas en ninguna de

las dos ejes, para expresar estas curvas es necesario expresar la curva en forma paramétrica o

algebraica. Veamos algunos ejemplos:

a) Las cónicas: son curvas que se obtienen por la intersección de un plano sobre un cono,

fueron estudiados por Apolonio.

• Circunferencia (plano perpendicular al eje del cono): puntos que equidistan del

centro O(x0,y0) una distancia r.

- Algebraica: (x-xo)2+(y-y0)

2=r

2

- Paramétrica: )2,0[)(·

)·cos(

0

0 π==

+=

+=ángulotcon

tsenryy

trxx

• Elipse (plano con ángulo mayor que la generatriz respecto al eje): se cumple que la

suma de las distancias de todos los puntos a 2 focos es constante e igual a 2·a:

- Algebraica: 1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

+−

b

yy

a

xx


)·cos(

0

0 π==

+=

+=ángulotcon

tsenbyy

taxx

• Hipérbola (plano con ángulo menor que la generatriz respecto al eje): se cumple

que la diferencia de las distancias de todos los puntos a 2 focos es constante:

- Algebraica: 1)()(

1)()(

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

0 =−

+−

−=−

−−

a

yy

b

xxo

b

yy

a

xx


)(·

)(·

)(·

0

0

0

0 π==

+=

+=

+=

+=ángulotcon

tchayy

tshbxxo

tshbyy

tchaxx

(x-3)2+(y+1)

2=5

2 1

1

)1(

2

)1(2

2

2

2

=−

+− yx

11

)1(

2

)1(2

2

2

2

=+

−− yx



b) Curva de generación mecánica:

una curva (generalmente circunferencia) en torno a otra curva (recta u otra

circunferencia). Muchas de estas curvas se representan de forma polar.

• Cicloide: lugar de los puntos que se obtiene de recorrer la posición de un

punto de una circun

ry

sentrx

cos(1·(

··(

−=

−=

• Hipociclide:

una circunferencia

circunferencia

)(

)(

21

21

−=

−=

rry

rrx

Si k= Qr

r∈

2

1entonces las hipocicloides se pueden poner de forma algebraica.

Por ejemplo el

3

3

(·

(·cos

tsenry

trx

=

=

• Curvas de Lissajous

como una circunferencia de frecuencia f

cumpliéndose

q=nº cortes con el eje OY.

=

=

·cos(

·cos(

y

x

fry

frx

Dependiendo de r

2r



Curva de generación mecánica: curvas obtenidas por lo general por



lugar de los puntos que se obtiene de recorrer la posición de un

punto de una circunferencia cuando esta rueda sin deslizamiento.

movimientotgirogirott

tsen:)2,0[

))cos(

))(=∈=

ϑπ

es la trayectoria descrita por un punto situado sobre

circunferencia generatriz que rueda sin deslizar por el interior de otra

circunferencia directriz, sin deslizamiento.

)2,0[

1·cos)(

1·cos)cos(

2

12

2

12

π∈=

−+

−+

girot

r

rtrtsen

r

rtrt

entonces las hipocicloides se pueden poner de forma algebraica.

Por ejemplo el Astroide donde 42

1 =r

r:

3/23/23/2

)

)ryx

t

t=+→

Curvas de Lissajous: es la curva que se origina cuando en el eje OX se mueve

como una circunferencia de frecuencia fx y en eje OY frecuencia f

cumpliéndose Qeirreduciblq

p

f

f

y

x ∈= )( siendo p=nº cortes con eje OX y

q=nº cortes con el eje OY.

+

+

)·

)·

yy

xx

tf

tf

ϕϕ

Dependiendo de rx/ry y de fx/fy y ϕx-ϕy curvas

2πr


10

curvas obtenidas por lo general por movimientos de



lugar de los puntos que se obtiene de recorrer la posición de un

ferencia cuando esta rueda sin deslizamiento.

trcentromovimiento ·=

es la trayectoria descrita por un punto situado sobre

que rueda sin deslizar por el interior de otra

entonces las hipocicloides se pueden poner de forma algebraica.

el eje OX se mueve

y en eje OY frecuencia fy

siendo p=nº cortes con eje OX y

r



5.3 Curvas planas en polares.

Existen curvas que por sus características son más sencillas tener su expresión algebraica

en forma polar, por ejemplo la circunferencia centrada en el origen (ρ=r). Veamos otras:

• Cardiode: lugar descrito por un punto de una

circunferencia cuando esta rueda en torno a otra de

mismo radio. Se asemeja a la forma de un corazón:

cos(1·(2 ϕρ += r

• Leniscata: sea una circunferencia de radio r y centrada en O(r,r) si trazamos las

secantes a la misma por el origen que cortan en C y C’ el lugar geométrico de los

puntos P que cumplen

• Espiral de Arquímides:

centro de una circunferencia de forma radial con velocidad constante mientras el

círculo gira con frecuencia constante.

··

·ϑρ

ωϑρ

at

tv=

=

=

• Rosas: son curvas que responden a ecuaciones de la forma ρ=a·cos(n·

- Si n=par � 2·n pétalos

- Si n=impar �

ρ=cos(3θ)



Curvas planas en polares.



: lugar descrito por un punto de una

circunferencia cuando esta rueda en torno a otra de

mismo radio. Se asemeja a la forma de un corazón:

))ϕ

: sea una circunferencia de radio r y centrada en O(r,r) si trazamos las


puntos P que cumplen 'CCOP ±= es la leniscata girando 45o(forma de hélice).

Espiral de Arquímides: lugar geométrico de los puntos que se desplazan desde el


círculo gira con frecuencia constante.

)(ω

ϑv

acon =

son curvas que responden a ecuaciones de la forma ρ=a·cos(n·

2·n pétalos

� n pétalos

ρ2=r

2·cos(2ϕ)

ρ=cos(2θ)


11



: sea una circunferencia de radio r y centrada en O(r,r) si trazamos las


(forma de hélice).

lugar geométrico de los puntos que se desplazan desde el


son curvas que responden a ecuaciones de la forma ρ=a·cos(n·θ). Casos



6. Algunas curvas en el espacio importantes.

Las más importantes curvas en el espacio que no pueden representarse en el plano son las

hélices. Las hélices surgen de la combinación de dos movimientos un circular o elíptico en el

plano (generalmente OXY) y un desplazamiento vertical en el eje perpendicular al plano (z).

Hélice cilíndrica: proyección en el plano es una elipse (muelle):

nciacircunferebasi

tcz

tsenay

tax

=

=

=

=

·

)(·

)cos(

Hélice cónica: proyección en el plano es una espiral:

=

=

=

tcz

tsenty

ttx

·

)(·

)cos(

7. Algunas superficies.

Algunas superficies vienen descritas de forma analítica de forma sencilla. Veamos ejemplos

- En coordenadas cilíndricas:

- z=cte:(plano OXY

- ρ=cte: cilindro de eje simetría eje OZ

- ϕ=cte: semiplano de eje OZ y ángulo ϕ respecto eje OX

- En coordenadas esféricas:

- r=cte: esfera centro en origen

- θ=cte: cono de revolución con eje simetría OZ

- ϕ=cte: semiplano de eje OZ y ángulo ϕ respecto eje OX

Otras superficies con ecuaciones sencillas:

A) Planos: en forma algebraica π: Ax+By+Cz+D=0, en vectorial

(x,y,z)=(x0,y0,z0)+λ·(vx,vy,vz)+β·(ux,uy,uz) y analíticamente despejando una variable.

B) Superficie esférica: (x-x0)2+(y-y0)

2+(z-z0)

2=r

2

C) Superficie helicoidal:en paramétricas x=λ·cos(β), y=λ·sen(β), z=λ·u con λ ∈ ℝ, β∈[0,2π)

D) Toroide: en paramétricas x=r·sen(β), y=(r·cos(β)+a)·cos(λ), z=(r·cos(β)+b)·sen(λ)

E) Las cuádricas: a11·x2+ a22·y

2+ a33·z

2+2(a12·xy+ a13·xz+ a23·yz+ a01·x+ a02·y+ a03·z)+ a00=0



Helicoide

8. Conclusiones.

En la secundaria y el bachillerato los únicos sistemas de referencia que se utilizan son los

cartesianos. Los sistemas cartesianos en dos dimensiones se empiezan a trabajar desde 1º de

las ESO, trabajándose sólo el sistema referencia en tres dimensiones en

de Bachillerato en la rama de ciencias.



Helicoide Toroide

Cuádricas



las ESO, trabajándose sólo el sistema referencia en tres dimensiones en Matemáticas II de 2º

de Bachillerato en la rama de ciencias.


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Matemáticas II de 2º

tema 46. distintas coordenadas para describir el plano y...

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