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APUNTES DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

SISTEMA AXONOMÉTRICOSISTEMA CÓNICO

S. Axonométrico

S. Cónico

José C. Izquierdo FitzCatedrático de Dibujo y Artes Plásticas

ISBN 978-84-694-3866-4

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *J. C. Izquierdo

ÍNDICE

3.- SISTEMA AXONOMÉTRICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Clases de sistemas axonométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2El triángulo de trazas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Concepto de coeficiente de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Determinación de los coeficientes de reducción y de los ángulos que forman losejes con el plano del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Determinación de los coeficientes de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Determinación de los ángulos que forman los ejes con el plano del cuadro. . . . . . 7

Alfabeto del punto. Proyecciones del punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Puntos situados en los planos de proyección y en los ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Alfabeto de la recta. Proyecciones de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Posiciones particulares de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

a). Recta paralela a uno de los ejes del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13b). Recta paralela a uno de los planos del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13c). Recta perpendicular a uno de los planos del sistema. . . . . . . . . . . . . . 14d). Perpendicular al plano del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Alfabeto del plano. Proyecciones del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Posiciones particulares del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

a). Paralelo a uno de los ejes del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17b). Paralelo a uno de los planos del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18c). Plano que contiene a uno de los ejes del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . 18d). Plano que contiene al origen del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18e). Plano perpendicular a uno de los ejes del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . 19f). Plano perpendicular a uno de los planos del sistema . . . . . . . . . . . . . . 19g). Plano paralelo al plano del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19h). Plano perpendicular al plano del cuadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Intersecciones de planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Traza natural u ordinaria de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Traza natural u ordinaria de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Determinación de secciones planas de figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Intersección de recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Representación de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

a). Aplicando los coeficientes de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26b). Abatiendo el plano que contiene a la figura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Representación de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Representación en axonométrico de figuras dadas por sus proyecciones diédricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Paso de diédrico a axonométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Paso de axonométrico a diédrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


Sistema axonométrico oblicuo. Perspectiva caballera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.- SISTEMA CÓNICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Representación del punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Representación de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Posiciones particulares de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

a). Recta paralela al PG. Recta horizontal. Recta R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40b). Recta perpendicular al PG. Recta vertical. Recta S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40c). Recta contenida en el PG. Recta T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40d). Recta paralela al PC. Recta frontal. Recta R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41e). Recta perpendicular al PC. Recta de punta. Recta S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41f). Recta contenida en el PC. Recta T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Haces de rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Rectas que forman un ángulo dado con el PC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Determinación del ángulo que una recta forma con el PC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Representación del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Pertenencia entre puntos y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Posiciones particulares del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

a). Plano paralelo al PC. Plano P. Plano frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46b). Plano perpendicular al PC. Plano Q. Plano de canto. . . . . . . . . . . . . . . 46c). Plano paralelo al PG. Plano horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46d). Plano perpendicular al PG. Plano vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Haces de planos. Obtención del que pasa por el punto de vista. . . . . . . . . . . . . 46Intersecciones de planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Intersección de recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48División de un segmento en partes iguales o proporcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

a). Segmento horizontal. Paralelo al PG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49b). Segmento frontal. Paralelo al PC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49c). Segmento cualquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Abatimiento del PG. sobre el PC. Abatimiento de un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Verdadera magnitud de un segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

a). Segmento perpendicular al plano geometral. Recta vertical. . . . . . . . . . . . . 55b). Segmento paralelo al plano geometral. Recta horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . 55c). Segmento perpendicular al plano del cuadro. Recta de punta. . . . . . . . . . . . 56d). Segmento paralelo al plano del cuadro. Recta frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56e). Segmento cualquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Perspectiva de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59a). Circunferencia situada en el PG y por detrás del PC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Métodos para realizar perspectivas cónicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60a). Método Reile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60b). Método de la homología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


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Figura 1

Figura 2

3.- SISTEMA AXONOMÉTRICO.

El sistema axonométrico estáformado por tres planos que secortan, dos a dos, bajo ángulosrectos. Estos planos se cortanentre sí dando lugar a tres rectasque le llamaremos ejes del sistema(X), (Y) y (Z) y estos ejes se cortanen un punto que le llamaremosorigen del sistema (O). Un punto (A)cualquiera del espacio loproyectaremos ortogonalmentesobre estos tres p lanosobteniéndose las proyecciones (a´),(a’‘) y (a’‘’), seguidamente esteconjunto vuelve a proyectarsesobre un cuarto plano, llamado plano

del cuadro, y sobre él obtendremoslos puntos A, a’, a’‘ y a’‘’, además detener las proyecciones X, Y, Z delos ejes (X), (Y), (Z) y la proyecciónO del punto (O).

Según la posición del plano delcuadro respecto al triedro y segúnla forma de proyectar sobre este,da lugar a las distintas variantesdel sistema axonométrico queexisten.


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Figura 3

a). El sistema axonométrico ortogonal. Figura 1.b). El sistema axonométrico oblicuo. Figura 2.

a). Sistema axonométrico ortogonal. El plano del cuadro es oblicuo a los tresejes del triedro y la proyección sobre el plano del cuadro es ortogonal.

b). Sistema axonométrico oblicuo. El plano del cuadro es paralelo a uno de losplanos del triedro y la proyección sobre el plano del cuadro tiene que seroblicua pues, al ser el plano (X)(O)(Z) paralelo al cuadro, el eje (Y) seráperpendicular al mismo y si proyectáramos ortogonalmente, el eje (Y) seproyectaría como un punto y no tendríamos sistema axonométrico, por ello,la proyección tiene que ser oblicua.

Vamos a empezar el estudio del sistema axonométrico ortogonal.

Clases de sistemas axonométricos.

Existen tres clases de sistemas axonométricos y estas tres clases se diferencianentre si por los ángulos que forman los ejes (X), (Y) y (Z) con el plano del cuadro.

Sean los ángulos que forman los ejes con el cuadro los siguiente, figura 3:

Eje (X) con el cuadro . X proyección de (X) sobre el cuadro.α

Eje (Y) con el cuadro . Y proyección de (Y) sobre el cuadro.βEje (Z) con el cuadro . Z proyección de (Z) sobre el cuadro.γ


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Figura 3

Si los tres ángulos son iguales entre si, el sistema recibe el nombre deISOMÉTRICO o MONOMÉTRICO y se caracteriza porque los ángulos que formanlos ejes X, Y y Z son también iguales entre si y su valor es de 120º.

Si dos ángulos son iguales y el tercero es distinto, el sistema recibe el nombre deDIMÉTRICO y se caracteriza porque los ángulos que forman los ejes entre si, dosserán iguales y el tercero será distinto.

Si los tres ángulos son distintos entre si, el sistema recibe el nombre deTRIMÉTRICO y se caracteriza porque los ángulos que forman los ejes entre si,serán los tres distintos.

El triángulo de trazas.

Por ser el plano del cuadro oblicuo al triedro este será interceptando por el planodel cuadro dando lugar a un triángulo que recibe el nombre de triángulo de trazas.Figura 3.

La posición del triángulo de trazas depende de la posición que tenga el plano delcuadro respecto al triedro, en el caso de que el plano del cuadro pase por el centrodel sistema, el triángulo degenerará en tres rectas que pasan por el centro delsistema, en cualquier otro caso, el triángulo tendrá sus lados paralelos a estas tresrectas.

Observando la figura vemos que el eje (Z) es perpendicular al plano (O)AB, portanto, es perpendicular a cualquier recta de este plano, en especial a la recta AB.


1 Teorema de Schlömilch-Waisbach.

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Figura 4

cos( )γ =Uz

U

La recta AB pertenece al plano (O)(X)(Y) y al cuadro. Por otro lado, el plano (O)COes perpendicular al plano del cuadro y por contener al eje (Z) será tambiénperpendicular a la recta AB. El eje Z pertenece al plano (O)CO, por tanto, el eje Zes perpendicular a la recta AB. Por análogas consideraciones, BC será perpendicularal eje X y CA al eje Y, es decir, que los lados del triángulo de trazas sonperpendiculares a los ejes del sistema.

Observando la figura 4, eltriángulo de trazas es eltriángulo ABC y el triánguloque resulta de unir los pies delas alturas del triángulo detrazas, es el triángulo órticoFGH. Los ejes del sistema sonlas bisectrices del triánguloórtico1.

Concepto de coeficiente de reducción.

Observando la figura 5 vemos que el segmento U se proyecta sobre el plano delcuadro como Uz, estas dos magnitudes están ligadas por la expresión matemática:

es decir, si conocemos elsegmento U que representa unamagnitud sobre el eje (Z), para

conocer su valor proyectado sobre el cuadro bastará con despejar de la fórmulaanterior el segmento Uz y obtendremos:


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Uz U= *cos( )γ

Figura 5

Cx

Cy

Cz

=

=

=

cos( )

cos( )

cos( )

α

β

γ

Por tanto, todas las magnitudes que sean paralelas al eje (Z), para obtener suscorrespondientes magnitudes sobre el eje Z, tendremos que multiplicarlos por elfactor , este factor recibe el nombre de COEFICIENTE DE REDUCCIÓNcos( )γDEL EJE (Z). Análogamente para los otros ejes, así tendremos:

Determinación de los coeficientes de reducción y de los ángulos que forman los

ejes con el plano del cuadro.

Determinación de los coeficientes de reducción.

Observando las figuras 6 y 7, vemos que el triángulo A(O)B es rectángulo en (O) yel lado AB está situado en el cuadro. Procedamos a abatir dicho triángulo alrededorde la recta AB hasta que quede situado en el plano del cuadro. Por ser la recta ABla hipotenusa del triángulo A(O)B trazaremos el arco capaz del segmento AB para90º y sobre este arco deberá estar el punto ((O)). El punto (O) describe unacircunferencia situada en un plano perpendicular al eje de giro AB, por tanto, alestar AB en el cuadro este plano lo veremos como una recta perpendicular a AB.


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Figura 6

Figura 7

Trazaremos por O una perpendicular a AB y donde corte al arco capaz tendremosel punto ((O)) abatido de (O). La unión de este punto con A y B nos darán los catetosdel triángulo A(O)B, es decir, los abatidos ((X)) e ((Y)) de los ejes (X) e (Y).

Tomando sobre ((X)) e ((Y)) unsegmento de valor U yhallando sus extremos sobre Xe Y obtendremos lossegmentos Ux y Uy, los cualesnos permite determinar loscoeficientes de reducción delos ejes X e Y.

Cx = Ux / UCy = Uy / U

Para determinar el coeficientede reducción del eje Z,repetiremos este procesopero aplicándolo al triánguloBOC o AOC. En la figura se haaplicado al triángulo BOC.

Cz = Uz / U


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Figura 8

Los coeficientes de reducción son siempre MENORES A UNO y deben de cumplirla siguiente igualdad matemática: Cx2 + Cy2 + Cz2 = 2

Determinación de los ángulos que forman los ejes con el plano del cuadro.

Observando las figuras 8 y 9, vamos a considerar el triángulo C(O)M, que esrectángulo en (O) y en el ángulo en C es el que forma el eje (Z) con el cuadro.Procedamos a abatir dicho triángulo alrededor de la recta CM hasta que quedesituado en el plano del cuadro. Por ser la recta CM la hipotenusa del triángulo C(O)Mtrazaremos el arco capaz del segmento CM para 90º y sobre este arco deberá estarel punto ((O)) abatido de (O). El punto (O) describe una circunferencia situada enun plano perpendicular al eje de giro CM, por tanto, al estar CM en el cuadro esteplano lo veremos como una recta perpendicular a CM. Trazaremos por O unaperpendicular a CM y donde corte al arco capaz tendremos el punto ((O)). La uniónde este punto con C y M nos darán los catetos del triángulo. El triángulo abatido esC((O))M, el ángulo en C es el ángulo buscado. Obsérvese que conocido el ángulo ,γtenemos el coeficiente de reducción del eje Z, no hay mas que calcular el coseno deeste ángulo. También se puede calcular colocando un segmento sobre ((Z)) ydeterminando sus extremos sobre Z, el cociente entre ambos será el coeficientede reducción.


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Figura 9

Figura 10

Cz = Uz / U

Para calcular los otros dos ángulos de los otros ejes, hay que repetir el mismoproceso pero con los triángulos B(O)Ñ y A(O)N.

Veamos como podemosdeterminar un sistemaaxonométrico si nos dan losángulos que forman los ejes Yy Z con el cuadro. Figura 10.

Consideremos el eje Z en elcual fijaremos dos puntos C yO. A partir de C, (C es unvértice del triángulo detrazas) y con respecto a Zcolocaremos el ángulo queγforma el eje ((Z)) con elcuadro. El triángulo C((O))Mes rectángulo en ((O)) lo cualnos va a permitir encontrar el


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Figura 11

punto M ya que M((O)) es perpendicular a C((O)). Trazando por M la perpendicularal eje Z tendremos la recta AB intersección del plano del cuadro con el plano((X))O((Y)). A partir del punto (O)) y con respecto a Z colocaremos el ángulo queβforma el eje ((Y)) con el cuadro, lo cual nos permite encontrar el punto B’, que nosva a llevar a encontrar el punto B describiendo un arco de circunferencia de centroO y radio OB’. Encontrado B, para obtener el eje X basta con trazar por O unaperpendicular a la recta BC y así tenemos los tres ejes del sistema. Los puntos A,B y C son los vértices del triángulo de trazas.

Alfabeto del punto. Proyecciones del punto.

Para determinar las proyecciones de un puntobasta con conocer dos de las cuatroproyecciones. Figura 11.Consideremos el sistema definido por los ejesX, Y y Z y las proyecciones A y a’ de un punto.Para determinar sus otras proyecciones a’‘ ya’‘’, bastará trazar por a’ rectas paralelas a losejes X e Y las cuales nos permitirá encontrarlos puntos m y n sobre los ejesrespectivamente. Trazando paralelas al eje Zpor m y n donde se corten con las paralelas alos ejes X e Y trazadas por A obtendremos lasproyecciones a’‘ y a’‘’ del punto considerado.

Observando la figura, el punto A representadoestá situado en el triedro correspondiente a las regiones positivas de los ejes X, Yy Z y este punto está por encima del plano XOY y por delante de los planos XOZ eYOZ.

Puntos situados en los planos de proyección y en los ejes.

Figura 12. Los puntos B, C y D están situados sobre los planos XOY, XOZ e YOZrespectivamente y los puntos E, F y G están sobre los ejes X, Y y Z. Obsérvese queen el caso de los puntos B, C y D dos de sus proyecciones están situadas sobre losejes y la proyección del punto coincide con una de ellas, y en el caso de los puntos


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Figura 12

Figura 13

E, F y G, dos proyecciones están sobre los ejes y la tercera coincide con el origendel sistema.

En la figura 13 se ha representado las proyecciones de un punto A situado porencima del plano XOY, por delante del XOZ y por detrás del YOZ. Obsérvese comola paralela al eje Y corta al eje X por su parte negativa.


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Figura 14

Alfabeto de la recta. Proyecciones de la recta.

Como ya sabemos una recta queda definida conociendo dos puntos de ella, por tantopara determinar las proyecciones de una recta bastará con conocer las proyeccionesde dos de sus puntos. La unión ordenada de las proyecciones de los puntos nos darálas proyecciones de la recta.

Figura 14. Sean los puntos (A, a’, a’‘, a’‘’) y (B, b’, b’‘, b’‘’), la unión de:

A con B nos dará la proyección R.a’ con b’ nos dará la proyección r’.a’‘ con b’‘ nos dará la proyección r’‘.a’‘’ con b’‘’ nos dará la proyección r’‘’.

Figura 15. En diédrico definíamoslas trazas de una recta como lospuntos de intersección de esta conlos planos de proyección y, a losumo, podía tener dos trazas ya quehay dos planos de proyección. Enaxonométrico, el concepto detrazas es idéntico la única salvedades que una recta puede tener hastaun máximo de cuatro trazas ya queexisten cuatro planos de proyecciónque son, el XOY (traza H), el XOZ(traza V), el YOZ (traza W) y elplano del cuadro (traza ordinaria onatural de la recta To). Hay quetener en cuenta que las trazas de la

recta están sobre ella, es decir, H, V, W y To estarán situados sobre R, estando lasdemás proyecciones sobre sus las respectivas proyecciones de la recta.

Para determinar las trazas hemos procedido de la siguiente manera:


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Figura 15

En la proyección R estarán las proyecciones H, h’, V, v’‘ y W, w’‘’.En la proyección r’ estarán las proyecciones h’, v’ y w’.En la proyección r’’ estarán las proyecciones h’’, v’’ y w’’.En la proyección r’‘’ estarán las proyecciones h’‘’, v’‘’ y w’‘’.

Por otro lado, las proyecciones que no están con H, V y W tienen que estar en losejes, por tanto, buscaremos en la proyección r’ aquellos puntos que estén en los ejesX e Y donde tendremos las proyecciones v’ y w’, en r’‘ las que están en los ejes X yZ obteniéndose los puntos h’‘ y w’‘ y por último en la proyección r’‘’ los que están enlos ejes Y y Z obteniéndose los puntos v’‘’ y h’‘’. Conocidos los puntos (h’‘, h’‘’), (v’, v’‘’)y (w’, w’‘) podemos encontrar los puntos (H, h’), (V, v’‘) y (W, w’‘’).

La visibilidad de la recta queda definida por los puntos H, V y W ya que son lospuntos de corte con los planos XOY, XOZ e YOZ. Obsérvese que la recta se metepor debajo del plano XOY y por detrás del plano XOZ siendo ocultas estas partes.Para determinar su traza ordinaria lo expondremos después de ver lasintersecciones de planos.


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Figura 16

Posiciones particulares de la recta.

La recta puede adoptar cuatro posiciones que son:

a). Paralela al eje X, Y o Z.b). Paralela al plano XOY, XOZ o YOZ.c). Perpendicular al plano XOY, XOZ o YOZ.d). Perpendicular al plano del cuadro.

a). Recta paralela a uno de los ejes del sistema. Figura 16.

En la figura se han representado lasproyecciones de dos rectas R y S siendo cadauna de ellas paralelas a los ejes X e Yrespectivamente. Obsérvese que de laperpendicularidad que existe entre los planosde proyección, la recta que es paralela al eje Xes perpendicular al plano YOZ y en este planola proyección de la recta se ve como un punto.Análogamente para la recta S con respecto alplano XOZ. Al ser la recta paralela a un eje esparalela a los dos planos que pasan por él, portanto, tendrá tres proyecciones paralelas aleje considerado. Si la recta además estáncontenida en uno de los planos, por ejemplo larecta R contenida en el XOY, tendrá las

proyecciones R y r’ coincidentes en r’, la r’‘ estará confundida con el eje X y la r’‘’estará sobre en el eje Y. Análogamente si consideramos la recta S contenida en elplano YOZ tendrá las proyecciones S y s’‘’ coincidente en s’‘’, la s’ confundida con eleje Y y la s’‘ estará sobre el eje X.

b). Recta paralela a uno de los planos del sistema. Figura 17.

En la figura se han representado dos rectas R y S paralelas respectivamente a losplanos XOY e YOZ. Obsérvese que la recta R, que es paralela al XOY, todos suspuntos tienen la misma coordenada z, por tanto, las proyecciones r’‘ y r’‘’ seránparalelas a los ejes X e Y respectivamente. Análogamente a la recta S con respecto


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Figura 18

al plano YOZ y todos sus puntos tienen lamisma coordenada x. Las proyecciones s’ y s’‘serán paralelas a los ejes Y y Zrespectivamente. Si además la recta R estácontenida en el plano XOY, las proyecciones Ry r’ serán coincidentes en r’, y las r’‘ y r’‘’coincidentes con los ejes X e Yrespectivamente. Por igual razonamiento, si larecta S está contenida en el plano YOZ, lasproyecciones de S y s’‘’ serán coincidentes ens’‘’ y las s’ y s’‘ coincidirán con los ejes X y Zrespectivamente.

c). Recta perpendicular a uno de los planos del sistema. Figura 16.

Si una recta es perpendicular al plano XOY será paralela al eje Z, si lo es al planoXOZ será paralela al eje Y y si lo es al plano YOZ lo será al eje X. En la figura 16están representadas las rectas R perpendicular al plano YOZ (paralela al eje X) yla S es perpendicular al plano XOZ (paralela al eje Y).

d). Perpendicular al plano del cuadro. Figura 18.

Si una recta es perpendicular al plano del cuadro, su proyección R será un puntomientras que las proyecciones r’, r’‘ y r’‘ serán respectivamente paralelas a los ejesX, Y y Z.


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Figura 19

Alfabeto del plano. Proyecciones del plano.

Como ya sabemos por diédrico, un plano queda definido por tres posibles condicionesque son, (ver página 20 de diédrico) y se representa por sus trazas:

a). Tres puntos no alineados.b). Un punto y una recta que no se pertenezcan.c). Dos rectas que se cortan.

En axonométrico el plano se define de la misma manera, la diferencia entre ambossistemas de representación es que, en diédrico el plano posee dos trazas y enaxonométrico por tres, ya que existen tres planos de proyección. Estas tres trazastienen la propiedad de que SIEMPRE forman un triángulo cuyos vértices están sobrelos ejes del sistema. Figura 19.

En la figura se han representado dos planos elP y el Q. Obsérvese que las trazas del plano Pforman un triángulo cuyos vértices, 1, 2 y 3,están en los ejes y el plano Q otro cuyosvértices son 4, 5 y 6.

Todo plano tiene siempre una cuarta traza quees su traza ordinaria o natural y es laintersección del plano con el plano del cuadro.Cuando abordemos el estudio de lasintersecciones de planos, podremosdeterminar esta traza. Esta traza tiene unvalor muy importante por el hecho de estar en

el plano del cuadro y estar en verdadera magnitud, por tanto nos servirá comocharnela o eje de giro para abatir el plano en cuestión sobre el plano del cuadro ypoder ver todo los elementos que contenga en verdadera magnitud.

En la figura 20 se resuelve el problema de encontrar las trazas de un plano definidopor tres puntos no alineados. Para su resolución aplicaremos el mismo procedimientoque en diédrico, es decir, determinando las trazas de las rectas que estos puntosdefinen dos a dos. (Ver página 20 y siguientes de diédrico).

Consideremos tres puntos A, B y C definido por sus proyecciones A-a’, B-b’ y C-c’.


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Figura 20

Para determinar las trazas del plano que determinan, no ha hecho falta encontrartodas las trazas de las tres rectas que estos puntos definen, sino que se handeterminado solamente cuatro trazas, ya que, los puntos donde las trazas del planocortan a los ejes también pertenecen a las trazas del plano buscado. Así hemostomado la recta AC determinando las proyecciones AC y a’c’, vemos que a’c’ corta aleje Y en el punto w’1 que es una de las proyecciones de la traza W1 que nos permiteencontrar w’‘’1 y la recta BC determinando sus proyecciones BC y b’c’, vemos que b’c’corta al eje Y en el punto w’2 que es una de las proyecciones de la traza W2 que nosva a permitir encontrar w’‘’2 . La unión de w’‘’1 y w’‘’2 nos da la proyección P’‘’ del planobuscado. Esta traza corta a los ejes Y y Z en los puntos 2 y 3 por donde pasarán lastrazas del plano P’ y P’‘ respectivamente. Para determinar P’ y P’‘ hemos empleado la


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Figura 21

recta AB determinando las proyecciones AB y a’b’, vemos que a’b’ corta al eje X env’ que nos permite encontrar v’‘, la unión de v’‘ y el punto 3 nos da P’‘. P’‘ corta al ejeX en el punto 1 por donde pasa P’. La unión de 1 y 2 nos da P’. Obsérvese que estáúltima recta pasa por h’ punto de intersección de AB y a’b’, siendo h’ una de lastrazas de la recta AB.

Lo otros casos se deja al lector para su resolución.

Posiciones particulares del plano.

El plano puede adoptar ocho posiciones que son:

a). Paralelo a uno de los ejes del sistema.b). Paralelo a uno de los planos del sistema.c). Plano que contiene a uno de los ejes del sistema.d). Plano que contiene al origen del sistema.e). Plano perpendicular a uno de los ejes del sistema.f). Plano perpendicular a uno de los planos del sistema.g). Plano paralelo al plano del cuadro.h). Plano perpendicular al plano del cuadro.

a). Paralelo a uno de los ejes del sistema. Figura 21.

El plano paralelo a uno de los ejes del sistemase caracteriza por tener dos de sus trazasparalelas al eje al que es paralelo. Además,por la perpendicularidad de los planos delsistema, este plano será perpendicular a unode los planos del triedro.

En la figura se han representado dos planos Py Q que son, respectivamente, paralelos al ejeX (perpendicular al plano YOZ) y paralelo aleje Z (perpendicular al plano XOY).


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Figura 22

Figura 23

b). Paralelo a uno de los planos del sistema. Figura 22.

El plano paralelo a uno de los planos delsistema se caracteriza por tener dos trazasparalelas a los ejes del sistema y carece de latraza con el plano al que es paralelo. Además,por la perpendicularidad de los planos delsistema, este plano será perpendicular a unode los ejes del triedro.En la figura se han representado dos planos Py Q que son, respectivamente, paralelos alplano XOY (perpendicular al eje Z) y paraleloal plano XOZ (perpendicular al eje Y).Estos planos son perpendiculares a dos planos del triedro. El P lo es a los planosXOZ e YOZ y el Q a los planos XOY e YOZ.

Obsérvese que carecen de la traza con el plano al que es paralelo y, por tanto, no seforma ningún triángulo entre las tres trazas del mismo.

c). Plano que contiene a uno de los ejes del sistema. Figura 23.

Un plano que contenga a uno de los ejes delsistema se caracteriza porque dos de sustrazas son, precisamente, el eje al quecontiene.En la figura se ha representado el plano P quecontiene al eje Y, las trazas con los planosXOY e YOZ son coincidentes y son,precisamente el eje Y, la otra traza P‘’ pasarápor el centro del triedro.

d). Plano que contiene al origen del sistema. Figura 24.

El plano que contiene al centro del triedro se caracteriza por pasar sus tres trazaspor este punto y, por tanto, el triángulo que forman con los ejes del triedrodegenera en un punto, el centro del sistema.


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Figura 24

Figura 25

e). Plano perpendicular a uno de los ejes del sistema.

Este caso ha quedado expuesto en la figura 22.

f). Plano perpendicular a uno de los planos del sistema.

Este caso ha quedado expuesto en la figura 21. Si el plano fuera perpendicular a dosplanos del triedro véase la figura 22.

g). Plano paralelo al plano del cuadro. Figura 25.

Un plano paralelo al plano del cuadro tendrá sus trazas paralelas a este plano, esdecir, sus trazas serán respectivamente,perpendiculares a los ejes del triedro.

h). Plano perpendicular al plano del cuadro.

El plano perpendicular al plano del cuadrotendrá sus tres trazas confundidas en unasola. Véase la figura 25.


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Figura 26

Intersecciones de planos.

Figura 26. La intersección de dos planos es una recta que pertenece a ambos planos.Sabemos por diédrico, (véase página 30 y siguientes), que la recta intersección debepertenecer a ambos planos, por tanto las trazas de la recta deben estar sobre lastrazas de ambos planos.En la figura tenemos representado dos planos, el P y el Q, observamos que lastrazas P’ y Q’ se cortan en el punto H=h’, traza con el plano XOY de la rectabuscada, las trazas P’‘ y Q’‘ se cortan en el punto V=v’‘, traza con el plano XOZ y lastrazas P’‘’ y Q’‘’ se cortan en W=w’‘’. La unión de estos tres puntos, H, V y W, nos da

laproyección R de la recta buscada. Para simplificar el dibujo no se han trazado lasproyecciones r’, r’‘ y r’‘’ de la recta R. La visibilidad del conjunto no presenta mayorcomplicación y resulta mucho mas fácil de ver que en diédrico.

Traza natural u ordinaria de un plano.

Figura 27. Generalmente el plano del cuadro se hace que pase por el centro deltriedro por lo que las trazas de este plano serán tres rectas que pasan por el origen


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Figura 27

y son, respectivamente, perpendiculares a los ejes del triedro.

( ', ' ' , ' ' ')α α α

Para determinar la traza ordinaria, P0, tendremos que resolver la intersección delplano que nos dan y el plano del cuadro siguiendo el mismo procedimiento que en elcaso anterior.

Traza natural u ordinaria de una recta.

Figura 28. La traza natural u ordinaria de una recta será el punto de intersecciónde la recta con el plano del cuadro. Para su resolución tomaremos un plano auxiliar,cualquiera, que contenga a la recta, le calcularemos su traza ordinaria y donde larecta corte a esta traza tendremos la traza ordinaria de la recta. El plano auxiliar


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Figura 28

que tomaremos será el mas simple posible, generalmente, un plano que seaperpendicular a uno de los del sistema (una de sus trazas se confundirá con una delas proyecciones de la recta).

Tenemos la recta R definida por sus proyecciones R y r’. Hemos tomado un plano Pauxiliar perpendicular al plano XOY y que contenga a la recta R. Hemos determinadosu traza ordinaria P0 y la traza ordinaria, R0, de la recta R, será la intersección deR con P0.

Determinación de secciones planas de figuras.

Para determinar la sección que un plano le produce a una figura, basta con ircalculando las intersecciones de cada plano, que conforma la figura, con el planodado. Hay que tener en cuenta que, los planos que integran la figura se van cortandoentre sí dos a dos. Consideremos dos planos P y Q que se cortan según la recta R,la intersección del plano del corte, W, con los planos P y Q darán dos rectas S y Tque tendrán un punto en común con la recta R. Figura 29.


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Figura 29

Figura 30

En la figura 30 se ha resuelto la sección que el plano W le produce a un prisma debase cuadrada.Para su resolución hemos empezado por el plano P1 (cara mas a la dcha) que cortaa las trazas del plano W en los puntos 5 y 6, la unión de estos nos da la intersecciónde esta cara con el plano sector, limitamos esta intersección al trozo 12 (que es lo


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Figura 31

que está dentro de esa cara). A continuación hemos tomado el plano P3 (caradelantera), que corta al plano sector en los puntos 9 y 10, la unión de estos nos dala intersección que la limitamos al trozo 14. Seguidamente consideramos el plano P2(cara mas a la izda) que corta al plano W en los puntos 7 y 8 y limitamos laintersección al trozo 43 y por último, hemos considerado el plano P4 (obsérvese quesolo hemos determinado una traza de este plano ya que la intersección que buscamosdeberá pasar por el punto 2), este plano corta al plano sector en el punto 11, la uniónde este último punto y el 2 nos da la última intersección que la limitamos al trozo 23.A la izda de la figura está el estudio de la visibilidad. Quedará visible del cortehacia arriba y oculto del corte hacia abajo. En la figura 31 hemos resuelto otro casode sección plana. El procedimiento a seguir es el mismo que el anteriormenteexpuesto por lo que no vamos a realizar ningún comentario.


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Figura 32

Intersección de recta y plano.

La intersección entre una recta R y un plano P es un punto I. (Véase página 60 dediédrico). Para su resolución vamos a considerar un plano auxiliar W que contengaa la recta R, resolveremos la intersección S entre ambos planos P y W y el punto Ibuscado será la intersección entre ambas rectas R y S. El plano auxiliar lotomaremos de la forma mas simple posible, es decir, que sea perpendicular a uno delos planos del sistema por lo que, una de las trazas de este plano se confundirá conuna de las proyecciones de la recta. Figura 32.

Hemos considerado un plano W perpendicular al plano XOY por lo que su traza W’coincidirá con r’ y las trazas W’‘ y W’‘’ serán paralelas al eje Z. Resolvemos laintersección S de ambos planos y el punto I será la intersección de las rectas R yS.


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Figura 33

Figura 34

Representación de figuras planas.

Vamos a representar en perspectiva isométrica un exágono contenido en el planoXOY según sus proyecciones diédricas adjunta en la figura 33.

Podemos realizar la representación por dosmétodos distintos:

a). Aplicando los coeficientes dereducción.b). Abatiendo el plano que contiene ala figura.

a). Aplicando los coeficientes de reducción.

Figura 34.

Antes de empezar, tomaremos todas lasdimensiones que aparecen en la figura y leaplicaremos sus correspondientes coeficientesde reducción. En nuestro caso, por ser la

representación en isométrico, los coeficientes de reducción son iguales para los tresejes y su valor es 0.816. De esta manera las dimensiones quedarán así:

Eje X 10.00 8.16 Eje Y 14.00 11.4224.50 19.99 28.40 23.17

Seguidamente llevaremos estasnuevas dimensiones sobre los ejesde nuestro sistema axonométrico ytrazaremos paralelas a ellos pore s t o s p u n t o s e n c u y a sintersecciones tendremos losvértices del exágono buscado.


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Figura 35

b). Abatiendo el plano que contiene a la figura. Figura 35.

Como la figura esta contenida en el plano XOY y este plano corta al plano del cuadrosegún el triángulo ABC, vamos a proceder a abatir el plano XOY alrededor de larecta AB. Una vez abatido el exágono se verá en verdadera magnitud, lodibujaremos y aplicando los conocimientos de afinidad procederemos a desabatirlo.Nótese que las dimensiones del exágono se han colocado sin aplicar coeficiente dereducción alguno ya que, al proceder al desabatimiento éstas se reducen solas.

Representación de la circunferencia. Figura 36.

Las proyecciones de una circunferencia en el sistema axonométrico, siempre se vecomo una elipse. Para su trazado, procederemos a inscribirla en un cuadrado y


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Figura 36

buscaremos la afinidad que transforma a la circunferencia inscrita en éste en laelipse que buscamos. Generalmente, con obtener 8 puntos y sus respectivastangentes tenemos suficiente información para poder trazarla, no obstante, siestamos haciendo la representación en isométrico, se pueden determinar los ejesde la misma y poder trazarla por puntos. Los ocho puntos que vamos a considerarvan a ser, trazando las paralelas a los lados del cuadrado por el centro del mismo,nos van a dar cuatro puntos en la circunferencia, los otros cuatro son los puntos deintersección de la circunferencia con las diagonales del cuadrado. Las tangentes enestos ocho puntos son, respectivamente, paralelas a los lados y diagonales delcuadrado circunscrito.

Tomare mos comoeje de la afinidad cualquiera de las rectas O1, 12, 23 o 3O, en nuestro caso hemosconsiderado la recta 23, la figura afín del paralelogramo O123 es el cuadradoO’1'2'3'. Una vez trazado éste le inscribiremos una circunferencia y le trazaremoslas diagonales y las paralelas a los lados por su centro. Así obtendremos los ochopuntos anteriormente citados (en la figura solamente se le han puesto nombre a lospuntos f’ y g’). Seguidamente procederemos a encontrar los correspondientes


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Figura 37

afines. El centro de la circunferencia será la intersección de las diagonales 13 y O2.Para encontrar los afines de los puntos f’ y g’, trazaremos paralelas al lado 1'2' porestos puntos, estas rectas cortan al eje en los puntos m y n por donde trazaremosparalelas a la recta 12, donde estas paralelas corten a las diagonales 13 y O2,tendremos los puntos f y g buscados. Hemos trazados las tangentes en los ochopuntos. En la figura vemos que la tangente en f’ corta al eje en el punto a que unidocon f nos da la tangente buscada y la tangente en g’ corta al eje en el punto b queunido con g nos da la otra tangente. Conocido los puntos y sus tangentes procedemos

a su trazado a manoalzada.

Obsérvese que al ser larepresentación enisométrico los puntos g yf son los vértices de lae l ipse , es dec ir ,extremos de los ejes dela misma por lo quepodemos trazarla porcualquier método paraconstruir una elipse, elmétodo mas cómodo ysimple es el de la tarjetade papel.

Si tuviéramos que trazarmedia elipse o un cuartode la m isma, e lprocedimiento seríaanálogo al anteriormentedescrito.

En la figura 37, hemosrepresentado una pieza

con tramos curvos.

Obsérvese que para proceder al trazado de las curvas hemos inscrito la figura en


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Figura 38

prismas rectos de base cuadrada y hemos buscado las afinidades que transformanen elipses las circunferencias inscritas en esos cuadrados.

Representación en axonométrico de figuras dadas por sus proyecciones diédricas

Cuando tengamos que representar una figura dada por sus proyecciones diédricas,lo primero que haremos es, a mano alzada, realizar la perspectiva de la figuraobservando las proyecciones diédricas. Es muy conveniente dedicarle a esta laborun poco de tiempo ya que, una vez obtenida la perspectiva de la figura, surepresentación será mucho mas fácil por no tener mas que dibujarla con sus medidassabiendo que es lo que vamos a ver.

Paso de diédrico a

axonométrico.

Vamos a representar enaxonométrico la sección planade un tetraedro representadopor sus proyecciones diédricassegún la figura 38. Figura 39. Empecemossituando los puntos 1,2,3 y 6.Para ello vamos a calcular lascoordenadas que poseen estospuntos. Una vez determinadasl e a p l i c a m o s s u scorrespondientes coeficientesde r ed u c c i ó n y l o scolocaremos sobre los ejes Xe Y de l s i s tema ydeterminaremos los puntos 1,2, 3 y 6. Seguidamentecalcularemos la altura delpunto V y la colocaremos, unavez reducida, sobre la paralelaal eje Z trazada por el puntov’. Para calcular el punto v’


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Figura 39

hemos trazado las rectas que pasando por los vértices 1, 2 y 3 pasan por los puntosmedios de los segmentos 23, 13 y 12 respectivamente.De esta manera tenemos determinada la perspectiva del tetraedro. Para determinarlas trazas del plano P hemos tomados las coordenadas de los puntos 7 y 8', sobrelos ejes Y y Z respectivamente, una vez colocado sobre los ejes del sistema, lounimos con el punto 6 y tenemos las tres trazas del plano P, P’, P’‘ y P’‘’. Para calcular la sección que el plano le produce al tetraedro podíamos habercalculado las coordenadas de los puntos A, B y C y situarlos sobre sus respectivasaristas, pero lo hemos resuelto de otro modo. Para determinar el punto B, hemosconsiderado un plano auxiliar Q que contenga a la arista V2 y determinamos laintersección de este plano y el plano P, obteniéndose la recta R, donde R corta a laarista V2 tenemos el punto B. (Recuérdese la intersección de recta y plano. Verpágina 25). Las trazas Q’ y P’ se cortan en 9 y las Q’‘ y P’‘ en 10, la unión de 9 y 10nos dan la perspectiva de R, donde R corta a la arista V2 nos dan el punto B. Porúltimo, para determinar las otras dos rectas de la sección, hemos considerado lahomología que existe entre la base del tetraedro 123 y la sección ABC. Obsérveseque la prolongación de la arista 23 corta a P’ en 4 y la arista 12 en 5respectivamente, la unión de estos puntos 4 y 5 con B nos determinan los puntos Cy A sobre las aristas V1 y V3 respectivamente.


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Paso de axonométrico a diédrico.

Para pasar de axonométrico a diédrico es análogo a lo anteriormente expuesto ladiferencia está en que, al pasar de diédrico a axonométrico hay que multiplicar porlos coeficientes de reducción y en el paso de axonométrico a diédrico hay quedividir entre los mismos, por lo demás todo el proceso es el mismo. Recordemos quelas únicas medidas que están en “verdadera magnitud” (salvando el tema de loscoeficientes de reducción), son las que se encuentren en rectas paralelas a los ejesdel sistema.

Sistema axonométrico oblicuo. Perspectiva caballera.

Ya quedo definido el sistema axonométrico oblicuo al definir el sistemaaxonométrico (ver página 1 y siguientes). La diferencia fundamental de este sistemarespecto del axonométrico ortogonal es que uno de los planos del sistema es paraleloal plano del cuadro, por tanto, este plano se verá en verdadera magnitud y por elparalelismo de ambos planos, dos ejes serán paralelos al cuadro y el tercero, al serperpendicular, no se puede proyectar ortogonalmente sobre el mismo, por ello, sehace oblicuamente al cuadro. De aquí que el único eje que tiene coeficiente dereducción es el que se proyecta oblicuamente sobre el cuadro ya que los otros dostiene coeficiente de reducción igual a la unidad. El coeficiente de reducción no sepuede calcular tiene que darse como un dato mas. De todo esto, la gran ventaja queposee esta variedad del sistema axonométrico, es que toda circunferencia contenidaen un plano paralelo al cuadro se verá como una circunferencia, por el contrario silo es a cualquiera de los otros dos planos, se verá como una elipse.

A partir de este momento, al sistema axonométrico oblicuo, le llamaremosperspectiva caballera.

Hay dos formas de perspectiva caballera según que eje sea el que se proyectaoblicuamente al cuadro. Generalmente suele ser el eje Y, pero si es el eje Zentonces la perspectiva recibe el nombre de perspectiva militar.

La forma de trabajar con la perspectiva caballera es IDÉNTICA a la manera detrabajar con el sistema axonométrico ortogonal, la representación del punto, de larecta y del plano, las trazas de la recta y las trazas del plano, así como lasintersecciones de planos y rectas y planos, son exactamente igual a lo expuesto en


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Figura 40

el sistema axonométrico ortogonal.

Vamos a realizar la perspectiva caballera de la pieza representada por susproyecciones diédricas. Figuras 40 y 41.

Coeficiente de reducción: Cy=0.75


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Figura 41

Para realizar la perspectiva hemos determinado la proyección de la planta de lafigura en el plano XOY y el alzado en el plano XOZ, de esta manera podemosencontrar los centros de cada una de las circunferencia que conforman la figura.Puntos importantes de obtener son los contornos de la figura, para ello hemostrazado por los centros de las circunferencias rectas perpendiculares al eje Y encuya intersección con las mismas tendremos los puntos de tangencias entre lascircunferencias y los contornos de la figura.

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