Caracterización y Modelización de Sistemas Dinámicos no Lineales.

Medidas de Desorden Dinámico y Self-Correlation

Juan A. Hernández Alvarez, Rosa Mª Benito,Juan C. Losada

Grupo de Sistemas Complejos ETSI, Agrónomos

Universidad Politécnica de Madrid

3 de Junio de 2011. FisEs 2011. Barcelona

Objetivo Introducir una nueva metodología para la

caracterización y modelización de sistemas dinámicos basado en la medida de dos características:• Desorden dinámico.

• Self-Correlation.

Indice METODOLOGIA

• Desorden dinámico.• Self-correlation.• Modelización de series temporales.

RESULTADOS• Caracterización de un sistema caótico.• Modelización del tráfico telefónico intercambiado entre

redes de telefonía. COMPARATIVA CON OTRAS MEDIDAS

• Exponente de Lyapunov.• Información Mutua.

Desorden dinámico

Representación de una serie escalar en el espacio de estados

x(t)=x(1),x(2),x(3),...,x(n) x(t)=(x(t),x(t- ))

Producto escalar promediado en todo el espacio de estados

1

1

1P= z(t)V(t)

N- 1

N

t

P=1 V(t) y z(t) son paralelos en todos los entornos.

Todos los entornos tienen dinámica homogénea.

Orden dinámico

“Orden Dinámico”: capacidad de una serie temporal para fluir de forma suave a través de un espacio de estados.

“Producto escalar promedio”: indicador que cuantifica dicho “orden dinámico”.

Self-Correlation

Confinamiento diagonal de series periódicas

x(t)

x(t-T)

3z (t)

2z (t)

1z (t)

1x (t)

2x (t)

3x (t)

Serie temporal periodo T=3

=T

Producto perpendicular promedio

x(t)

x(t- )

3z (t)

2z (t)

1z (t)

2 2( )

2 2i j

1

1

1 2 21 | ( )( ) |

1 2 2

N

t

P z t i jN

1

P

Máxima periodicidad

Self-Correlation

Self-Correlation: Capacidad de una serie temporal para moverse de forma paralela a la diagonal de un espacio de estados.

Producto perpendicular: Indicador que mide dicha capacidad para moverse en diagonal.

Series periódicas y pseudo-periódicas

P ( )=1 T= Serie periódica

P ( ) 1 T Serie pseudo - periódica

Modelización de series

Espectro de correlación de una serie

1 2, ,...,k Nx x x x

Criterio de equilibrio

1

1

j

1

2 2

Cálculo del factor de crecimiento para cada escala temporal

{ ,.., }.n

n

kk nk k

k k

xx

x x

1 2 nSelección de los n predominantes { , ,.., }

Selección del más cercano en valor absoluto a 1.

(mínimo crecimiento/decrecimiento)

jk

Para cada valor de k

Modelo

2

2

ˆ j

j

j

kjk k k

k

xx x

x

elegido para cada k, según el criterio de equilibrio .j

Caracterización de un sistema caótico

RESULTADOS

Sistema bidimensional acoplado

1 1 1

1 1 1

(3 1) (1 )

(3 1) (1 )k k k k

k k k k

x y x x

y x y y

Detección de orden/desorden

ORDEN

DESORDEN

Cálculo de periodos en zonas ordenadas

T=14

Espectro de correlación en zonas de alto orden dinámico

Detección de periodos y pseudo-periodos (zona ordenada)

Espectro de correlación de una serie caótica

predominante

Modelización del tráfico telefónico intercambiado entre

redes de telefonía.

RESULTADOS

Tráfico telefónico intercambiado entre operadores de telefonía.

Pseudo-periodo T=7

a) Tráfico Nacional b)Tráfico Internacional

Modelización de tráfico nacional con taus=7, 14, 21, 28, 35

Modelización de tráfico internacional con taus=7, 14, 21, 28, 35

Comparativa con otras medidasExponente de Lyapunov

Información Mutua

Exponente de Lyapunov e Información Mutua.

El producto perpendicular promedio captura información relevante, que en muchos casos no es detectada por la “Información Mutua”.

El producto escalar promedio introduce un nivel adicional de refinamiento sobre el exponente de Lyapunov.

Referencia principal

Hernández , J.A., Benito, R. M. and Losada, J. C. [2011] “Dynamical Disorder & Self-correlation in the

characterization of nonlinear systems. Application to deterministic chaos”.

Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 21, 963-983.

PREGUNTAS

AnexosExponente de Lyapunov

Información Mutua

Producto escalar promedio vs exponente de Lyapunov

Producto escalar promedio introduce un nivel adicional de refinamiento sobre el exponente de Lyapunov

Producto perpendicular promedio vs Información mutua

Se detecta claramente comportamiento pseudo-periódico donde I.M. no detecta nada