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Capıtulo 2

El plano cartesiano y grafica deecuaciones

2.1. El plano cartesiano

Para representar puntos en un plano, definidos por un par ordenado de numeros reales, seutiliza generalmente el sistema de coordenadas rectangulares, que se caracteriza por:

Estar formado por dos rectas reales dirigidas, mutuamente perpendiculares, llamadasejes coordenados: eje X (eje de las abscisas), normalmente horizontal y eje Y (eje delas ordenadas), normalmente vertical.

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Capıtulo 2: El plano cartesiano y grafica de ecuaciones Resumen de contenidos

El punto de interseccion de los dos ejes es el origen del sistema, y se denota por O.

El eje X esta orientado (crece) de izquierda a derecha y el eje Y de abajo hacia arriba.

El numero 0 de ambos ejes se ubica en el origen del sistema.

Plano cartesiano

La posicion de un punto P en el plano cartesiano queda determinado por un par de numerosreales (a, b), donde

Los numeros a y b reciben el nombre de coordenadas del punto P .

La primera coordenada, a, recibe el nombre de abscisa de P . La segunda coordenada,b, recibe el nombre de ordenada de P .

La abscisa de P corresponde a la distancia dirigida de P al eje Y . La ordenada de Pcorresponde a la distancia dirigida de P al eje X.

Posicion de un punto

Es claro que los ejes coordenados dividen al plano en 4 sectores. Estos sectores reciben elnombre de cuadrantes. Los cuadrantes se designan por I, II, III y IV , tal como se muestraen la siguiente figura:

Instituto de Matematica y Fısica 29 Universidad de Talca


Cuadrantes

En la siguiente figura se muestran las posiciones de 4 puntos con sus respectivas coordenadas:

Coordenadas de puntos

2.2. Distancia entre dos puntos del plano

La distancia entre dos puntos del plano P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), que se denota pord(P, Q), viene dada por la formula:

d(P, Q) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2



2.3. Punto medio de un segmento

El punto medio de un segmento cuyos puntos extremos son P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), quese denota por M(P, Q), viene dada por la formula:

M(P, Q) =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

)

2.4. Grafica de ecuaciones

Una ecuacion es una relacion entre las variables x e y. Ejemplos de ecuaciones son:

x = 1, x + 2y = 6, x2 + (y − 3)2 = 4, y2 = x2, y = 2x2 − 3x + 6

Graficar una ecuacion es representar en un plano cartesiano el conjunto de todos los puntos(x, y) que la satisfacen. Para ello, en general, se procede de la siguiente manera:

Paso 1 Construir una tabla de valores, del tipo:

x y

para algunos valores de x y sus correspondientes valores de y.

Paso 2 Graficar en un sistema de coordenadas los puntos obtenidos en la tabla de valoresprecedente.

Paso 3 Unir con una curva suave los puntos recien graficados.

Observacion: En caso de tener alguna duda al trazar la curva (en el paso 3) se debe refinarla tabla de valores, agregando nuevos puntos de la curva.



2.5. Ayudas para graficar ecuaciones

Algunas veces es de utilidad, en la obtencion del grafico de una ecuacion, realizar los siguientesestudios.

2.5.1. Intersecciones con los ejes coordenados

Intersecciones con el eje XPara determinar el (o los) punto(s), en caso que exista(n), donde el grafico de una ecuacionintersecta al eje X, se sustituye en la ecuacion y por 0 y se despeja la variable x.

Intersecciones con el eje YPara determinar el (o los) punto(s), en caso que exista(n), donde el grafico de una ecuacionintersecta al eje Y , se sustituye en la ecuacion x por 0 y se despeja la variable y.

Ası por ejemplo, la ecuacion y = x2 − 4 intersecta al eje X en los puntos (−2, 0) y (2, 0), yal eje y en el punto (0,−4). Esta situacion se muestra en el siguiente grafico:

Intersecciones con los ejes coordenados de la ecuacion y = x2 − 4

2.5.2. Simetrıa respecto al eje X

El grafico de una ecuacion es simetrica respecto al eje X, cuando al cambiar en la ecuacionla variable y por −y, la ecuacion no cambia. Es decir,

(x, y) ∈ grafico =⇒ (x,−y) ∈ grafico

Nota: Geometricamente, el grafico de una ecuacion es simetrico respecto al eje X, cuandoal girar el grafico en torno al eje X, su parte superior e inferior coinciden.Ejemplos de ecuaciones cuyas graficas son simetricas respecto al eje X son:

x + y2 = 5, −x3 + y4 = 10, xy2 + x2y6 = 10

Ası, por ejemplo, los graficos de las dos primeras ecuaciones son:



Grafico de ecuaciones simetricas respecto al eje X

2.5.3. Simetrıa respecto al eje Y

El grafico de una ecuacion es simetrica respecto al eje Y , cuando al cambiar en la ecuacionla variable x por −x, la ecuacion no cambia. Es decir,

(x, y) ∈ grafico =⇒ (−x, y) ∈ grafico

Nota: Geometricamente, el grafico de una ecuacion es simetrico respecto al eje Y , cuandoal girar el grafico en torno al eje Y , su parte derecha e izquierda coinciden.Ejemplos de ecuaciones cuyas graficas son simetricas respecto al eje Y son:

x2 + y = 5, −x4 + y3 = 10, x2y + x4y2 = 10


Grafico de ecuaciones simetricas respecto al eje Y



2.5.4. Simetrıa respecto al origen

Diseno formado al hacer pasar rayos X a traves de un cristal esferico

El grafico de una ecuacion es simetrica respecto al origen, cuando al cambiar simultaneamenteen la ecuacion la variable x por −x y la variable y por −y, la ecuacion no cambia. Es decir:

(x, y) ∈ grafico =⇒ (−x,−y) ∈ grafico

Ejemplos de ecuaciones cuyas graficas son simetricas respecto al origen son:

x2 + 2y2 = 5, xy = 10, x2y2 + x4y2 = 10


Grafico de ecuaciones simetricas respecto al origen



2.6. La circunferencia

Dados C = (h, k) un punto del plano y r > 0. Se llama circunferencia, con centro C y radior, al conjunto de todos los puntos del plano P = (x, y) que cumplen d(P, C) = r

Grafico de una circunferencia de centro (h, k) y radio r

1. La circunferencia de centro (h, k) y radio r, tiene ecuacion:

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Es claro que, si se desarrolla la ecuacion precedente, se obtiene que la ecuacion de unacircunferencia se puede escribir:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2.1)

donde D = −2h, E = −2k y F = h2 + k2 − r2.

2. La circunferencia de centro en el origen y radio r, tiene ecuacion:

x2 + y2 = r2



Nota: La ecuacion 2.1 no siempre representa una circunferencia. Ella representa una cir-cunferencia cuando: ∆ = D2 + E2 − 4F > 0 , en tal caso su centro es (−D

2,−E

2) y su radio

es 12

√D2 + E2 − 4F .

Si ∆ = 0, 2.1 representa el punto (−D2,−E

2) y si ∆ < 0, no hay puntos que satisfagan 2.1.

2.7. La lınea recta

La ecuacion general de una recta es

Ax + By + C = 0 (2.2)

con A 6= 0 o B 6= 0.

Sea L una recta y P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) dos puntos (distintos) de la recta L.

Se llama pendiente de la recta L a

mL =∆y

∆x=

y2 − y1

x2 − x1

, con x1 6= x2.

Nota: En la ecuacion general de la recta 2.2, la pendiente es m = −A/B.

La ecuacion de la recta que pasa por el punto P = (a, b) y tiene pendiente m es

y − b = m(x− a)

Nota: En este caso no se incluyen las rectas verticales. ¿Por que?.

La ecuacion de una recta vertical que intersecta al eje X en el punto (a, 0), es x = a.

Observacion: Sean L1 y L2 dos rectas con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:

L1 ‖ L2 ⇐⇒ m1 = m2

L1 ⊥ L2 ⇐⇒ m1 ·m2 = −1



2.8. Sistema de ecuaciones lineales (SEL)

2.8.1. Conceptos basicos

Un conjunto de dos ecuaciones lineales

ax + by = cpx + qy = r

(∗)

con dos incognitas o variables x e y, se denomina sistema de dos ecuaciones lineales,donde a, b, p y q son los coeficientes del sistema, y los terminos c y r son los terminosindependientes o constantes del sistema.

Los coeficientes y las constantes del sistema representan numeros reales.

Una solucion de un SEL con dos incognitas, es todo par ordenado de numeros reales(a, b), que satisfacen cada una de las ecuaciones que conforman el sistema.

Al proceso de determinar todas las soluciones de un sistema se le denomina: resolverel sistema.

En general, un SEL, puede tener o no soluciones. En el primer caso se dice consistente,y en el segundo inconsistente.

Cuando un SEL es consistente, puede tener una unica solucion, o bien infinitas solu-ciones.

Para resolver un SEL existen cuatro metodos: tres algebraicos y uno grafico.

2.8.2. Metodos algebraicos para resolver un SEL

1. Metodo de sustitucion.

Pasos:

Despejar una de las incognitas (cualquiera) de una de las ecuaciones.

Sustituir la incognita despejada en la otra ecuacion.



Resolver la ecuacion (lineal) obtenida. Con esto se obtiene el valor de una de lasvariables.

Para obtener el valor de la otra variable, sustituir el valor de la variable recienencontrada en la primera relacion.

2. Metodo de igualacion.

Pasos:

Despejar una misma incognita (cualquiera) de cada una de las ecuaciones queconforman el sistema.

Igualar las expresiones obtenidas.

Luego, continuar de la misma manera del metodo anterior.

3. Metodo de reduccion.

Pasos:

Multiplicar ambas ecuaciones por numeros adecuados, de modo de igualar loscoeficientes de una de la variables (en ambas ecuaciones).

Restar las ecuaciones obtenidas.

De la ecuacion obtenida en el paso anterior, despejar su variable.

Luego, continuar de la misma manera del metodo anterior.

Nota: El SEL (∗) tiene:

Una unica solucion cuando aq − pb 6= 0, o bien cuandoa

p=

b

q

Ninguna solucion cuandoa

p=

b

q6= c

r

Infinitas soluciones cuandoa

p=

b

q=

c

r

2.8.3. Metodo grafico para resolver un SEL

Como el grafico de una ecuacion lineal es una lınea recta, el conjunto solucion del sistema(∗), se puede encontrar graficamente, realizando los siguientes pasos:

1. Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, las rectas correspondientes a las dosecuaciones lineales que conforman el sistema.

2. Por inspeccion visual, determinar el (o los) punto(s) comun(es) a ambas rectas. Estospuntos constituyen la solucion del sistema.



Nota: Desde el punto de vista grafico, las distintas posibilidades de solucion de un SEL,corresponden a:

El sistema (∗) tiene exactamente una solucion. En este caso los graficos de las ecua-ciones lineales se cortan en un punto, que corresponde justamente a la solucion delsistema.

Ejemplo: Sistema de ecuaciones:

x + 2y = 43x− y = 5

(1)

Ecuaciones x + 2y = 4 y 3x− y = 5

Luego, la solucion del sistema (1) es (2, 1).

El sistema no tiene solucion. En este caso los graficos de las ecuaciones lineales corres-ponden a dos rectas paralelas (no coincidentes).


x + 2y = 4x + 2y = 6

(2)

Ecuaciones x + 2y = 4 y x + 2y = 6



Luego, este sistema (2) no tiene solucion.

El sistema tiene un numero infinito de soluciones. Aquı los graficos son rectas quecoinciden.


x + 2y = 42x + 4y = 8

(3)

Ecuaciones x + 2y = 4 y 2x + 4y = 8

Luego, el sistema (3) tiene infinitas soluciones.


Capıtulo 2: El plano cartesiano y grafica de ecuaciones Ejemplos

2.9. Ejemplos

1. Identificar y graficar todos los puntos del plano cartesiano que cumplen la condicionx = 3.

Solucion: Los puntos a determinar satisfacen que su distancia (positiva) al eje Y esigual a 3, por lo tanto, ellos estan ubicados en una recta paralela al eje Y , que seencuentra a 3 unidades, a la derecha del eje Y .

Grafico de x=3

2. Identificar y graficar todos los puntos del plano cartesiano que cumplen la condicion(x + 2)(y − 3) = 0.

Solucion: Como los puntos a determinar satisfacen la condicion (x + 2)(y− 3) = 0, setiene que ellos cumplen x + 2 = 0 o y − 3 = 0, es decir, x = −2 o y = 3. Por lo tanto,son los puntos que estan a −2 unidades del eje Y (recta vertical que pasa por el punto(−2, 0)) o 3 unidades del eje X (recta horizontal que pasa por el punto (0, 3)).

Grafico de (x + 2)(y − 3) = 0



3. Uno de los extremos de un segmento rectilıneo de longitud 5 es el punto A = (3,−2).Si la abscisa del otro extremo B es 6, determinar su ordenada.

Solucion: Como d(A, B) = 5, se tiene√(6− 3)2 + (y − (−2))2 = 5 /()2

9 + (y + 2)2 = 25

y2 + 4y − 12 = 0

(y + 6)(y − 2) = 0

de donde y = −6 o y = 2

Luego, la ordenada del punto B puede ser −6 o 2.

4. Decidir si el triangulo cuyos vertices son los puntos A = (0, 0), B = (2, 4) y C = (4, 3)es o no un triangulo rectangulo.

Solucion: Como la d(A, B) =√

20, d(B, C) =√

5 y d(A, C) = 5, se tiene que

d(A, B)2 + d(B, C)2 = d(A, C)2

luego, por el Teorema de Pitagoras, el triangulo propuesto es rectangulo.

5. Considerar los siguientes puntos del plano cartesiano: A = (1, 2), B = (5, 10) y C =(10, 5).

a) Determinar una ecuacion de la recta L que pasa por los puntos A y B.

b) Encontrar una ecuacion de la recta M que pasa por el punto C y es perpendiculara la recta L.

c) Sea P el punto de interseccion entre las rectas L y M . Hallar el area del triangulocuyos vertices son los puntos A, C y P .

Solucion:

a) mL = 10−25−1

= 84

= 2. Luego, eligiendo el punto A, la ecuacion de la recta L esy − 2 = 2(x− 1), es decir:

2x− y = 0

b) mM = −12. Luego, eligiendo el punto C, la ecuacion de la recta M es y − 5 =

−1

2(x− 10), es decir:

x + 2y = 20

c) Para buscar P , se resuelve el sistema:



2x− y = 0 Ec. de la recta Lx + 2y = 20 Ec. de la recta M

de donde P = (4, 8)

Una figura que resume todo lo anterior (y destaca el triangulo al que se le debecalcular el area) es:

d(AP ) =√

32 + 62 =√

45, d(PC) =√

62 + (−3)2 =√

45.

Por lo tanto, el area del triangulo APC (¡recto en P !) es

1

2

√45 ·

√45 =

45

2= 22,5 (u. de longitud)2.

6. Graficar la ecuacion y2 =x2(2− x)

2 + x(Estrofoide recto).

Solucion: En primer lugar, observemos que los valores que puede tomar la variable x,deben cumplir1:

2− x

2 + x> 0

Ahora bien, los x que satisfacen la relacion precedente son los x que estan entre −2 y2, excluyendo al −2 (¿por que?).

Ahora construyamos una tabla de valores:

x −1,5 −1 −0,5 0 0.5 1 1.5 2y ±3,96 ±1,73 ±0,65 0 ±0,39 ±0,58 ±0,57 0

Observar que para para algunos valores de x hay dos valores de y.

A continuacion, en un plano cartesiano se dibujan los puntos de la tabla anterior yluego (uniendo con una curva suave) se hace un esbozo del grafico de la ecuacion

y2 =x2(2− x)

2 + x:

1¿por que?



Grafico de algunos puntos de y2 =x2(2− x)

2 + xGrafico de y2 =

x2(2− x)

2 + x

7. Estudiar intersecciones con los ejes coordenados y simetrıas de la curva de ecuacion3x3y2 + x2 + x + 32y4 = 2 (∗)Solucion:

a) Intersecciones con el eje X: Haciendo y = 0 en (∗) se obtiene la ecuacionx2 + x = 2. Resolviendo esta ecuacion cuadratica se obtiene x = 1 y x = −2. Porlo tanto, la curva corta al eje X en los puntos (1, 0) y (−2, 0).

b) Intersecciones con el eje Y: Haciendo x = 0 en (∗) se obtiene la ecuacion32y4 = 2. Resolviendo esta ecuacion se obtiene y = 1/2 y y = −1/2. Por lo tanto,la curva corta al eje Y en los puntos (0, 1/2) y (0,−1/2).

c) Simetrıa respecto al eje X: Sustituyendo y por −y en (∗) se obtiene: 3x3y2 +x2 − x + 32y4 = 2. Como esta ecuacion es igual a (∗), se obtiene que la ecuacion(∗) es simetrica respecto al eje X.

d) Simetrıa respecto al eje Y : Sustituyendo x por −x en (∗) se obtiene: −3x3y2 +x2−x+32y4 = 2. Como esta ecuacion es diferente a (∗), se obtiene que la ecuacion(∗) no es simetrica respecto al eje Y .

e) Simetrıa respecto al origen: Sustituyendo x por −x e y por −y en (∗) seobtiene −3x3y2 + x2 − x + 32y4 = 2. Como esta ecuacion es distinta a (∗), laecuacion (∗) no es simetrica respecto al origen.

Grafico de 3x3y2 + x2 + x + 32y4 = 2



8. Considerar los puntos A = (1, 5) y B = (7, 3).

a) Encontrar un punto del plano que equidiste (este a igual distancia) de los puntosA y B.

b) Determinar la ecuacion que satisfacen todos puntos que equidistan de A y B.

c) Graficar la ecuacion obtenida en (b).

Solucion:

a) Un punto que claramente equidista de A y B es el punto medio del segmento AB.Este punto es (4, 4).

b) Sea P = (x, y) un punto que equidista de A y B. Luego,

d(P, A) = d(P, B) luego :√(x− 1)2 + (y − 5)2 =

√(x− 7)2 + (y − 3)2 elevando al cuadrado

(x− 1)2 + (y − 5)2 = (x− 7)2 + (y − 3)2 desarrollando y simplificando

3x− y = 8

Por lo tanto, la ecuacion que satisfacen los puntos buscados es 3x− y = 8.

c) El grafico de 3x− y = 8 es:

9. Determinar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos A = (0, 0); B =(3, 6) y C = (7, 0), indicando su centro y radio.

Solucion: La ecuacion general de la circunferencia es: (∗∗) x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0.Como los tres puntos dados estan en la circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer(∗∗), sustituyendo los puntos A, B y C en (∗∗) se tiene respectivamente:

02 + 02 + 0 ·D + 0 · E + F = 032 + 62 + 3 ·D + 6 · E + F = 072 + 02 + 7 ·D + 0 · E + F = 0



es decir, F = 03D + 6E + F = −457D + F = −49

Resolviendo este sistema, se obtiene: F = 0, D = −7, E = −4. Luego, la ecuacionde la circunferencia es: x2 + y2 − 7x − 4y = 0. Para determinar su centro y radio seescribe la ecuacion en la forma: (x−h)2 +(y− k)2 = r2, lo que se logra por el metodode “completar cuadrados”.

x2 − 7x +49

4− 49

4+ y2 − 4y + 4− 4 = 0(

x2 − 7x +49

4

)+ (y2 − 4y + 4) =

65

4(x− 7

2

)2

+ (y − 2)2 =

(√65

2

)2

De donde el centro de la circunferencia es (72, 2) y su radio 1

2

√65.

10. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en elpunto de interseccion de las rectas: x− 2y − 1 = 0, y, x + 3y − 6 = 0.

Solucion: Para determinar el centro de la circunferencia buscada, debemos encontrarel punto de interseccion de las rectas. Para ello se debe resolver el sistema:

x− 2y = 1x + 3y = 6

Restando ambas ecuaciones, se tiene −5y = −5, de donde y = 1.

Reemplazando el valor encontrado de y en (por ejemplo) la primera ecuacion, se obtienex− 2 · 1 = 1, de donde x = 3.

Por lo tanto, el centro de la circunferencia es el punto P = (3, 1).

Ahora, como la circunferencia pasa por el origen, su radio es:

r =√

32 + 12 =√

10

Luego, la ecuacion de la circunferencia con centro en P y radio√

10, es:

(x− 3)2 + (y − 1)2 = (√

10)2

es decir,(x− 3)2 + (y − 1)2 = 10

o bien, desarrollando:x2 − 6x + y2 − 2y = 0



Ecuacion x2 − 6x + y2 − 2y = 0

11. Determinar la ecuacion de la lınea recta L que pasa por el punto (−3, 6) y de pendiente−1.

Solucion: La ecuacion buscada es de la forma y = f(x) = mx + b, en donde m = −1.Como (−3, 6) ∈ L, entonces 6 = (−1)(−3) + b, con lo cual se obtiene b = 3; ası laecuacion de la recta es y = 3− x.

12. Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (1,−2) y (2,−6), y calcularsu pendiente.

Solucion: La ecuacion buscada es de la forma y = mx+b, en donde m y b son numerosreales, b es la ordenada en el origen y m es la pendiente de la recta. Como se conocendos puntos (de la grafica de f) con distintas abscisas, entonces se puede calcular lapendiente m:

m =−6− (−2)

2− 1= −4 , Ası, y = −4x + b

Falta solo determinar b, para ello se elige uno de los puntos dados, por ejemplo, (1,−2)cuyas coordenadas x = 1 e y = −2 tienen que satisfacer la ecuacion y = −4x + b, esdecir, −2 = −4(1) + b, de donde se obtiene que b = 2. Por lo tanto, la ecuacion linealbuscada es y = −4x + 2.

13. Hallar el valor de k para que la recta L1 : kx + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular ala recta L2 : 3x− 2y − 11 = 0.

Solucion: La pendiente de L1 es m1 = − kk+1

y la de L2 es m2 = 32. Para que dos rectas

sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser −1, luego

− k

k + 1· 3

2= −1, de donde k = 2



14. La suma y el producto de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coor-denados es igual a 10 y 12 respectivamente. Hallar la ecuacion de la recta que cumplecon estas condiciones.

Solucion: Sea L : y = mx + b la ecuacion de la recta buscada.

Interseccion de L con el eje X: y = 0 =⇒ x = − bm .

Interseccion de L con el eje Y : x = 0 =⇒ y = b

De la primera condicion se obtiene − bm

+ b = 10 y de la segunda (− bm

)b = 24, dedonde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

− b

m+ b = 10

−b2 = 24m

De la segunda ecuacion m = − b2

24. Sustituyendo este valor en la primera ecuaciontenemos:

24

b+ b = 10 / · b

24 + b2 = 10b

b2 − 10b + 24 = 0

de donde b = 6 o b = 4. Si b = 6, entonces m = −32

y si b = 4, entonces m = −23.

Luego, el problema tiene dos soluciones que son: 3x + 2y − 12 = 0 y 2x + 3y − 12 = 0

15. Considerar el siguientes sistema de ecuaciones lineales:

(a)αx + 1y = 5x + αy = −5

a) ¿Para que valores de α el sistema tiene:

una unica solucion?

infinitas soluciones?

ninguna solucion?

b) Determinar su solucion, cuando tiene una unica solucion.

Solucion:

a) Unica solucion:Para ello: α2 − 1 6= 0, es decir cuando α 6= 1 y α 6= −1.Por lo tanto, el sistema tiene una unica solucion cuando α 6= 1 y cuandoα 6= −1.



Ninguna solucion:

Para ello:α

1=

1

α6= 5

− 5.

De la igualdad: α2 = 1, es decir α = 1 o α = −1. De la desigualdad : α 6= −1.Por lo tanto el sistema no tiene soluciones cuando α = 1.

Infinitas soluciones :

Para ello:α

1=

1

α=

5

− 5. Trabajando de manera analoga al caso precedente,

se obtiene α = −1.Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones cuando α = −1.

b) Multiplicando la segunda ecuacion por −α:

αx + 1y = 5−αx− α2y = 5α

sumando termino a termino: (1−α2)y = 5(1+α), de donde y =5

1− α. Reempla-

zando el valor encontrado de y en la primera (o segunda) ecuacion del sistema, se

obtiene que x =5

α− 1.

Luego, en el caso que el sistema tenga unica solucion, su solucion es:

(5

α− 1,

5

1− α

)

16. Estudiando una familia de sistemas de ecuaciones

Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(a)3x + 4y = 57x + 8y = 9

(b)−20x− 19y = −18

4x + 5y = 6(c)

13x + 14y = 15−9x− 8y = −7

a) ¿Que tienen de particular los coeficientes de las ecuaciones que conforman lossistemas dados?

b) Resolver estos SEL. ¿Que se puede observar en las soluciones obtenidas?

c) En base a las soluciones de estos sistemas, establecer una conjetura.

d) Verificar la conjetura planteada en (c).

Solucion:

a) En cada ecuacion los coeficientes son tres enteros consecutivos.

b) Resolvamos el sistema (a). Multiplicando la primera ecuacion por 7 y la segundapor −3, se obtiene:

21x + 28y = 35−21x− 24y = −27



sumando termino a termino, se tiene: 4y = 8, de donde y = 2.

Sustituyendo el valor encontrado de y en la primera ecuacion: 3x + 4 · 2 = 5. Dedonde x = −1.

Por lo tanto, el sistema (a) tiene, como unica solucion a (−1, 2).

Analogamente, usando este mismo metodo (u otro), se obtiene que tambien lasolucion de los sistemas (b) y (c) es (−1, 2).

Luego, se puede observar que los 3 SEL propuestos tienen como solucion comuna (−1, 2).

c) La conjetura propuesta es: Todos los sistemas de ecuaciones lineales, en que loscoeficientes de ambas ecuaciones son tres enteros consecutivos, tienen como solu-cion a (−1, 2).

d) Para verificar la conjetura, consideremos el siguiente SEL:

ax + (a + 1)y = a + 2bx + (b + 1)y = b + 2

(∗)

con a, b ∈ Z y a 6= b.

Multiplicando la primera ecuacion de (∗) por b y la segunda por −a, se obtiene:

abx + (ab + b)y = ab + 2b−abx− (ab + a)y = −ab− 2a

sumando termino a termino, se tiene: (b− a)y = 2b− 2a, de donde y = −2.

Sustituyendo el valor encontrado de y en la primera ecuacion: ax + (a + 1) · 2 = a + 2.De donde x = −1.

Por lo tanto la solucion del sistema (∗) es (−2, 1).

17. Se conoce en fısica (Ley de Hooke) que la relacion entre la elongacion s de un resortey el peso w que lo causa es lineal. Un peso de 10 libras estira un resorte 1 pulgada, ysin el peso el estiramiento es 0.

a) Encontrar la funcion lineal que representa esta relacion.

b) Determinar la longitud del estiramiento para un peso de 30 libras.

c) Calcular el peso que determina un alargamiento de 5 pulgadas.

d) Graficar esta funcion para 0 6 w 6 40.



Solucion:

a) Como la funcion entre s y w es lineal, ella tiene la forma s = f(w) = aw + b paraciertas constantes a y b.

Como s = 0 cuando w = 0, se tiene que 0 = a · 0 + b, de donde b = 0. Luego, lafuncion tiene la forma s = f(w) = aw.

Como s = 1 cuando w = 10, se tiene que 1 = 10a, de donde a = 1/10.

Por lo tanto, la funcion lineal buscada es s = f(w) = w/10.

b) Si w = 30, s = 30/10 = 3. Luego, para un peso de 30 libras el estiramiento es de3 pulgadas.

c) Si s = 5, 5 = w/10. De donde w = 50. Luego, para que el estiramiento sea de 5pulgadas, el peso debe ser de 50 libras.

d) El grafico para 0 6 w 6 40 es:

Grafico de s = f(w) = w/10

18. En un laboratorio de quımica hay dos tipos de probetas: probetas tipo A y probetastipo B. El numero de probetas tipo A son 7 mas que las del tipo B. Si en total hay 52probetas, determinar el numero de probetas tipo B.

Solucion: Sean

x = numero de probetas tipo Ay = numero de probetas tipo B

Como en total hay 52 probetas: x + y = 52

El numero de probetas tipo A son 7 mas que el del tipo B: x = 7 + 2y.

Luego, este problema viene modelado por el siguiente SEL:

x + y = 52x = 7 + 2y



Resolvamos este SEL: reemplazando x = 7 + 2y en la ecuacion x + y = 52 se tiene7 + 2y + y = 52. De donde y = 15.

Por lo tanto, en el laboratorio hay 15 probetas tipo B.

19. La presion p del agua de mar bajo la superficie aumenta 14,7 libras por pulgada2 porcada 33 pies de profundidad bajo la superficie. Si la presion sobre el agua es de 14,7libras por pulgada2:

a) Establecer la ecuacion lineal que relaciona la presion p (en libras por pulgada alcuadrado) con la profundidad de d (en pies) bajo la superficie.

b) ¿Cual es la presion a la que se encuentra sometida una persona que esta a 100pies de profundidad?

c) ¿A que profundidad se encuentra un buzo si observa que la presion es 165 libraspor pulgada2?

Solucion:

a) Sea d la variable que representa la profundidad bajo la superficie.

Elijamos d como variable independiente (en eje X). Es claro que la relacion entreestas variables es lineal.

De acuerdo a la informacion entregada, se tiene que:

p d14,7 029,4 33

La pendiente de la recta buscada es: m =29,4− 14,7

33− 0≈ 0,445

Por lo tanto, la ecuacion lineal buscada es

p = 14,7 + 0,445d (∗)

b) Para determinar la presion a la que se encuentra sometida una persona que esta a100 pies de profundidad, simplemente se sustituye en la relacion (∗), d = 100:

p = 14,7 + 0,445 · 100 = 59, 2

Por lo tanto, la presion pedida es de 59, 2 libras por pulgada al cuadrado.

c) Para buscar la profundidad solicitada, se reemplaza p = 165 en (∗):

165 = 14,7 + 0,445 · d

Resolviendo esta ecuacion, se obtiene d = 337, 7528089. Por lo tanto, la profun-didad pedida es de 338 pies.



20. Se calienta agua en un recipiente, y se miden los valores siguientes de la temperaturaversus el tiempo de coccion.

tiempo (t en seg) Temperatura (T en ◦C)20 2590 50

a) Determinar un modelo lineal, que muestre la dependencia entre el tiempo decoccion del agua y su temperatura.

b) ¿Cual sera la temperatura a los 2 minutos de coccion?

c) ¿En cuanto tiempo hervira el agua?

Solucion:

a) La pendiente de la ecuacion de la recta buscada es: m =50− 25

90− 20= 0,3571428571.

Luego, m = 0,38. Por lo tanto, el modelo lineal es T − 20 = 0,38(t− 20), es decir:

T = 0,38 · t + 12,4 (∗∗)

b) Para buscar la temperatura pedida se reemplaza t = 120 en (∗∗):

T = 0,38 · 120 + 12,4 = 58

Luego, la temperatura a los 2 minutos de coccion es de 58◦C.

c) Como se sabe, el agua en condiciones normales, hierve a 100◦C. Luego:

100 = 0,38 · t + 12,4

resolviendo esta ecuacion, se obtiene t = 230,5263157.

Por lo tanto, en las condiciones del problema, el agua demora 231 segundos enhervir.


Capıtulo 2: El plano cartesiano y grafica de ecuaciones Ejercicios

2.10. Ejercicios

1. Determinar los puntos que dividen en cuatro partes iguales al segmento con extremosA = (1, 8) y B = (−5, 40).

2. Encontrar un punto del eje Y que equidiste de los puntos A = (5,−5) y B = (1, 1)

3. Determinar si los puntos A(2, 6), B(0, 2) y C(−3,−4), son colineales, o sea, si perte-necen a la misma recta.

4. Determinar los vertices de un triangulo sabiendo que los puntos medios de sus ladosson (2, 4), (6, 6) y (−4,−2).

5. Dados los puntos A = (−2, 9), B = (4, 6), C = (1, 0) y D = (−5, 3):

a) Decidir si el triangulo ABD es rectangulo.

b) Decidir si cuadrilatero ABCD es un cuadrado.

c) Calcular el area del cuadrilatero ABCD.

6. Dada la ecuacion: (E) : 30y = x(39− 10x2 + x4) se pide:

a) Completar la siguiente tabla de valores:

x y−3−1013

b) Graficar los puntos anteriores, y en base a ellos esbozar un posible grafico de laecuacion (E). ¿Que curva parece ser el grafico de (E).

c) Completar la tabla de valores para otros valores de x, por ejemplo, −2 , −4, 2, y4.

d) Incorporar estos nuevos puntos del grafico de (E) y con ellos esbozar nuevamenteun grafico para la ecuacion (E).

e) ¿Que ensenanza le deja esta actividad?

7. En cada caso, determinar la ecuacion de los puntos que satisfacen las condicionesindicadas y graficar.



a) Su ordenada es igual al 50% de su abscisa.

b) Su distancia al punto (−2, 3) es igual a 25.

c) El producto de sus coordenadas es igual a 6.

d) Su distancia al origen es el doble de su distancia al punto (0, 5).

8. Buscar una ecuacion que tenga la propiedad indicada:

a) La grafica tiene interseccion con el eje X en x = −1, x = 2 y x = 5.

b) La grafica es simetrica respecto al eje X.

c) La grafica es simetrica respecto al origen, pero no es simetrica respecto al eje Y .

9. Graficar cada una de la siguientes ecuaciones, estudiando previamente sus interseccio-nes con los ejes coordenados y sus posibles simetrıas.

a) y = x2 + 3 b) y =√

9− x2 c) y = x3

d) y = 1− x2 e) x + y2 = 3 f) x2 − y2 = 4

10. A continuacion se entregan 4 graficos:

(1) Curva Kappa (2) Lemniscata de Bernoulli

(3) Hoja de Descartes (4) Trisectriz de Maclaurin



a) Por inspeccion de cada grafico, determinar si tiene o no simetrıa con respecto aleje X, Y y origen.

b) Si las ecuaciones de los graficos (¡sin orden!) son:

(A) x3 + y3 = 3xy (B) y2(x2 + y2) = x2

(C) y2(1 + x) = x2(3− x) (D) (x2 + y2)2 = x2 − y2

establecer la correspondencia entre los graficos de (a) y sus correspondientes ecua-ciones.

c) Una vez realizada la correspondencia entre los graficos y sus ecuaciones, corroborarsus respuestas dadas en (a) trabajando con las ecuaciones de las curvas.

11. Hallar algebraica y geometricamente los puntos de interseccion de las dos ecuacionesdadas. Comprobar los resultados.

a) x + y = 7 b) x2 + y2 = 5 c) x = 3− y2

3x− 2y = 11 x− y = 1 y = x− 1

12. La ecuacion x2 + y2 + 6x− 14y − 6 = 0 representa una circunferencia. Determinar sucentro y su radio.

13. Los extremos de un diametro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(−4, 5).Hallar la ecuacion de dicha circunferencia.

14. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el punto A(7,−5) y cuyo centroes el punto de interseccion de las ecuaciones 7x− 9y − 10 = 0 y 2x− 5y + 2 = 0.

15. Una circunferencia pasa por los puntos A(−3, 3), B(1, 4) y su centro esta sobre laecuacion 3x− 2y − 23 = 0. Hallar su ecuacion.

16. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia x2 − 2x + y2 + 8y + 17 = 8en su punto de coordenadas (3,−6).

17. Una circunferencia con centro en el origen es tangente a la recta: 12x + 5y + 52 = 0.Encontrar la ecuacion de la circunferencia y el punto de contacto.

18. Hallar la ecuacion de la recta cuya pendiente es −4, y que pasa por el punto deinterseccion de las rectas 2x + y − 8 = 0 y 3x− 2y + 9 = 0.

19. El punto P de ordenada 10 esta sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por elpunto (7,−2). Calcular la abscisa de P .



20. Hallar las intersecciones con los ejes coordenados de la recta que pasa por el punto(2, 3) y es perpendicular a la recta 2x− 7y + 2 = 0.

21. Sean L1 la recta de ecuacion y + 8x = 0 y L2 la recta que pasa por el punto (0, 18) ytiene pendiente −3. Se pide encontrar:

a) El punto B de interseccion entre L1 y L2.

b) El area del triangulo OBC, donde O es el origen y C es el punto donde L2 cortael eje X.

22. Determinar el valor de k (k > 0) para que la recta 4x + 5y − k = 0 forme con los ejescoordenados un triangulo de area igual a 5

2unidades cuadradas.

23. Determinar el(los) valor(es) de k para que:

a) La recta L1 : kx + (3− k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0.

b) La recta L2 : kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 3x− 2y − 11 = 0.

c) La recta L3 : (2 + k)x− (3− k)y + 4k = −14 contenga al punto P (2, 3).

24. Dados los puntos A(−1, 1) ; B(3, 5) y C(0,−2) . Se pide:

a) Encontrar la ecuacion de la recta L que pasa por C y el punto medio del segmentoAB.

b) Determinar la ecuacion de la recta M que pasa por B y C.

c) Calcular la distancia de A a la recta M y el area del triangulo ABC.

d) Determinar la ecuacion de la circunferencia circunscrita al triangulo ABC.

25. Determinar las ecuaciones de las rectas L1, L2, L3 y L4 que aparecen en la siguientefigura:



26. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

2x− 3y = 98x + 5y = 7

se pide:

a) Verificar, sin resolverlo, que tiene una unica solucion.

b) Obtener graficamente, una solucion aproximada.

c) Encontrar su solucion exacta, usando uno de los metodos algebraicos.

27. Un quımico tiene dos soluciones de acido sulfurico, una al 20% y otra al 80%. ¿Cuantodebe usarse de cada solucion para obtener 100 litros al 62%?

28. Se sabe que, cada 32 metros de profundidad h, bajo tierra, la temperatura t aumentaun grado. Si en la superficie, la temperatura es de 10◦:

a) Encontrar la ecuacion de una recta que relaciona los metros de profundidad congrados.

b) Graficar la recta encontrada.

c) Si un agua termal que sale a 79◦, ¿de que profundidad proviene?.

29. En un lago se ha medido la concentracion de oxıgeno (en ppm) en el agua a distintasprofundidades (en m). Al graficar dicha informacion se ha obtenido el siguiente grafico:

a) Trazar a mano una recta que aproxime razonablemente los datos obtenidos.



b) Determinar la ecuacion de la recta graficada.

c) En base a la recta obtenida estimar :

i) la concentracion de oxıgeno a 35 metros de profundidad.

ii) la profundidad a la cual la cual la concentracion del oxıgeno es igual 0, 5(ppm).

30. a) Encontrar la ecuacion lineal que relaciona la temperatura en grados Farenheit,con la misma en grados Celsius, sabiendo que 0◦C =32◦F y 100◦C = 212◦F.

b) La relacion funcional entre grados Celsius y grados Kelvin es lineal. Sabiendo que0◦C = 273◦K y que 27◦C = 300◦K, encontrar la ecuacion que da la temperaturaen grados Celcius conocida la misma en grados Kelvin.

c) Encontrar la expresion de la temperatura en grados Farenheit en funcion de latemperatura en grados Kelvin. ¿Es lineal?.

31. La formula para la dilatacion de una varilla metalica bajo un cambio de temperaturapequeno viene dada por la ecuacion lineal:

l − l0 = al0(t− t0) (∗)

donde l es la longitud del objeto a la temperatura t, l0 es la longitud inicial a latemperatura t0 y el valor a es una constante que depende del tipo de metal.

a) Encontrar la pendiente y la interseccion con el eje de las ordenadas de (∗).b) Suponer que se tenıa una varilla que inicialmente medıa 100cm de largo a 60◦F y

hecha de un metal con a = 10−5. Escribir una ecuacion que de la longitud de estavarilla a una temperatura t.

c) De acuerdo a la formula obtenida en (b), ¿cual es la longitud de la varilla a 100◦F.

2.11. Respuestas a los ejercicios

1. (−1/2, 16), (−2, 24), (−7/2, 32)

2. (0,−4)

3. Sı, los 3 puntos son colineales. Esto se puede verificar comprobando que d(A, C) =d(A, B) + d(B, C).

4. (12, 12), (−8,−4) y (0, 0).

5. a) Sı b) Sı c) 45(unidades de longitud)2



6. a) Tabla de valores:

x y−3 −3−1 −10 01 13 3

b) El grafico parece ser una recta.

d) El grafico de la ecuacion dada es:

Grafico de 30y = x(39− 10x2 + x4)

7. a) Ecuacion: y = x/2

Grafico de y = x/2

b) Ecuacion: (x + 2)2 + (y − 3)2 = 625



Grafico de (x + 2)2 + (y − 3)2 = 625

c) Ecuacion: xy = 6

Grafico de xy = 6

d) Ecuacion: 3x2 + 3y2 − 40y + 100 = 0

Grafico de 3x2 + 3y2 − 40y + 100 = 0

8. a) Una respuesta es y = (x+1)(x−2)2(x−5)3 c) Una respuesta es xy(x2y2−4) = 45



9. Los graficos de las ecuaciones (a), (c) y (e) respectivamente son:

10. a) (1) Curva Kappa: eje X, eje Y y origen.

(2) Lemniscata de Bernoulli: eje X, eje Y y origen.

(3) Hoja de Descartes: no tiene simetrıa con respecto al eje X, ni al eje Y ni alorigen.

(4) Trisectriz de Maclaurin: eje X.

b) (1) Curva Kappa: ecuacion (B).

(2) Lemniscata de Bernoulli: ecuacion (D).

(3) Hoja de Descartes: ecuacion (A).

(4) Trisectriz de Maclaurin: ecuacion (C).

11. a) Las curvas se cortan en un punto (5, 2). Grafico:

c) Las curvas se cortan en los puntos (−1,−2) y (2, 1). Grafico:



12. Su centro es: (−3, 7) y su radio 8

13. (x + 1)2 + (y − 4)2 = 10

14. (x− 4)2 + (y − 2)2 = 58

15. (x− 2)2 +

(y +

17

2

)2

=629

4

16. x− y = 9

17. x2 + y2 = 16. Punto de contacto

(−48

13,−20

13

)

18. y = −4x + 10

19. x = 11

20. Eje Y (x = 0) : y = 10. Eje X (y = 0) : x =20

7

21. a)

(−18

5,144

5

)b) El area es:

432

5(u.d.l)2

22. k = 10

23. a) k =21

6

b) k =3

5

c) k = −1

24. a) y − 5x + 2 = 0

b) y − 7x

3+ 2 = 0

c) La distancia es:16√58

y su area 8 (u.d.l)2



d)

(x− 13

4

)2

+

(y − 3

4

)2

=145

8

25. L1 : x− y = 1, L2 : y − x = 1, L3 : x + y = 1, L4 : x + y = −1

26. a) aq − pb = 34 6= 0, luego el sistema tiene una unica solucion

b) Grafico de la ecuaciones:

Solucion aproximada: (1, 8, −1,7)

c) (33/17,−29/17) ≈ (1,9412,−1,7059)

27. 30 lt de la solucion al 20 %

28. a) t =1

32h + 10

b)

c) 2208 metros de profundidad



29. a) Una solucion es:

b) C = − 1

10P + 5,5

c) i) C = 2 ppm ii) m = 50 mts

30. a) F = f(C) =9

5C + 32

b) C = g(K) = K − 273

c) F = (f ◦ g)(K) =9

5K − 2297

5

31. a) Pendiente = al0, interseccion eje l igual a l0(1− at0)

b) l = 10−3t + 102

c) l = 100, 1 cm


cap´ıtulo 2 el plano cartesiano y gr´aﬁca de...

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