tema 4: sistemas dinámicos lineales en tiempo continuo
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Tema 4: Sistemas dinámicoslineales en tiempo continuo
n Introducciónn Transformada de Laplace n Cálculo de antitransformadasn Descripción externa de los sistemas dinámicosn Descripción interna de los sistemas dinámicosn Álgebra de bloquesn Evolución temporal y transformada Laplace
2
Introducción
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
R
¿Cómo se puede estudiar el efecto de la resistencia en el comportamiento del sistema?
u
R
Cy
L
3
Transformada de Laplace
n Transformación de una señal¨ Sea f(t) a derechas: f(t)=0, para todo t<0
Dominio del tiempo Dominio de Laplace
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Transformadas de algunas señales
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Propiedades de la transformada Laplacen Linealidad
n Transformación de la derivada
n Transformación de la integral
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Propiedades de la transformada Laplacen Transformada de la señal modulada por una
exponencial
n Transformada de la señal retardada
n Teorema del Valor Final
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Propiedades de la transformada Laplacen Teorema del Valor Inicial
n Transformada de la convolución
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Cálculo de antitransformadas
n Objetivo:
n Procedimiento: descomposición en factores simples
n Ceros y polos¨ Ceros: valores que anulan F(s)
¨ Polos: valores singulares de F(s)
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Caso1: polos realesn Denominador
n Procedimiento
n Cálculo de los residuos
10
Ejemplo
11
n Denominador
n Procedimiento
Caso 2: polos complejos
12
n Cálculo de los residuos
¨ Igualdad compleja=2 ecuaciones (Parte real y parte imaginaria)
¨ 2 incógnitas
Caso 2: polos complejos
13
Ejemplo
14
n Denominador
n Procedimiento
Caso 3: polos reales múltiples
15
n Cálculo de los residuos
n Justificación
Caso 3: polos reales múltiples
16
Ejemplo
17
Descripción externan Objetivo: Encontrar una relación directa
¨ Implícitamente dado por el modelo
n Dos formas¨ Dominio del tiempo: Respuesta impulsional
¨ Dominio de Laplace: Función de transferencia
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Respuesta impulsional
y(t)
t
sistema
F(t)
tRespuesta impulsional: es la salida que se produce en un sistema cuando se aplica en su entrada un impulso unitario
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Respuesta impulsional
Conocida la respuesta impulsional se puede calcular la salida del sistema ante cualquier entrada
sistema
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Sistemas multivariablesn Entradas: 2
¨ Calor aportado¨ Temperatura ambiente
n Salida: 1¨ Temperatura del líquido
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Sistemas multivariables
Principio de Superposición
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Sistemas multivariables
Sistema···
···
23
Función de transferencian Dominio del tiempo
¨ Si u(t)=0 para t<0, entonces y(t)=0 para t<0 Condiciones iniciales nulas (Respuesta forzada)
n Dominio de Laplace
Función de transferencia
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Ejemplo
25
Sistemas multivariables
26
Sistemas multivariables
Sistema···
···
27
Sistemas multivariables
Sistema···
···
28
Relación de H(s) y la respuesta impulsional
Los polos de H(s) determinan la forma de h(t)
Críticamente estable(inestable)
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Descripción interna
n Estado:
¨
¨
n Descripción interna
Ecuacióntransición
Ecuaciónlectura
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Descripción internan Descripción interna
n Sistemas lineales
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Ejemplon Circuito eléctrico:
dtdvCi
vRivdtdvCii
vRiv
s
si
i
ie
22
22
121
11
=
+=
=-
+=
32
Ejemplo
n Circuito eléctrico: entrada ve y salida vs
n Descripción interna (una de las múltiples)
n Variables de estado (las que están derivadas respecto t)
s
i
ss
i
isi
e
vxvx
vdtdvCRv
vdtdvC
dtdvCRv
==
+=
++=
2
1
22
211 )(
33
Ejemplo
Se despejan dvi/dt y dvs/dt en función de vi vs y ve
þýü
=+=
CxyBuAxx!
e
s
s
i
vuvy
vxvx
==
==
2
1
þýü
+=++=
ssi
isie
vvCRvvvCRvCRv
!
!!
22
2111
ïïþ
ïïý
ü
-=
++--=
sis
esii
vCR
vCR
v
vCR
vCR
vCRCR
v
2222
11121112
11
11)11(
!
!
34
Ejemplo
þýü
=+=
CxyBuAxx!
e
s
s
i
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vxvx
==
==
2
1
( )
ïïïïï
þ
ïïïïï
ý
ü
÷÷ø
öççè
æ=
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ø
ö
ççç
è
æ+÷÷ø
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ö
çççç
è
æ
-
--=÷÷
ø
öççè
æ
s
is
es
i
s
i
vv
v
vCRvv
CRCR
CRCRCRvv
10
0
1
11
111
11
2222
121112
!
!
Típicamente D=0 (sistemas estríctamente propios: n>m)
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Relación D. Interna y D. Externa
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Álgebra de Bloquesn Objetivo:
Representar los sistemas como subsistemas interconectados¨ Cada subsistema se representa por un bloque funcional¨ Las señales se representan mediante arcos ¨ Interconexiones son uniones de bloques mediante arcos
n Elementos:¨ Sistema lineal
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Álgebra de bloquesn Bifurcación
n Suma de señales
n Conexión en serie
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Álgebra de Bloquesn Conexión en paralelo
n Realimentación
++_
40
Álgebra de Bloquesn Operaciones de bloques
¨
¨
41
Álgebra de Bloquesn Operaciones de bloques
¨
¨
42
Ejemplo
Sólo se usan integradores y ganancias
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