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GRADO: NOVENO

ASIGNACIÓN: GEOMETRÍA.

GUÍA No: 01

FECHA JUNIO 01 DE 2020.

TEMA: TEORÍA DE LA DEMOSTRACIÓN.

LOGRO: Reconoce e identifica lo que son proposiciones, conectivos lógicos y cuantificadores.

EXPLORACIÓN: La mamá de Rafael le da la siguiente instrucción: “Tiende la cama o lava tu ropa”. Si Rafael

decide lavar su ropa, ¿puede afirmar que hizo lo que su mama le ordeno? ¿Qué valor de verdad tendría la

afirmación?

ESTRUCTURACIÓN: Una demostración se considera como una sucesión de razonamientos encadenados de

forma lógica, que permiten determinar la veracidad de ciertas proposiciones denominadas teoremas, a partir

de otras proposiciones más simples conocidas como postulados.

En una demostración intervienen los siguientes conceptos:

POSTULADOS: Son descripciones claras y precisas sobre las propiedades o características de un objeto

matemático, en este caso, de un objeto geométrico.

TEOREMAS: Son los enunciados o proposiciones que se demuestran a partir de las definiciones, postulados y

teoremas demostrados anteriormente.

Para realizar una demostración se utiliza la lógica, para esto, es necesario conocer algunos conceptos tales

como proposición, conectivo lógico y cuantificador.

PROPOSICIONES LÓGICAS: Una proposición lógica es una expresión o enunciado del cual se puede afirmar si es

verdadero o falso. Generalmente, las proposiciones se representan con las letras: p, q, r, s en minúscula.

Cuando se determina si una proposición lógica es verdadera o falsa se le asigna a la proposición un valor de

verdad.

Las proposiciones se clasifican en proposiciones simples y compuestas. Las proposiciones simples están

conformadas por un solo enunciado y las compuestas están conformadas por más de una proposición simple

unidas por un conectivo lógico.

Ejemplos:

1. Determinar cuales de las siguientes expresiones son proposiciones lógicas:

a. El internet revolucionó las comunicaciones mundiales.

Respuesta: Sí es una proposición lógica porque se puede decidir si realmente la internet revolucionó o no las

comunicaciones en el mundo.

b. ¿Te gusta estudiar estadística?

Respuesta: No es una proposición lógica porque es una pregunta y por tanto no se puede afirmar si es

verdadera o falsa.

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c. ¡Cómo está de lindo ese saco!

Respuesta: No es una proposición lógica porque es una exclamación.

d. Todos los viernes hay evaluación de geometría.

Respuesta: Sí es una proposición lógica porque puede decirse si es verdadero o falso que hay evaluación de

geometría todos los viernes.

e. Camilo, póngase ya la camisa.

Respuesta: No es una proposición lógica, puesto que es una orden que le están dando en este caso a Camilo y

por esto no se puede establecer si es verdadero o falso.

f. La suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

Respuesta: Sí es una proposición lógica porque se puede afirmar si la suma de los ángulos internos de un

triángulo es o no 180°.

CONECTIVOS LÓGICOS: los conectivos lógicos o conectores son palabras que se utilizan para unir dos

proposiciones simples y conformar una proposición compuesta. Cada conectivo lógico se representa con un

símbolo así:

CONECTIVO LÓGICO NOTACIÓN

O V

Y ∧

SI… ENTONCES ⇒

SI Y SOLO SI ⇔

A cada conectivo lógico le corresponde una operación lógica, la cual describe la función que cumple.

Las operaciones lógicas son:

DISYUNCIÓN: Se utiliza el conector “V” para unir dos proposiciones simples y se lee “O”. Por ejemplo: si p y q

son las proposiciones simples:

p: Un polígono puede ser convexo.

q: Un polígono puede ser cóncavo.

La disyunción que se forma con las proposiciones es: p V q: Un polígono puede ser convexo o cóncavo.

CONJUNCIÓN: Utiliza el conector “Ʌ“entre dos proposiciones simples, se lee “Y”. Por ejemplo: para las

proposiciones:

p: El deporte es salud.

q: Una buena nutrición ayuda al bienestar.

La proposición que resulta al hacer la conjunción es: p Ʌ q: El deporte es salud Y una buena nutrición ayuda al

bienestar.

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CONDICIONAL: Utiliza el conector ⇒ se lee “Si… entonces”. En este

caso la primera proposición se llama antecedente y la segunda consecuente. Por ejemplo: para las

proposiciones:

p: El triángulo ABC es isósceles.

q: Tiene dos lados con igual medida.

El condicional que se forma con las proposiciones es:

p ⇒ q: Si el triángulo ABC es isósceles, entonces, tiene dos lados con igual medida.

En este caso, p es el antecedente y q es el consecuente.

BICONDICIONAL: Utiliza el conector ⇔ se lee: “Si y solo si”. Por ejemplo, dadas las proposiciones simples:

p: Las rectas m y n son paralelas.

q: No tienen puntos en común.

El bicondicional que se forma con las proposiciones es:

p ⇔ q: Las rectas m y n son paralelas Si y solo si no tienen puntos en común.

NEGACIÓN: Es una operación lógica que permite cambiar el valor de verdad de una proposición. Para

simbolizar la negación de una proposición p se escribe ~ p y se lee No p. por ejemplo: para la proposición

simple:

p: Los triángulos isósceles son triángulos rectángulos.

La negación es:

~ p: Los triángulos isósceles No son triángulos rectángulos.

CUANTIFICADORES: Los cuantificadores permiten expresar la cantidad de elementos del conjunto o conjuntos

a los que se hace referencia en una proposición. Así en una proposición se pueden involucrar todos los

elementos de un conjunto, algunos elementos o solo uno.

Hay dos cuantificadores que tienen gran importancia en matemáticas y poseen su propia simbología, estos son:

CUANTIFICADOR UNIVERSAL: Se utiliza para hacer referencia a todos los elementos del conjunto en mención.

Su símbolo es: “∀” y se lee “Para todo”. Por ejemplo: en la siguiente proposición se utiliza el cuantificador

universal:

En Todos los triángulos la suma de sus ángulos internos es 180°.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Se utiliza para hacer referencia a algunos elementos del conjunto mencionado.

Se simboliza “∃” y se lee “Existe”. Por ejemplo: En la siguiente proposición se utiliza el cuantificador existencial.

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Existen paralelogramos que son rectángulos.

Cuando se hace referencia a un solo elemento se utiliza el símbolo ∃! el cual se lee: “Existe un único”. Por

ejemplo:

Existe un único número natural que es par y es primo.

Cuando se hace la negación de una proposición con el cuantificador universal se usa el cuantificador existencial

y viceversa. El cuantificador existencial se niega con el cuantificador universal.

EJEMPLOS:

1. Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta:

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° y la medida de un ángulo externo del triángulo es igual

a la suma de los ángulos internos no adyacentes.

La proposición es de la forma p Ʌ q. Por tanto, para que la proposición sea verdadera tanto p como q deben

ser verdaderas. Así la proposición

p: La suma de los ángulos internos es 180°. Entonces es verdadera.

q: La medida de un ángulo externo del triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.

Vamos a demostrarlo.

B

G

A

C

En consecuencia, en un triángulo ABC, se cumple que:

Ángulo A + Ángulo B + Ángulo C = 180 °. Expresión 1.

Además, se cumple que: Ángulo A + Ángulo BAG = 180°, por ser ángulos suplementarios. Al igualar las dos

expresiones se tiene:

Ángulo A + Ángulo B + Ángulo C = Ángulo A + Ángulo BAG.

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Ángulo BAG = ángulo A + ángulo B + ángulo C – ángulo A.

Ángulo BAG = ángulo B + ángulo C.

De donde se obtiene que la medida del ángulo externo (ángulo BAG) = a la suma de las medidas de los ángulos

internos no adyacentes (ángulo B y ángulo C).por lo tanto, la proposición compuesta es verdadera.

2. Escribe la negación de cada proposición. Luego establecer el valor de verdad de la negación.

a. Todos los rectángulos son cuadrados.

Como la proposición utiliza el cuantificador universal, su negación debe escribirse utilizando el cuantificador

existencial, así:

Existen rectángulos que NO son cuadrados.

En este caso, la negación de la proposición es verdadera.

Recuerden que todo cuadrado es un rectángulo mas no todo rectángulo es un cuadrado.

b. Existen trapecios que son cuadriláteros.

La proposición utiliza el cuantificador existencial. Luego, su negación debe utilizar el cuantificador universal.

Así:

Todos los trapecios no son cuadriláteros.

Esta proposición es falsa ya que todos los trapecios tienen cuatro lados. Por tanto, son cuadriláteros.

En ambos ejemplos se puede observar que si las proposiciones dadas son falsas, su negación es verdadera y

viceversa.

Vamos a recordar lo siguiente:

CARACTERÍSTICAS DEL CUADRADO:

• Tiene cuatro ángulos internos de 90° cada uno.

• Lado1 = lado 2 = lado 3 = lado 4.

• Lado 1 paralelo al lado 2.

• Lado 3 paralelo al lado 4.

CARACTERÍSTICAS DEL RECTÁNGULO:

• Tiene cuatro ángulos internos de 90° cada uno.

• Lado 1 = lado 3.

• Lado 2 = lado 4.

• Lado 1 paralelo a lado 3.

• Lado 2 paralelo a lado 4.

ACTIVIDAD:

1. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones simples:

a. Todo triángulo equilátero tiene dos ángulos internos de igual medida.

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b. Un año bisiesto tiene 365 días.

2. Escribe las proposiciones compuestas que se indican:

p: El triángulo ABC es equilátero.

q: Los tres lados del triángulo tienen igual medida.

r: El triángulo ABC es equiángulo.

s: El triángulo ABC es un polígono regular.

a. r Ʌ q.

b. p V q

c. p ➱ r

d. p ⇔ q

e. p Ʌ s.

3. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones compuestas:

a. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° y la suma de los ángulos internos de un

cuadrilátero es 360°.

b. Los números racionales se representan como fracciones o como decimales periódicos.