tema 4 geometría teoría
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Geometría. Teoría
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TEMA 4 Matemáticas
Geometría. Teoría
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La Geometría trata sobre las formas y sus propiedades. A su vez, se puede dividir en:
Geometría plana: trata de las figuras en el plano, (dos dimensiones)
Geometría tridimensional: trata de figuras en el espacio (tres dimensiones)
1.- Triángulos
Un triángulo es un polígono con tres lados.
Propiedades de los triángulos
Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
1.1. El teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos (580-495 a.C.) fue un filósofo y matemático griego que contribuyó de manera
significativa al avance de las matemáticas. Encontró la relación que existe entre las medidas de los
lados de los triángulos rectángulos, es lo que se conoce como teorema de Pitágoras.
En un triángulo rectángulo, se llama hipotenusa al lado mayor (que es el opuesto al ángulo recto)
y cateto a cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto.
El teorema de Pitágoras establece una relación entre las medidas de los lados de los triángulos
rectángulos, de manera que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
demostración del teorema de Pitágoras.
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Ejemplo: Longitud de un lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos lados: si un
cateto de un triángulo rectángulo mide 3 cm y la hipotenusa, 5 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?
Sabemos que, por Pitágoras, el valor de un lado de un triángulo respecto a los otros dos es:
En nuestro caso, si c = 3 cm y a = 5 cm, entonces tendremos:
Respuesta: el otro cateto mide 4 cm.
1.2 Teorema de Tales
Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Ejemplo
1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
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Las aplicaciones del teorema de Tales El teorema de Tales permite dividir un segmento en partes iguales, dividirlo en partes
proporcionales y medir longitudes inalcanzables.
La división de un segmento en partes proporcionales El teorema de Tales nos permite dividir un segmento en partes proporcionales.
Si queremos dividir, por ejemplo, un segmento AB en partes proporcionales de tres a uno,
seguimos estos pasos:
1. Trazamos una recta auxiliar a partir de uno de los extremos del segmento, por ejemplo, de A.
2. Con la ayuda de un compás o una regla, sobre la recta auxiliar marcamos dos segmentos, de
manera que el primero sea tres veces mayor que el segundo.
3. Unimos el extremo de la última división con B y marcamos una paralela a esta recta por la otra
marca de la recta auxiliar.
Los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los de la recta
auxiliar.
División de un segmento AB en partes proporcionales
1.3.- Los triángulos semejantes
Decimos que dos triángulos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionales y sus
ángulos son iguales.
Si sus lados son proporcionales, se han de cumplir estas proporciones:
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Si los triángulos son semejantes, se han de cumplir estas igualdades entre los ángulos:
Aplicaciones de la semejanza
La semejanza de figuras, en especial la de triángulos, nos ayuda a resolver numerosos problemas
originados en situaciones cotidianas como:
El cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra.
El cálculo de la altura de un objeto vertical con un espejo.
Vamos a resolver un caso de imagen reflejada, para ilustrar la aplicación de la semejanza.
Rosa ve reflejada en un espejo la parte más alta de un edificio. La altura de sus ojos desde el suelo
es de 1,6 m y el espejo se encuentra a una distancia de 3 m de sus pies y a 15,6 m del
edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?.
Para resolver este problema, hacemos primero un esquema con todos los valores:
Observamos que los dos triángulos son semejantes y, por tanto, sus lados son proporcionales. Escribimos
las relaciones de proporcionalidad derivadas de la semejanza entre los dos triángulos:
3. Cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un
cuadrilátero es igual a 360°.
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Clasificación de cuadriláteros
1 Paralelogramos: Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
2 Trapecios: Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:
T. rectángulo T. Isósceles T. escaleno
Trapezoides
Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.
Áreas de polígonos
Las unidades de área más comunes son cm2 o m2. En la siguiente figura se recogen las formulas de
los polígonos más comunes.
Recuerda que el perímetro de un polígono es la suma de todos sus lados.
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4.- Las figuras semejantes
Para introducirnos en el tema, un buen inicio es buscar algún ejemplo en nuestro entorno donde
el concepto de semejanza esté presente. Fíjate en estas imágenes:
Las ampliaciones y las reducciones de fotografías son un ejemplo de semejanza.
Las ampliaciones o reducciones de fotografías, fotocopias, etc. son magníficos ejemplos de
realización de figuras semejantes. Las denominamos semejantes porque dichas figuras mantienen
la misma forma y solo se diferencian en su tamaño.
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La razón de semejanza En relación a las figuras semejantes, se llama razón de semejanza al cociente entre la longitud de
un segmento de una figura y la longitud de su segmento correspondiente u homólogo en la otra
figura.
Observa la siguiente imagen:
Comprobamos que todos los segmentos de la figura de la derecha mantienen la misma relación
de proporcionalidad con sus homólogos de la otra figura. La razón de semejanza es la siguiente:
Los segmentos de la segunda figura son dos veces más grandes que sus homólogos de la primera
figura.
• Si 0 < k < 1, la figura será una reducción de la original.
• Si k > 1, la figura será una ampliación de la original.
Las escalas La semejanza de figuras nos permite hacer representaciones de objetos reales a un tamaño más
grande, las ampliaciones, o más pequeño, las reducciones. En estos casos, la razón de semejanza
recibe el nombre de escala.
Las escalas pueden ser:
• Numéricas: se expresan en forma de cociente x : y, donde:
x representa las unidades medidas sobre la representación.
y representa la medida correspondiente al objeto real.
• Gráficas: se representan las distancias reales sobre un segmento graduado.
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La escala Cuando realizamos una representación de un objeto real a un tamaño más grande, el factor de
escala se denomina escala de ampliación. En estos casos, el denominador en la escala numérica es
1 (por ejemplo, 2:1, 5:1, etc.).
ejemplo: dos escuelas están a una distancia de 2 km. Si en un plano se representan
a una distancia de 0,5 m, ¿qué escala se ha utilizado?.
Respuesta: la escala de plano es 1:4.000.
5.- Circulo
Recuerda
La longitud de una circunferencia es igual a 2 •π • r,
donde r es el radio.
El área de un circulo es π • r2
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Los elementos de superficie relacionados con el círculo son:
El sector circular: es una superficie del círculo comprendida entre dos radios y el arco que va
entre ellos. Dos casos particulares de sector circular son:
El semicírculo: que es medio círculo, cuando el arco es de 180°.
El cuadrante: que es la cuarta parte del círculo, cuando el arco es de 90°.
El segmento circular: es la superficie del círculo comprendida entre una cuerda y su arco. Un
caso particular de segmento circular es el semicírculo, que es medio círculo, cuando el arco es
de 180°. Por lo tanto, cuando n = 180°:
La cuerda es el diámetro.
El segmento circular coincide con el sector circular.
La corona circular: es la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Las
áreas son:
6.- Los poliedros
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales limitados por caras planas de forma
poligonal.
Observa lo siguiente:
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Los elementos de un poliedro son:
Las caras: cada uno de los polígonos que limitan el poliedro. Pueden ser triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
Las aristas: los segmentos rectos que forman dos caras cuando se cortan entre sí.
Los vértices: los puntos donde concurren tres o más aristas.
Las diagonales: los segmentos que unen dos vértices que no están situados en la misma arista.
1.1. Prismas
Los prismas son poliedros irregulares que tienen dos caras que son polígonos iguales y paralelos
entre sí, y el resto de caras son paralelogramos.
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Según como sean los polígonos que forman las bases:
En función del tipo de polígonos que forman la base, los prismas pueden ser triangulares,
cuadrangulares, etc.:
Triangular: sus bases son triángulos.
Cuadrangular: sus bases son cuadrados.
Pentagonal: sus bases son pentágonos.
Hexagonal: sus bases son hexágonos.
Etc.
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y
ángulos iguales.
Superficie de un prisma
Volumen de un prisma
S = 2Sb + SL
Sb área del polígono base
SL área lateral, SL = P • h
donde P es el perímetro de la base y h es la
altura
V = Sb ⋅ h
S área del polígono base, h es la altura.
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1.2. Las pirámides
Las pirámides son poliedros con las caras laterales triangulares.
A continuación, vamos a ver la clasificación de las pirámides en función de distintos criterios.
Según los polígonos que forman la base:
En función de cómo sea el polígono que forma la base, una pirámide puede ser triangular,
cuadrangular, etc.:
Triangular: si su base es un triángulo.
Cuadrangular: si su base es un cuadrado.
Pentagonal: si su base es un pentágono.
Etc.
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Por el contrario, una pirámide es irregular si su base no es un polígono regular.
Superficie de la Pirámide Volumen de una pirámide
S = Sb + SL
Sb área del polígono regular base
SL área lateral,
𝑆𝐿 = 𝑃 ∙ 𝑎𝑝
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donde P es el perímetro de la base y ap es la
altura de la cara lateral (apotema)
𝑉 = 𝑆𝑏 ∙ ℎ
3
Sb área del polígono base, h es la altura.
1.3. Los poliedros regulares
Los poliedros regulares son aquellos que cumplen las siguientes condiciones:
Todas las caras están formadas por polígonos regulares iguales.
A todos los vértices del poliedro se unen el mismo número de caras.
Solo hay cinco poliedros regulares convexos que son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el
dodecaedro y el icosaedro.
4.- Geometría de los cuerpos de revolución
Un cuerpo de revolución es un cuerpo tridimensional que puede generarse a partir del giro de una
figura plana alrededor de un eje.
El eje puede estar pegado a uno de los lados de la figura o bien ser externo a este:
Si el eje está pegado a uno de los lados de la figura, el eje queda en el interior del cuerpo
resultante.
Si el eje es externo, el cuerpo resultante tendrá un agujero, como sucede, por ejemplo, con las
rosquillas.
La línea exterior de la figura plana cuyo giro genera la superficie del cuerpo de revolución recibe el
nombre de generatriz.
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4.1. El cilindro
Un cilindro se obtiene por el giro de un rectángulo en torno a un eje unido a uno de sus lados.
Área del cilindro Volumen del cilindro
AL = 2.π.R At = AL + 2.Ab V = Ab . altura R radio AL área lateral Ab área de la base
V = Ab . altura
4.2. El Cono
El cono se obtiene mediante el giro de un triángulo rectángulo alrededor de un eje, que está
unido a uno de los catetos.
Los elementos que conforman el cilindro son los siguientes:
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Área del cono Volumen del cono
Al = π.R.g At = Al + Ab
V = 1/3.Ab.altura
4.3. Esfera
La esfera es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar un semicírculo en torno a un eje que
está unido a su diámetro.
Area volumen
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 𝑉 =
4
3 𝜋 ∙ 𝑟3