INTRODUCCIÓN.

Prof. Ing. Nayive Jaramillo Santana Ing. José Gregorio Gutiérrez

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Este método es útil y ventajoso porque analiza las fuerzas,velocidad, masa y posición de una partícula sin necesidad deconsiderar las aceleraciones y además simplifica los métodosfundamentales de la cinética.

Trabajo de una fuerza.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

El trabajo de la fuerza correspondiente al desplazamientose define como la cantidad

.

´

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Trabajo de una fuerza constante.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

El trabajo realizado por una fuerza F, constante, cuyo puntode aplicación se desplaza, es por definición el producto deldesplazamiento del punto de aplicación por la componente dela fuerza en la dirección del desplazamiento.

1

2

Plano sin fricción

∆1

2

Plano sin fricción

∆

θ. ∆ . cos . ∆

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Trabajo de una fuerza constante.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo esnulo, o si se aplica a un punto fijo en cuyo caso ∆ = 0

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Trabajo de una fuerza variable.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

En general si la fuerza es variable en magnitud y dirección ysu punto de aplicación se desplaza un diferencial sobre lacurva albeada, el trabajo “du” se define como el productoescalar de los dos vectores y .

x

z

yTrayectoria

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Trabajo de una fuerza variable.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

El trabajo de la fuerza F correspondiente al desplazamiento sedefine como:

Al ser una cantidad escalar, el trabajo tiene magnitud y signo,pero no dirección.

. → . . cos .

0  .90  0180  .

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Trabajo de una fuerza variable.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Partiendo de:

Luego en términos de componentes rectangulares se puedeescribir el trabajo como:

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Trabajo realizado por el peso W.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

El trabajo realizado por el peso de un cuerpo supuestoconstante, es el mismo que el realizado por la fuerza degravedad.

x

z

y

.

→

→ ∆

 0

∆ 0

∆ 0∆

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Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Un resorte es un cuerpo que se deforma bajo la acción deuna fuerza. La relación entre la fuerza y la deformación dependede:a) Clase de material usado.b) Dimensión del resorte.c) Forma del resorte.

Experimentalmente se ha demostrado que la magnitud de lafuerza (Fe) ejercida por el resorte sobre el cuerpo esproporcional a la deformación (x) medida desde su longitudnatural

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Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Por lo tantoConstante de rigidez del resorte

Se expresa en unidades de fuerza por longitud por ejemplo:N/m o lb/ft o lb/in

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Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Luego el trabajo ejercido por la fuerza del resorte Fe cuandotiene un desplazamiento finito a seobtiene

.

→ 2

→ ) 

0

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Trabajo realizado por la fuerza Normal N.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

. cos .0  090  0

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Trabajo realizado por la fuerza de roce (fr).

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

. cos . . .

180 

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0

Energía Cinética de una Partícula. Principio de Trabajo y la Energía.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Toda partícula en movimiento tiene energía cinética que esfunción de su rapidez. Sea una partícula de masa m que se mueve sobre unatrayectoria curva, con respecto a un sistema de referenciainercial.

x

z

y

1

2

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Energía Cinética de una Partícula. Principio de Trabajo y la Energía.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Luego en base a la Segunda Ley de Newton:

Luego

→ .12

→12 .

12 .

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Energía Cinética de una Partícula. Principio de Trabajo y la Energía.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Por lo tanto

→12 .

12 .

→

Principio de Trabajo y la Energía

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Energía Cinética de una Partícula. Principio de Trabajo y la Energía.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Unidades:

Sistema Internacional de Unidades:

Unidades de uso común en Estados Unidades:

12 . . ⁄ .

12 . .

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Potencia y Eficiencia.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

La potencia se define como la tasa en el tiempo a la cual seefectúa el trabajo.

Unidades

∆∆

. .

. ⁄ 1

1 746

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Potencia y Eficiencia.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

La eficiencia mecánica de una máquina es la proporción entreel trabajo de salida y el trabajo de entrada.

Debido a la pérdida de energía resultado de la fricción, eltrabajo de salida siempre es más pequeño que el de la entraday, en consecuencia, la salida de potencia es siempre menor quela entrada de potencia. La eficiencia mecánica de una máquinaes entonces siempre menor que 1.

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Energía Potencial.

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Considere un peso W que se mueve a lo largo de una trayectoriacurva desde un punto de elevación hasta un punto deelevación , sabemos que el trabajo del peso W durante esedesplazamiento es:

→ ∆

z

y

x

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Energía Potencial.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Vemos entonces que éste trabajo es independiente de latrayectoria real seguida, depende sólo de los valores inicial yfinal de la función . Esta función recibe el nombre deenergía potencial del cuerpo respecto a la fuerza de gravedad Wy se denota como .

Luego: →

La energía potencial aumenta → 0

La energía potencial disminuye → 0

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Energía Potencial.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Considere ahora un cuerpo unido a un resorte y que se muevede una posición correspondiente a una deformación delresorte a una posición correspondiente a una deformacióndel resorte, se tiene entonces que el trabajo ejercido por lafuerza del resorte sobre el cuerpo es:

→ )

→ 2 2

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Energía Potencial.

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Luego la función se denota como y se denomina energíapotencial del cuerpo con respecto a la fuerza elástica ,entonces:

Esta expresión es válida si las deformaciones del resorte semiden a partir de su posición no deformada.

→ 2

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Energía Potencial.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Por otro lado, debido a que el trabajo de la fuerza elásticadepende solo de la deformación inicial y final del resorte, laecuación de energía potencial puede ser aplicada cuando elresorte gira alrededor de su extremo fijo:

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Energía Potencial.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

En general si la partícula o el cuerpo esta sometido a ambasfuerzas gravitacional y elástica, la energía potencial puedeexpresarse:

Observaciones: La energía potencial V es la capacidad de un cuerpo para

producir trabajo en función de su posición. Cualquier fuerza que realiza trabajo sobre un cuerpo al

desplazarlo de un punto a otro, siendo este independiente desu trayectoria y dependiendo sólo de su posición inicial yfinal, se le llama Fuerza Conservativa.

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Fuerzas Conservativas.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella esindependiente de la trayectoria y depende sólo de la posicióninicial y final.

z

y

, , xo

, ,

Trayectoria 1

Trayectoria 2

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Fuerzas Conservativas.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

En general, si una partícula se localiza en un punto arbitrario, , en el espacio, su energía potencial , , en

función de su posición se le llama Función Potencial de la fuerzaconservativa .

El trabajo → de la fuerza entre los puntos arbitrarios yse mide por la diferencia de las funciones potenciales:

→ , , , ,

→

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Fuerzas Conservativas.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Luego para que una fuerza sea conservativa se tiene quecumplir que:

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Conservación de la Energía de una Partícula.

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Cuando una partícula esta sometida a la acción de un sistemade fuerzas conservativas, se pueden combinar las ecuaciones:

Luego:→ →

Principio de Conservación de la Energía Mecánica

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Conservación de la Energía de una Partícula.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Luego este Principio establece que la suma de las energíascinética y potencial es constante en cualquier posición de lapartícula, cuando se mueve bajo la acción de fuerzasconservativas.

La cantidad se llama energía mecánica total de lapartícula y se denota como:

…… .

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Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal.

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Al considerar una partícula de masa m sobre la que actúa unafuerza , ésta puede expresarse según la Segunda Ley deNewton como:

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Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Luego:

El término se conoce como impulso lineal de la fuerza

durante el intervalo considerado.

 

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Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Entonces:

→

→

Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal

→

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Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

En componentes rectangulares:

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Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas, tenemos:

Cuando se tiene mas de dos partículas , la ecuación de cadapartícula puede hacerse por separado o bien realizar la sumavectorial de las cantidades de movimiento de todas laspartículas y los impulsos de todas las fuerzas aplicadas,entonces:

∑

∑ ∑ ∑

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Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Si no se ejerce fuerza externa sobre las partículas, o demanera más general, si la suma de fuerzas externas es cero,entonces:

Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal 

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Movimiento Impulsivo.

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Es el que resulta de la aplicación de grandes fuerzas sobre unapartícula durante intervalos de tiempo cortos, debido alimpulsivo súbito, esta fuerza se llama impulsiva, luego:

Es posible ignorar cualquier fuerza que no sea impulsiva, puestoque el impulso correspondiente ∆ es muy pequeño.

∑ ∆

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Movimiento Impulsivo.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Para el caso de varias partículas:

Si todas las fuerzas externas que actúan sobre las partículasson no impulsivas (ejemplo peso, fuerza de un resorte):

∑ ∑ ∆ ∑

∑ ∑

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Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Angular.

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Sabemos que:

Luego:

.

∑

∑ ∑ ∑

∑

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Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Angular.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Por lo tanto:

∑

Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Angular

. .

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Conservación del Momento Angular.

Mecánica Racional 20TEMA 3: Método de Trabajo y Energía.

Si no existen fuerzas externas actuando sobre las partículas,tenemos:

Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular

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