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Tema 4: Sistemas de

Posicionamiento en Exteriores

Dr. Antonio R. Jiménez RuizInstituto de Automática Industrial (CSIC)

E-mail: [email protected]

Curso: Sistemas de Localización y Posicionamiento

Máster Oficial en Sistemas Electrónicos Avanzados. Sistemas Inteligentes.

Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá.Curso 2007/2008

2Tema 4 Sistemas de Posicionamiento en Exteriores

Tabla de contenidos

1. Introducción Histórica

2. Aplicaciones del GPS

3. Los segmentos del GPS

4. Principio de funcionamiento del GPS

5. Las señales: Generación y recepción

6. Las fuentes de error en GPS

7. Métodos de mejora de la precisión en GPS

8. Otras soluciones GNSS

9. Aspectos Prácticos

Referencias



1.1 Preguntas

1.2 La edad de piedra

1.3 La era de las estrellas

1.4 La era de la radio

1.5 La era de LORAN

1.6 La era de los satélites


1. Introducción Histórica1.1 Preguntas

Preguntas tan antiguas como la historia de la mente• ¿Dónde estoy?• ¿Dónde quiero ir?• ¿Cómo llegar a mi destino?

Quién:– Poblaciones nómadas– Animales migratorios– Navegantes, Turistas– Robots, AGV’s,…

Localización y Desplazamiento están íntimamente relacionadas

Localización Desplazamiento

Respuesta al problema de localización:• Diferente en función de la época

Planteamientos conjuntos


1. Introducción Histórica1.2 La edad de piedra

Puntos de referencia, que tenían que identificar y recordar:• Piedras naturales o piedras colocadas a propósito

• Árboles marcados o pintados

• Montañas altas y especialmente sus crestas


1. Introducción Histórica1.3 La era de las estrellas (1/2)

La exploración de los océanos. Únicas referencias visibles:• El Sol

• La Luna

• Las estrellas

Navegación mar adentro en viajes cortos: Manteniendo el rumbo respecto a una o varias referencias

Analizando la disposición geométrica de estrellas que dependia de la ubicación del observador

Es el nacimiento de la Navegación Celeste


1. Introducción Histórica1.3 La era de las estrellas (2/2)

Se inventaron instrumentos ópticos especiales:• Miden ángulos entre las estrellas y el horizonte

• Con tablas pre-calculadas se averigua la posición por triangulación

• P.ej.: Octantes (Quintantes, Sextantes) y Teodolitos

Inconvenientes de Octantes:• Solo latitud (norte-sur) + cronómetro (longitud)

• No muy preciso (error > varios kilómetros)

• Cálculos tediosos y lentos con cartas naveg.• No válido durante el día o noches con nubes

Conclusiones:• Necesidad de:

• Automático, preciso, rápido,operativo 24 h

• Idea: • Medir distancias automát. en vez de ángulos

• Nace la Localización por Radio


1. Introducción Histórica1.4 La era de la radio (1/2)

Medida de Distancia:• Medir tiempo que tarda una señal de radio en viajar de una estación

emisora a otra receptora: TOF (Time of Flight)• Multiplicar por la velocidad de propagación de la señal de radio

(300.000 km/segundo), obtenemos la distancia

Precisión en determinar TOF crítica:• Error de 1 microsegundo en TOF => error de 300 metros• Si precisión de 0.3 metros => limitar error en TOF a 1 nanosegundo

Medida de la posición usando receptor de radio: • 1 estación transmisora A => Posición en cualquier lugar de una

circunferencia


1. Introducción Histórica1.4 La era de la radio (2/2)

• 2 estaciones transmisoras Ay B => posición en intersección de 2 circunferencias (punto P o Q)

• 3 estaciones => Identificamos exactamente dónde estamos

El conjunto de tres o más estaciones trasmisoras utilizadas para obtener la posición se llama cadena.

El receptor, que mide automáticamente la distancia a lostrasmisores y determina la posición X-Y en el plano, se llama Sistemas de Navegación por Radio


1. Introducción Histórica1.5 La era de LORAN

LORAN (LOng RAnge Navigation):• Sist. Naveg. hiperbólico radio desde 1950

• 4 transmisores/cadena (cobertura 800 km)

• Receptor conoce ubicación trasmisores

• Combinación de cadenas => (+) cobertura• Frecuencias distintas en cada cadena (Loran-C: 90-110 kHz)

Limitaciones:• Cobertura 5% superficie de la tierra.

Próximo a puertos. No Global.• X-Y (latitud y longitud). No altura.

• Compromiso Precisión/Cobertura– VHF: (+) Preciso (-) Cobertura

– AM: (-) Preciso (+) Cobertura

Otros similares (hiperbólicos):• Decca y Omega (VLF)


1. Introducción Histórica1.6 La era de los satélites (1/2)

Idea:• Emitir desde el espacio las señales de radio (alta frecuencia)• Colocando varios satélites-trasmisores orbitando sobre la tierra• Cada satélite cubriendo amplias regiones de la Tierra

Desafio: • Medir posición cambiante de los satélites en órbita con precisión

• Atenuar fuentes de error (atmosféricas, doppler, relativistas,…)

• Medir los tiempos absolutos de vuelo entre satélite/receptor

Ventajas:• Aumentar la cobertura

=> cubrir toda la Tierra => Sistema GLOBAL

• Se mide XYZ (latitud, longitud y altitud)


1. Introducción Histórica1.6 La era de los satélites (2/2)

GNSS (Global Navigation Satellite System) desarrollados:• Transit / Tsikada (años 60-70)• GLONASS (URSS)

• NavStar GPS (USA)

• Galileo (Europa) (siglo XXI)

GNSS vs Navegación Celeste:• “Hemos vuelto a mirar al cielo

pero ahora, en vez de a

estrellas, a objetos hechos por

el hombre”

años 80-90


Tabla de contenidos










Referencias



Introducción

2.1. Navegación marítima

2.2. Navegación Aérea

2.3. Navegación Terrestre

2.4. Levantamiento de Mapas

2.5. Usos Militares

2.6. Usos recreativos

2.7. Otras aplicaciones


2. Aplicaciones del GPSIntroducción

Ambos desarrollados para aplicaciones de navegación Durante su invención no se veía todo el enorme potencial de

aplicaciones que se podían cubrir

Analogía

Cronómetro

tiempo

GPS

posición

Amplio espectro de aplicaciones

Tendencia a seguir aumentando


2. Aplicaciones del GPS2.1. Navegación Marítima

Navegación en alta mar Atraque en puertos y navegación por canales ECDIS (Electronic Charting Display) Medir la velocidad (p.ej. enganches red, veleros de competición) Monitorización de rutas de barcos desde estación central Detección posición de icebergs y su comunicación a los barcos Navegación próxima a fronteras internacionales


2. Aplicaciones del GPS2.2. Navegación Aérea

Vuelos transoceánicos: Ineciales + Omega GPS. Supervisión de las posiciones de los aviones en pantalla en una

estación de control o en el propio avión: Evitar Colisiones Aproximación y entrada en pista a aeropuertos: GPS diferencial

+ pseudolitos


2. Aplicaciones del GPS2.3. Navegación Terrestre

Ayudas a la navegación de coches (por carreteras y ciudades localizando el coche sobre un plano digital)

Guiado automático de vehículos (circuitos de prueba)

Control de flotas de vehículos (coches alquiler, taxis,

camiones, ambulancias, bomberos).

• Salvar vidas humanas seleccionando el vehículo de apoyo más próximo

• Mantenimiento horarios autobuses urbanos

Expediciones a lugares inexplorados


2. Aplicaciones del GPS2.4. Levantamiento de Mapas (Surveying)

Indicación de posiciones de interés (georeferencias, construcciones, recogida materiales, ubicación yacimientos, mantenimiento,...)

Mapas de carreteras (moviendo receptor a lo largo de las vías)

Agricultura de precisión (aplicación selectiva de fertilizantes y pesticidas y estudio mediante GIS; guiado avionetas en tratamientos)

Fotogrametría aérea (determinando posición, orientación y escala usando referencias sobre el terreno)

Mapas terrestres (combinando fotos captadas desde posiciones conocidas)


2. Aplicaciones del GPS2.5. Usos Militares y Espaciales

Guiado de misiles / aviones

Avance y orientación de tropas en condiciones adversas (con poca visibilidad: tormentas del desierto, niebla; o en sitios desconocidos y sin referencias visuales)

Lanzamiento y puesta en órbita de satélites / estaciones espaciales


2. Aplicaciones del GPS2.5. Usos Recreativos

Marchas y rutas a pie o bicicleta (seguimiento, creación de las rutas e intercambio)

Yates deportivos (navegación de gente inexperta)

Golf• Determinación de distancias al green o

al hoyo• Movimiento de carros de caddie

siguiendo al golfista

Visitas autoguiadas• En parques de la naturaleza y ciudades

monumentales

• Dando información al usuario al aproximarse a puntos de interés no visitados


2. Aplicaciones del GPS2.6. Otras Aplicaciones

Estudio de poblaciones de animales (ciclos migratorios, comportamientos animales salvajes en peligro,...)

Ayuda a la orientación de personas ciegas (indicando con voz sintetizada por que calle y número de una ciudad se encuentra,...)

Diseminación de tiempos

Análisis de las señales GPS para medir parámetros atmosféricos


Tabla de contenidos










Referencias



Introducción

3.1. Segmento de Espacio

3.2. Segmento de Control

3.3. Segmento de Usuario


3. Los Segmentos del GPSIntroducción

El sistema GPS se puede dividir en tres segmentos:• Segmento espacio: 24 satélites orbitando • Segmento de usuario: Los receptores de mano o embarcados• Segmento de control: 5 estaciones de control de satélites


3. Los Segmentos del GPS3.1. El Segmento Espacio (1/5)

24 Satélites orbitando circularmente a:• 20.200 km de la superficie

• 26.560 km del centro de masa (e<0.01)

6 Órbitas con 4 satélites cada una• Espaciadas 60º sobre ecuador• Inclinadas 55º respecto plano ecuatorial

Tiempo de órbita: 11h:58’ Se ven 5-8 satélites a la vez casi

siempre desde cualquier sitio de la Tierra 4 Relojes Atómicos por satélite:

• Atraso de 1 seg. X 1 millón años



Proyección de las órbitas en un plano

Planos orbitales inclinados 55º

Orbitas separadas 60º



Rastro de los satélites sobre el globo



Tipos de Satélites:• Block I:

– Satélites prototipo para validar el concepto de GPS

• Block II/IIA:– Mejora protecciones rayos cósmicos (afectaban a RAM)– Se añadieron por seguridad SA y AS

Satélite Block IIDelta IILanzado

7.5 añosVida

2 Cesio + 2 rubidioRelojes

1783.74 MHzRecibe

1575.42+1227.60 MHzTransmite

4 km/sVelocidad

5.1 metrosTamaño

930 kg (en órbita)Peso

• Block IIR/IIF:– AutoNav: Comunicación entre satélites para mantener su

efemérides y reloj durante 180 días. Mayor autonomía



Fases de lanzamiento:• 10 satélites Block I desde 1978• 24 satélites Block II desde 1989

hasta 1994 (24 h. operativo)• Reposición

– [1997-2002]: Block IIR– [2003- ]:Block IIF

Renovación continua de satélites:


3. Los Segmentos del GPS3.2. El Segmento de Control (1/2)

Consta de:• 5 estaciones fijas que monitorizan y siguen los satélites:

– 1) Oceano Pacifico (Hawai)– 2) Pacífico (Kwajalein) – 5) Estación central de la base aérea de Schriever/Falcon en Colorado Springs

• 4 Antenas para mandar información a los satélites

–3) Océano Indico (Diego García) –4) Océano Atlantico (Isla de Ascensión)


3. Los Segmentos del GPS3.2. El Segmento de Control (2/2)

Modo de operación:• Se miden las señales L1,L2 de

cada uno de los satélites

• Se mandan todos los datos a la estación central, donde

– Se estiman la ubicaciones y órbitas de los satélites

– Se estiman errores de reloj

• Mediante las antenas (banda S) se envian:

– Efemétides

– Reloj– Parámetros de control por si

hay que reposicionar los satélites


3. Los Segmentos del GPS3.3. El Segmento de Usuario (1/1)

Son los Receptores que:• Detectan, Decodifican y Procesan las señales L1

y L2 del GPS• Miden Posición, Velocidad, Tiempo

• Cuatro satélites son necesarios para medir

Características:• Dos Tipos de Servicios:

– SPS (Standard Positioning Service): Código C/A –Coarse/Clear Access

• Precisiones X-Y:100 m, Z:156 m (con SA)• Precisiones X-Y:25 m, Z:43 m (sin SA)

– PPS (Precise “ “ ): Código P(Y)-Precise/Protected

• Precisiones de X-Y:22 m, Z:27 m

• Capacidad precisión mejorada:– DGPS, INMARSAT, portadora, 2 frecuencias

• Interfases:– Gráficos con usuario, mapas, waypoints– Hardware con PC’s o sensores extra (inerciales)


Tabla de contenidos










Referencias



4.1. Trilateración

4.2. Sistemas de Referencia

4.3. Las órbitas y posición de los satélites

4.4. Determinando la Distancia: Pseudorango

4.5. Posición del Usuario usando Pseudorangos

4.6. Velocidad del Usuario

4.7. Transformación Coordenadas y Modelo de la Tierra


4. Principio de funcionamiento del GPS4.1. Trilateración (1/2)

Def.: “Método para medir posición a partir de distancias” Medimos distancia:

– Si sabemos que estamos a una distancia de un satélite j => podemos estar en cualquier punto de la superficie de la esfera

– Matemáticamente:

2222)()()( sjusjusjuj zzyyxxr −+−+−=

j

sjsjsjj

uuu

r

zyx

zyx

),,(

),,(

=

=

s

u

Rango entre usuario y satélite j

Vector de posición del satélite j

Vector de posición del usuario

jr

Incógnita

Conocido

Midiendo distancia a dos satélites:– Generamos la intersección de dos

esferas que cortan en general en una circunferencia (o perímetro de un círculo)


4. Principio de funcionamiento del GPS4.1. Trilateración (2/2)

Midiendo distancia a tres satélites:– La tercera esfera intersecta la circunferencia en dos puntos– Uno de esos dos puntos es la posición real del usuario

−+−+−=

++−=

++=

2

3

2

3

2

3

2

3

222

2

2

2

2222

1

)()()(

)()()(

)()()(

sususu

uusu

uuu

zzyyxxr

zyxxr

zyxr

−−±=

−++−=

+−=

222

1

3

3

2

3

2

3

2

3

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

uuu

s

usssu

s

su

zxry

z

xxzxrrz

x

xrrx

Planteando las tres ecuaciones de las esferas (ubicando los satélites en para simplificar el desarrollo) tenemos:

Cuya solución algebraica es

0,0,0,0,0 22111 ===== sssss zyzyx

Que como vemos tiene solución doble

Para un usuario en la superficie de la Tierra, la solución con una altura menor será la válida

Pero ¿Donde situamos el origen y el sistema de coordenadas?...


4. Principio de funcionamiento del GPS4.2. Sistemas de referencia (1/4)

Sistema ECEF (Earth-Centered Earth-Fixed) o Terrestre• Sistema solidario a la Tierra, con origen (0,0,0) en centro de masas• El eje Z pasa por el eje de rotación de la Tierra en “promedio” (CTP)

– Se hace así pues el eje de rotación (o polo) no es constante y se mueve unos 15 m realizando circulos => se usa un promedio (CTP-convetional Terrestial Pole)

• El plano ecuatorial es el normal al eje Z pasado por el centro de masas

• El eje X definido por interseción de plano ecuatorial y meridiano de referencia (Mean Greenwich Meridian)

• El Eje Y normal al X y Z (según regla mano derecha)• Muy adecuado para definir la posición del usuario y los satélites


4. Principio de funcionamiento del GPS4.2. Sistemas de referencia (2/4)

Sistema ECI (Earth-Centered Inertial) o Inercial• Necesario para formular el movimiento de satélites sobre la Tierra

expresando las fuerzas, aceleraciones, velocidades y posiciones– Las posiciones predichas en ECI se trasforman en ECEF para su uso en el GPS

mediante una transformación dependiente del tiempo (tres rotaciones)

• El origen está en el centro de masas de la Tierra (inercial en cortos periodos)

• El eje Z pasa por el eje de rotación “real” de la Tierra (CEP)• El eje X va del centro de masas por el plano ecuatorial al Equinocio Vernal*

* Dirección interseccion plano ecuatorial de la Tierra con plano de la órbita de la Tierra alrededor del Sol

• Pero: – Plano ecuatorial se mueve =>

Equinocio Vernal también => eje X tiene derivas

• Solución:– Definir la orientación de los ejes

en un instante de tiempo dado– ECI usa orientación del plano

ecuatorial a: 12:00h, 1 de Enero de 2000

¿También hay referencias temporales especiales para GPS?...


4. Principio de funcionamiento del GPS4.2. Sistemas de referencia: tiempo GPS (3/4)

Necesidades:• Sincronizar señales emitidas (instantes de tiempo o Epochs) y

medir tiempos de propagación (intervalos)

• Con gran precisión (1 us => 300 m error)

Métodos de medida tiempo:• Observar un proceso periódico y contar los ciclos => reloj

• Precisión depende de: bias y deriva en frecuencia

• Ejemplos:– Rotación de la Tierra alrededor del Sol => año

– Rotación de la Tierra alrededor de si misma => segundo• día Solar (24h) => 1 s=día_solar/86400 => GMT (Greenwich Mean Time)

• día Sideral (23h:56’) => dia_sideral/2=11h:58’ periodo de giro de satélites

– Frecuencia de resonancia del átomo de Cesio => segundo• 1 s = 9.192.631.770 periodos en una transición en átomo de Cesio• Surge el UTC (Universal Time Coordinate)

– Usa una red de relojes atómicos (TAI) y los re-calibra en base a la rotación de la Tierra y observaciones astronómicas, con correciones de +/- 1 s

¿Y qué base de tiempos usa el GPS finalmente?...


4. Principio de funcionamiento del GPS4.2. Sistemas de referencia: tiempo GPS (4/4)

GPS Time (GPST):• Parecido a UTC pero:

– Es continuo (sin saltos por reajustes de +/- 1 s)– Tiempo Real (no depende de observaciones astronómicas)– GPST sigue continuamente a UTC dentro de 1 us modulo 1 s

• Es decir usa los relojes atómicos mundiales que usa UTC pero no hace caso de los reajustes astronómicos

• GPST≈UTC+13 s (1 Enero de 2001)

• Un instante de tiempo en GPST (Epoch):– Numero de semana (mod 1024) + segundos trascurridos en la semana– Empezo a las 24h del 5 Enero de 1980 (Medianoche de Sábado a

Domingo) => Todos los sábados a las 24h cambia el nº de la semana

• El segmento control monitoriza el bias “reloj del satélite GPST“ => bias mandado al satélite y retrasmitido en mensaje navegación

Pero para hacer trilateración debo saber donde están los satélites¿Cómo lo se con exactitud si no paran de moverse en sus órbitas?...


4. Principio de funcionamiento del GPS4.3. Las órbitas y posición de los satélites (1/8)

Objetivo:Conocer exactamente la posición de los satélites

-0.296182Right ascension @ ref time (rad)

0.95469Inclination angle (rad)

0.000145862Corrected Mean Motion (rad/sec)

2.65594E+07Semi-Major Axis (meters)

466944Reference time almanac

7.63976E-11Clock correction term 2

0.000148773Clock correction term 1

5153.58Sqrt semi-major axis (m^1/2)

-8.01176E-09Rate right ascension (rad/sec)

-1.31888Argument of Perigee (rad)

2.79387Mean Anomaly @ ref time (rad)

0.00388718Corr: inclination angle (rad)

0.00346661Eccentricity

797Reference Week of Almanac

0Health of SV

1PRN number for data

1ALMANAC FOR SATELLITE:

Decoded from Subframes 4 and 5 of GPS Data Bit Frames

GPS usa el Enfoque B• La Efemérides que describe la

órbita se desglosa en:– Almanaque (información aprox.):

– Para funciones de inicialización rápida del receptor y gestión de satélites visibles

– Efemérides (información precisa):– Para localizar con gran precisión

al satélite

Enfoques:• A) Enviar continuamente la posición

actual (x,y,z-ECEF) del satélite

• B) Enviar descripción de la órbita (Efemérides) con poca frecuencia

– El receptor interpreta descripción y deduce posición actual (x,y,z-ECEF)



Descripción física de las órbitas:• Leyes de Kepler:

– 1. La órbita es una elipse– 2. El satélite en su movimiento

respecto a la Tierra barre “el mismoarea en el mismo tiempo” en cualquier parte de su órbita

– 3. Igualdad de relaciones cuadráticas de “periodo orbital” y relaciones cúbicas de “semi-eje mayor”

• Ley de Gravitación de Newton:

dVdt

d

sdt

d

s

mMGm

as

ss

saF

+∇=

−=

−=⋅=

2

2

32

2

3

µ238 sec/103986005 mMG ×=⋅=µ

V∇donde Potencial gravitatorio verdadero, y incluye gravedad de Luna y Sol, presión Solar de fotones radiados, redistribuciones de masa por mareas

Considerando la Tierra un punto ideal, donde

da

3

2

3

1

2

2

2

1

a

a

T

T=



Parametrización de la órbita:

• A) Usando vectores posición y velocidad– Conocido y en t0 => podemos

conocer los vectores en cualquier instante t

– No solución analítica (métodos iterativos)

• B) Usando 6 parámetros de movimiento y un tiempo – Aplicable al caso ideal

– En el caso real los seis parámetros no serán constantes => añadir como cambian en el tiempo y el periodo de aplicabilidad

GPS usa método B

),,()( 0 sjsjsjj zyxt &&&& =s),,()( 0 sjsjsjj zyxt =s

)(tjs )(tjs&

dVdt

da

s+∇=

2

2

ss

32

2

sdt

d µ−=



Definición de los parámetros:• Tiempo de Epoch (cuando el satélite está en la posición A)

• 3 parámetros que dan la forma de la órbita y ubicación del satélite:– Semi-eje mayor de la elipse

– Excentricidad de la elipse– “True Anomaly” “Mean Anomaly”

et0

a

aaee =

0Mν



Definición de parámetros (cont.):• 3 parámetros definiendo la

orientación de la órbita– Inclinación : ángulo entre plano

ecuatorial Terrestre y plano orbital– Longitud nodo ascensión : ángulo

en plano ecuatorial cuando plano orbital cruza al ecuatorial con componente +z de velocidad

– Argumento del Perigeo : ángulo en plano orbital desde el nodo ascendente a la dirección del perigeo de la órbita

• 9 parámetros de correción:– Ajustan los 6 parámetros anteriores

entre los periodos de actualización de las efemérides. p.ej:

i

Ω

w

dt

diΩ&Cambio del ángulo de inclinación Cambio de longitud del nodo de ascensión



Los parámetros completos definiendo las órbitas son:

9 parámetros decorrección

6 parámetros fundamentales

¿Cómo se mandan estos datos?...



La Efemérides se manda dentro de los “Datos de Navegación”• Información trasmitida de cada satélite al receptor GPS (tasa 50 bits/s)• Cada 30’’ se manda 1 Frame con 5 Subframes (300 bits):

– Subframe 1: Correciones de reloj del satélite, salud, edad de datos– Subframe 2-3: Efemerides del Satélite– Subframe 4-5: Una fraccion (1/25) del Almanaque de todos los satélites y

parámetros de modelos de la ionosfera• Trascurridos 12.5’ se completan los 25 Frames (y se actualiza Almanaque)



Algoritmo cálculo de a partir de efemérides:),,()( sss zyxt =s

Pero ¿Cómo mido ahora la distancia entre uno de los satélites y el usuario?...


4. Principio de funcionamiento del GPS4.4. Determinando la Distancia: Pseudorango (1/2)

Caso Ideal: Satélite y Receptor GPS perfectamente sincronizados• Tiempo universal, del satélite y receptor son iguales• El receptor genera continuamente un código C/A simulando lo que hace el

satélite en tiempo real• Al mismo tiempo el receptor recibe por la antena el código C/A transmitido

con un cierto retardo.

• El TOF se obtine desplazando un tren de códigos sobre el otro hasta obtener la máxima correlación. Ese desplazamiento es el TOF.


4. Principio de funcionamiento del GPS4.4. Determinando la Distancia: Pseudorango (2/2)

Caso Real: Ausencia de sincronismo• El rango calculado en el receptor se conoce como pseudorango, , ya que

contiene:– La distancia geométrica o rango real: – Error en tiempo entre tiempo universal y reloj receptor: – Error en tiempo entre tiempo universal y reloj del satélite:

tcTTcr su ∆⋅=−= )(

ut

tδ

c

tT

tT

T

T

uu

s

u

s

+

+δ

Velocidad de la luz: 300.000km/s

Tiempo en que se recibió la señal según reloj receptor

Tiempo en que se generó la señal según reloj de Satélite

Tiempo de Sistema en que se recibió la señal en receptor

Tiempo de Sistema en que se generó la señal en el satélite

ρ

)()()()]()[( ttcrttcTTctTtTc uususuu δδδρ −+=−+−=+−+=

)( ttcr u δρ −+= Aunque (< 1mseg) es conocido mediante la efemérides, pero no

tδ

ut


4. Principio de funcionamiento del GPS4.5. Posición del Usuario usando Pseudorangos (1/6)

Ejemplo cálculo de posición en:• Caso ideal (sincronismo)

– En un punto cortan 3

• Error sincronismo en receptor– Tres puntos con 2 cortes

Conclusión:• Si =>

aumenta la incertidumbre en el posicionamiento

0>ut



Objetivo: Calcular posición del usuario y el error de sincronismo

jj

j

sjsjsjj

uuu

r

zyx

zyx

r

r

s

u

=

=

=

),,(

),,(

Vector del satélite j al usuario

Rango ideal o verdadero

Vector de posición del satélite j

Vector de posición del usuario

Con ellos se plantea un sistema de ecuaciones, que representa el corte en la posición del usuario de varias esferas centradas en los satélites

),,( uuu zyx=u ut

uusjusjusjj

ujujj

tczzyyxx

tcrtc

⋅+−+−+−=

⋅+=⋅+=

222 )()()(ρ

ρ r

Definimos los vectores de posición de los satélites y del usuario (incógnita) referidos a ECEF:

donde j = 1..4 (o más)

jρ Se necesitan al menos 4 medidas de pseudorango, , a satélites

Para resolverlo, primeramente linealizaremos las ecuaciones respecto a los términos desconocidos, usando series de Taylor, y posteriormente se buscará una solución de forma iterativa partiendo de una posición de usuario aproximada :

Somos conscientes que estamos simplificando al no tener en cuenta: rotación de la Tierra durante la emisión de la señal, retardos añadidos debido a la atmósfera, o efectos relativistas (ver sección 6: “fuentes de error”)



Linealización de las ecuaciones Si sabemos aproximadamente donde está la posición del usuario, , podemos calcular la posición del usuario real, , (análogo para el sincronismo) mediante esta expresión:

)ˆ,ˆ,ˆ( uuu zyx),,( uuu zyx

),,,()()()(

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(ˆ)ˆ()ˆ()ˆ(ˆ

222

222

uuuuuusjusjusjj

uuuuuusjusjusjj

tzyxftczzyyxx

tzyxftczzyyxx

=⋅+−+−+−=

=⋅+−+−+−=

ρ

ρ

Ahora podemos hacer una linealización usando series de Taylor:

Los pseudorangos aproximados y medidos, que definen la función f son:

K+∆⋅∂

∂+∆⋅

∂

∂+

+∆⋅∂

∂+∆⋅

∂

∂+=

=∆+∆+∆+∆+=

u

u

uuuuu

u

uuuu

u

u

uuuuu

u

uuuuuuuu

uuuuuuuuuuuu

tt

tzyxfz

z

tzyxf

yy

tzyxfx

x

tzyxftzyxf

ttzzyyxxftzyxf

ˆ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(

ˆ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(

ˆ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(

ˆ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ()ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(),,,(

=∂

∂

−−=

∂

∂

−−=

∂

∂

−−=

∂

∂

ct

tzyxf

r

zz

z

tzyxf

r

yy

y

tzyxf

r

xx

x

tzyxf

u

uuuu

j

usj

u

uuuu

j

usj

u

uuuu

j

usj

u

uuuu

ˆ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(

ˆ

ˆ

ˆ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(

ˆ

ˆ

ˆ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(

ˆ

ˆ

ˆ

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(

222)ˆ()ˆ()ˆ(ˆ

usjusjusjj zzyyxxr −+−+−=

uu

j

usj

u

j

usj

u

j

usj

jj tczr

zzy

r

yyx

r

xx∆+∆

−−∆

−−∆

−−=

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆρρ

donde es el rango ideal desde la ubicación aproximada del usuario

Con lo cual obtenemos la ecuación linealizada que relaciona elpseudorango medido e inventado, la posición de los satélites, el rango a los satélites, la posición del usuario inventada, con el incremento de posición para obtener la posición verdadera del usuario

),,,()ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(),,,( uuuuuuuuuuuu tzyxtzyxtzyx ∆∆∆∆+= Incógnitas



Despejando las incognitas:

uu

j

usj

u

j

usj

u

j

usj

jj tczr

zzy

r

yyx

r

xx∆+∆

−−∆

−−∆

−−=

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆρρ

−=

−=

−=

−=∆

j

usj

zsj

j

usj

ysj

j

usj

xsj

jj

r

zza

r

yya

r

xxa

j

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ρρρ Reagrupando términos…

e introduciendo estas nuevas variables:

tenemos..

donde hay cuatro incógnitas que pueden resolverse haciendo cuatro medidas de distancia a satélites, resolviendo este sistema lineal de ecuaciones:

∆−∆+∆+∆=∆

∆−∆+∆+∆=∆

∆−∆+∆+∆=∆

∆−∆+∆+∆=∆

uuzsuysuxs

uuzsuysuxs

uuzsuysuxs

uuzsuysuxs

tczayaxa

tczayaxa

tczayaxa

tczayaxa

4444

3333

2222

1111

ρ

ρ

ρ

ρ

uuzsjuysjuxsjj tczayaxa ∆−∆+∆+∆=∆ρ

∆−

∆

∆

∆

=∆

=

∆

∆

∆

∆

=∆

u

u

u

u

zsysxs

zsysxs

zsysxs

zsysxs

tc

z

y

x

aaa

aaa

aaa

aaa

xHρ

1

1

1

1

444

333

222

111

4

3

2

1

ρ

ρ

ρ

ρ

xHρ ∆⋅=∆ ρHx ∆⋅=∆ −1

( ) ρHHHx ∆⋅⋅=∆− TT 1 En el caso de utilizar más de 4 satélites, la solución se obtiene por mínimos

cuadrados, minimizando una función de coste con la suma de los cuadrados de los residuos, cuya solución queda así:

y la solución es:que de forma matricial queda…

Una vez obtenida la solución de los incrementos, calculamos la posición del usuario, y el error de sincronismo, mediante: ),,,()ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(),,,( uuuuuuuuuuuu tzyxtzyxtzyx ∆∆∆∆+=

Iterativamente, sustituyendo por se aplica de nuevo hasta que los incrementos sean suficientemente pequeños

)ˆ,ˆ,ˆ,ˆ( uuuu tzyx),,,( uuuu tzyx



Interpretación de H:

=

=

1

1

1

1

1

1

1

1

4

3

2

1

444

333

222

111

s

s

s

s

zsysxs

zsysxs

zsysxs

zsysxs

aaa

aaa

aaa

aaa

a

a

a

a

H

−=

−=

−=

j

usj

zsj

j

usj

ysj

j

usj

xsj

r

zza

r

yya

r

xxa

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

( )zsjysjxsjsj aaa ,,=a

Estos términos…

representan las proyecciones en x, y, z de la distancia entre el satélite j y la posición del usuario aproximada (todos normalizados por dicha distancia)O dicho de otro modo: son los cosenos directores del vector unitario que con origen en la posición aproximada del usuario apunta al satélite j

El vector unitario que apunta al satélite j es:

Por tanto la matriz H engloba en cada una de sus filas los vectores unitarios a cada uno de los satélites visibles

La matriz H nos da una indicación de: La fiabilidad de la estimación de la posición para un conjunto dado de satélites visibles en el cielo desde el receptor (error geométrico DOP que depende de ubicación de satélites) Propagación de los errores de los pseudorangos a las estimaciones de posición del usuario: Utilizando más de cuatro satélites (configuración redundante) se consigue modificar H y por tanto que los errores en los pseudorangos se propaguen menos a la medida de posición

ρεHε1−=x



Ejemplo:

4

3

2

1

j

6069947.224-21425358.24-14799931.3957

20378551.047-3069625.56116680243.35731

11917038.105-23287906.465-2304058.53427

13512272.387-16649826.22215524471.17515

Coordenadas en ECEF Satélite

742.205961754.283098500.133930971.89491 4321 ==== ρρρρ

3230000ˆ5440000ˆ730000ˆ =−=−= uuu zyx

),,( sjsjsj zyx

222 )ˆ()ˆ()ˆ(ˆusjusjusjj zzyyxxr −+−+−=

−=

−=

−=

j

usj

zsj

j

usj

ysj

j

usj

xsj

r

zza

r

yya

r

xxa

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ρHx ∆⋅=∆ −1

−

−

=∆

997.12345

286.1193

932.3791

496.3186

x

),,,()ˆ,ˆ,ˆ,ˆ(),,,( uuuuuuuuuuuu tzyxtzyxtzyx ∆∆∆∆+= )997.12345,286.3231193,932.5443791,496.733186(),,,( −−=uuuu tzyx

1) Conozco:

1.1) Las coordenadas de los satélites:

1.2) Los pseudorangos:

1.3) La posición del receptor aproximada:

2) Por cada satélite j=1..4 calculo los vectores unitarios apuntando al satélite mediante:

3) Obtengo las correcciones de posición de receptor:

4) Finalmente aplico las correcciones a la posición de receptor:

( )zsjysjxsjsj aaa ,,=a

=

1

1

1

1

4

3

2

1

s

s

s

s

a

a

a

a

H jjj ρρρ −=∆ ˆ

5) Mientras las correciones sean significativas ir al paso 2,haciendo antes la asignación:

),,,()ˆ,ˆ,ˆ,ˆ( uuuuuuuu tzyxtzyx =


4. Principio de funcionamiento del GPS4.6. Velocidad del Usuario (1/2)

Método básico:

Método Doppler:

),,(

),,(

sjsjsjj

uuu

zyx

zyx

&&&&

&&&&

=

=

s

u

Vector de velocidades del satélite j

Vector de velocidades del usuario

12

12 )()(

tt

tt

dt

d

−

−≈=

uuuu&

1) Conozco:

1.1) La velocidad de satélites por efemérides: ),,( sjsjsjj zyx &&&& =s

),,( uuu zyx &&&& =u

Frecuencia recibida del satelite j(Ecuación Doppler)

Velocidad relativa Satélite-Usuario

Frecuencia trasmitida (L1)

usr

ar

&&&

&

−=

⋅−=

jj

jj

TRj

T

cff

f

1

1.2) La frecuencia trasmitida de portadora: 1575.42 MHzTf

1.3) El vector unitario apuntando al satélite jja

2) Deduzco a partir de la Ecuación Doppler

jf

⋅−

−=c

ffjj

TRj

aus )(1

&&

Objetivo: Averiguar y la deriva del reloj del receptorut&

1.4) Frecuencia medida en receptor

y de la relación:)1( u

Rj

jt

ff

&+=

T

uj

jjj

T

Tj

f

tcf

f

ffc &

&& −⋅=⋅+−

auas)(

y expandiendo el producto vectorial…

O.K. si velocidad cte

Si reloj se adelanta => la frecuencia medida menor0>ut& jf


4. Principio de funcionamiento del GPS4.6. Velocidad del Usuario (2/2)

Método Doppler (cont)

T

uj

zsjuysjuxsjuzsjsjysjsjxsjsj

T

Tj

f

tcfazayaxazayax

f

ffc &

&&&&&& −++=+++− )(

=

=

=

),,(

),,(

),,(

zsjysjxsjsj

sjsjsjj

uuu

aaa

zyx

zyx

a

s

u

&&&&

&&&&

donde

la expresión expandida multiplicando los vectores es

Introducimos la nueva variable que recoge los términos conocidos a la izquierda jd

la expresión queda simplificada

zsjsjysjsjxsjsj

T

Tj

j azayaxf

ffcd &&& +++

−=

)(

uzsjuysjuxsjuj tcazayaxd &&&& −++=

…y asumiendo que… 1≈T

j

f

f

Tenemos cuatro incógnitas que se obtienen con 4 ecuaciones al emplear 4 satélites ),,,( uuuu tzyx &&&&

−

=

=

=

u

u

u

u

zsysxs

zsysxs

zsysxs

zsysxs

tc

z

y

x

aaa

aaa

aaa

aaa

d

d

d

d

&

&

&

&

gHd

1

1

1

1

444

333

222

111

4

3

2

1

gHd ⋅=

dHg1 ⋅= −

La solución final es

donde se vé que la precisión en la determinación de la posición depende la precisión en medir la frecuencia en recepción, , la velocidad del satélite, , y la posición del usuario respecto a los satélitesjs& jajf

Siendo H la misma matriz utilizada antes para estimar la posición


4. Principio de funcionamiento del GPS4.7. Transf. Coordenadas y Modelo de la Tierra (1/5)

Objetivo:• Poder transformar las coordenadas de posición en ECEF a

coordenadas de Latitud-Longitud-Altura (h)

• Conversión de Altura Elipsoidal (h) a Altura geodésica (H)

Modelos de la Tierra:• Planos

– Zonas locales < 10 km. Curvatura despreciable

• Esféricos– Navegación corto alcance:

VOR

• Elipsoidales– Navegación largo alcance:

Loran-C y GPS



Ejemplos de modelos elipsoidales (Datum)

GPS

a )/(/1 baaf −=



Algoritmo conversión ECEF a Longitud ( )–Latitud ( )–altura ( )φλ h

−≈

⋅⋅−

⋅⋅+≈

=

)(cos

cos

sinarctan

),(2arctan

32

32'

φφ

θ

θφ

λ

Np

h

aep

bez

xy

u

uu

2

222'22

arctanb

bae

bp

azxyp uuu

−=

⋅

⋅=+= θ

22 2 ffea

baf −=

−=

φφ

22 sin1)(

e

aN

−=

donde

radio de curvatura

+−=

+=

+=

φ

λφ

λφ

sin])1([

sincos)(

coscos)(

2 heNz

hNy

hNx

u

u

u

λ

φh

),,( uuu zyx=u

Excentricidadsecundaria

Algoritmo inverso:

Algoritmo directo:

(aproximación con 1 cm de error)



La Geoide: • Superficie irregular, normal al campo gravitatorio (nivelada) y equipotencial

(misma g) que conincide con el nivel medio del mar en los océanos

HhN −=

N

h

H

Separación geoide-elipse o altura de geoide

Altura elipsoidal (GPS)

Altura clásica (ortométrica)



Conversión de h (altura GPS) a H (altura geodésica)

NhH −=

N

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