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Tema 3: Filtros
SEGUNDA PARTE
FILTROS
• En el dominio del espacio:
– Filtros de suavizado.
– Filtros de realce.
• En el dominio de la frecuencia:
– Filtros de suavizado.
– Filtros de realce.
Objetivo: Realzar los detalles de una imagen que hayan podido quedar emborronados. Estos filtros están asociados, por tanto, con la detección de lados o bordes.
La idea que subyace en la mayor parte de las técnicas de detección de bordes es el cálculo de un operador local de derivación ya que un píxel
Filtros espaciales de realce
bordes es el cálculo de un operador local de derivación ya que un píxel pertenece a un borde si se produce un cambio brusco entre niveles de grises con sus vecinos. Mientras más brusco sea el cambio, más fácil es detectar el borde.
El principal problema que surge en el realce de los detalles de la imagen o la detección de los bordes es que el ruido es colateralmente realzado.
La derivada de una función digital se define en términos de variaciones entre píxeles adyacentes. Existen varias formas de definir estas diferencias, pero deben cumplir:
•La primera derivada debe ser cero en zonas de intensidad constante y distinta de cero en zonas de variaciones (escalones o rampas);
Filtros espaciales de realce
distinta de cero en zonas de variaciones (escalones o rampas);
•La segunda derivada debe ser cero en zonas de intensidad constante y a lo largo de rampas con pendiente constante y debe ser distinta de cero en escalones y en comienzo y fin de rampas.
Así, se pueden definir derivadas de primer y segundo orden de una función unidimensional f(x), de la forma
Filtros espaciales de realce
)()1( xfxfx
f−+=
∂
∂
En general, la segunda derivada será más sensible que la primera ante cambios bruscos en la imagen, por lo que también detectará más sutilmente el ruido.
)(2)1()1(2
2
xfxfxfx
f−−++=
∂
∂
Filtros espaciales de realce
El gradiente digitalUna aproximación del gradiente de una imagen sería:
donde
Filtros espaciales de realce
Estas operaciones pueden expresarse en forma de convolución usando las
siguientes máscaras, respectivamente:
A continuación, calculamos el módulo del gradiente obtenido en cada píxel de
la imagen. Los valores grandes corresponden a píxeles del borde o a ruido.
El gradiente digital
Un problema de esta aproximación es que no calcula el gradiente en el
punto (x,y) sino en el punto (x-1/2, y-1/2).
Una mejor aproximación podría ser
donde
Filtros espaciales de realce
Este operador es simétrico respecto al píxel (x,y).
El problema es que no se tiene en cuenta el valor de la imagen en dicho
píxel, ni los píxeles que se encuentran en la diagonal.
donde
Las máscaras que se aplicarían en este caso serían, respectivamente:
El gradiente digital
Una vez calculado el vector gradiente, calculamos el módulo del mismo
obtenido en cada píxel de la imagen.
Filtros espaciales de realce
fff
y
f
x
ff
∂
+
∂
=∇
∂
∂
∂
∂=∇
||
,
2/122
Sin embargo, se suele calcular la suma del valor absoluto de sus coordenadas
en lugar del módulo (por ser menos costoso).
y
f
x
ff
y
f
x
ff
∂
∂+
∂
∂≈∇
∂
∂+
∂
∂=∇
||
||
Los valores grandes corresponden a píxeles del borde o a ruido.
Operador cruzado de Roberts
En este caso, se suelen usar dos máscaras para modelizar el gradiente
F F
Filtros espaciales de realce
La ventaja de este operador es que es fácil y rápido de computar. Sólo está
implicado un entrono de vecindad de 4 píxeles y sólo se usan sumas y restas
en los cálculos.
La principal desventaja es que, si lo que se quiere es determinar bordes, es
muy sensible al ruido y tiene una respuesta débil a los verdaderos bordes, a
menos que sean muy pronunciados. Para este propósito funciona mejor el
operador de Sobel.
Demo on-line
Fx Fy
Operador cruzado de Roberts
Filtros espaciales de realce
Imagen original Imagen filtrada con el operador
de Roberts y umbralizada.
Componentes gx y gy.
Operador Sobel
En este caso, se suelen usar dos máscaras para modelizar el gradiente que
se llaman operadores de Sobel:
S S
Filtros espaciales de realce
Observemos que en las máscaras de Sobel, tienen más peso los píxeles
situados en posición vertical y horizontal respecto el píxel estudiado que los
situados en la diagonal.
Este operador es menos sensible al ruido.
Demo on-line
Sx Sy
Operador Sobel
Imagen
Filtros espaciales de realce
|Sx|
|Sx|+|Sy||Sy|
En este ejemplo puede apreciarse la
diferencia al aplicar a la imagen el operador
cruzado de Roberts y el operador Sobel. La
imagen de salida mantiene en ambos casos el
mismo nivel de ruido, pero en el caso de
Sobel, hay una mayor diferencia de intensidad
entre el ruido y los verdaderos bordes, por lo
que una umbralización sería apropiada para
Filtros espaciales de realce
que una umbralización sería apropiada para
determinar los bordes en este caso.
Roberts Sobel
El laplaciano
El laplaciano de una función bidimensional f es un operador de
derivación isotrópico (independiente de la dirección de la discontinuidad
en la imagen) definido por:
Filtros espaciales de realce
2
2
2
22
y
f
x
ff
∂
∂+
∂
∂=∇
Como en el caso del gradiente, la formulación del laplaciano puede
implementarse en forma digital de varias maneras. La más frecuente en la
práctica es aplicar la siguiente máscara:
Es decir,
[ ] ),(4)1,()1,(),1(),1(),(2 yxfyxfyxfyxfyxfyxf
yx
−−+++−++=∇
∂∂
El laplaciano
Existen varios modelos para implementar el Laplaciano digital:
Filtros espaciales de realce
2
2
2
22
y
f
x
ff
∂
∂+
∂
∂=∇
El laplaciano
Nótese que la suma de los coeficientes de la máscara debe ser cero, lo que es
coherente en el caso de que el punto en cuestión y sus vecinos tengan el
mismo valor.
Los píxeles del borde darán como respuesta un número negativo (o positivo)
“grande”.
Filtros espaciales de realce
El Laplaciano no se suele usar directamente en la práctica por ser muy sensible
al ruido, por lo que se suele usar sumado o restado (según la máscara usada)
con la imagen original para realzar los contornos, como en el ejemplo siguiente.
Por la misma razón, también a veces se usa primero un filtro gaussiano para
eliminar ruido, lo que da lugar al filtro llamado Laplaciano del Gaussiano (LoG),
cuyo núcleo puede calcularse componiendo ambos:
Demo on-line
El Laplaciano. Ejemplo.
Imagen original Laplaciano de la imagen
Filtros espaciales de realce
Reescalado del Imagen original
Laplaciano de la + Laplaciano
imagen
Filtros espaciales de realce
Filtros espaciales de realce
Una imagen se puede filtrar en el dominio de la frecuencia o en el dominio del espacio.
Los filtros en el dominio de la frecuencia se usan, principalmente, para eliminar altas o bajas frecuencias de la imagen, lo que se traduce en suavizar la imagen, o bien, realzar o detectar bordes.
Filtros en el dominio de la frecuencia
realzar o detectar bordes.
Los pasos a seguir son:
1. Se multiplica cada entrada f(x,y) por (-1)x+y.
2. Se transforma la imagen en su dominio de la frecuencia mediante la
Transformada Discreta de Fourier, F(u,v).
filtro de frecuencia
Filtros en el dominio de la frecuencia
3. Se multiplica por un filtro de frecuencia H(u,v), para cada (u,v):
G(u,v)=H(u,v) F(u,v)
4. Se calcula la inversa de la TDF de G(u,v) (tomando la parte real),
volviendo, así, al dominio del espacio.
5. Se vuelve a multiplicar por (-1)x+y.
Básicamente, hay tres tipos diferentes de filtros de frecuencia:
• Filtros de paso bajo (lowpass filter).
• Filtros de paso alto (highpass filter).
Filtros en el dominio de la frecuencia
• Filtros de paso alto (highpass filter).
• Filtros de banda (bandpass filter).
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso bajo: deja inalterables las bajas frecuencias y atenúa o
elimina las altas frecuencias.
El resultado en el dominio del espacio consiste en un suavizado: eliminar
pequeños detalles y ruidos de la imagen.
El más sencillo es el Filtro ideal de paso bajo, en el que El más sencillo es el Filtro ideal de paso bajo, en el que
donde D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de
frecuencias. Este filtro suprime las altas frecuencias mayores que un cierto
valor D0, que se denomina frecuencia de corte, y deja las demás tal como
están.
>
≤=
0
0
),(0
),(1),(
DvuDsi
DvuDsivuH
Filtro ideal de paso bajo
Imagen original (superior izquierda) ,
junto con los resultados de pasar un
filtro ideal de paso bajo con
frecuencias de corte de 5, 15, 30, 80 y
Filtros en el dominio de la frecuencia
frecuencias de corte de 5, 15, 30, 80 y
230.
Nótese el efecto de ondas o anillos
alrededor de los bordes.
Para practicar: demo on-line
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso bajo: deja inalterables las bajas frecuencias y atenúa o
elimina las altas frecuencias.
Otro ejemplo es Filtro Butterworth de paso bajo de orden n
( ) nDvuD
vuH2
0/),(1
1),(
+=
donde D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de frecuencias
y D0 es la llamada frecuencia de corte.
Filtro ideal Filtro Butterworth
0
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso bajo: Filtro Butterworth de paso bajo de orden n
Ahora H es una función continua en D, en contraposición con el caso del filtro
ideal, en el que H era discontinua.
( ) nDvuD
vuH2
0/),(1
1),(
+=
>
≤=
0
0
),(0
),(1),(
DvuDsi
DvuDsivuH
Conforme aumenta n, la función H se “parece” cada vez más a la correspondiente
al filtro ideal.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro Butterworth de paso bajo de orden 2
Imagen original (superior izquierda) , junto con
los resultados de pasar un filtro Butterworth de
paso bajo de orden 2 con frecuencias de corte
de 5, 15, 30, 80 y 230. de 5, 15, 30, 80 y 230.
Nótese que ahora no aparecen los efectos de
ondas o anillos en torno a los bordes.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso bajo: Filtro paso bajo Gaussiano
)2/(),( 20
2
),(DvuD
evuH−=
•Se obtienen resultados comparables a los del filtro Butterworth (sin anillos).
•Mediante la transformada inversa de Fourier de H(u,v) se obtiene un filtro
espacial Gaussiano.
Filtro de paso alto: deja inalterables las altas frecuencias y atenúa o
elimina las bajas frecuencias.
El resultado en el dominio del espacio consiste en un realzado de los cambios
bruscos de niveles de grises. De ahí que se use para detectar bordes.
Las áreas de niveles de gris constantes o con poca variación se corresponden
con las bajas frecuencias, que se suprimen.
Filtros en el dominio de la frecuencia
con las bajas frecuencias, que se suprimen.
El más sencillo es el Filtro ideal de paso alto, en el que
donde D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de
frecuencias.
Este filtro suprime las frecuencias menores o iguales que un cierto valor D0,
que se denomina frecuencia de corte.
>
≤=
0
0
),(1
),(0),(
DvuDsi
DvuDsivuH
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro ideal de paso alto
Resultados usando frecuencia de corte 30, 60 y 160.
Para practicar: demo on-line
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso alto: deja inalterables las altas frecuencias y atenúa o elimina
las bajas frecuencias.
Otro ejemplo es el Filtro Butterworth de paso alto de orden n
donde D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de frecuencias
y D0 es la llamada frecuencia de corte.
( ) nvuDD
vuH2
0 ),(/1
1),(
+=
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro ideal
Filtros de paso alto
Filtro Butterworth
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro Butterworth de paso alto
Resultados de orden 2 usando frecuencia de corte 30, 60 y 160.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso alto: Filtro de paso alto Gaussiano
)2/(),( 20
2
1),(DvuD
evuH−
−=
a) Imagen original rayos X.
b) Resultado de aplicar un filtro
gaussiano de paso alto.
Filtros en el dominio de la frecuencia
c) Resultado de mejorar la imagen
anterior aplicando de nuevo un
filtro gaussiano de paso alto.
d) Ecualización del histograma de c).
Filtros de paso de banda
Un filtro de banda atenúa las altas y bajas frecuencias, pero mantiene intactas
las frecuencias que se encuentren en una banda determinada.
En el caso del filtro ideal, sólo deja pasar las frecuencias que están entre dos
frecuencias de corte.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Se puede obtener un filtro de banda multiplicando uno de paso bajo por uno de
paso alto, en el que la frecuencia de corte del de paso bajo sea superior a la
del de paso alto.
El opuesto al filtro de paso de banda sería de “rechazo de banda” (bandreject
o band-stop), en el que se atenúan las frecuencias de la banda, pero se
mantienen la frecuencias fuera de ella.
Diseñar un nuevo filtro
Filtros en el dominio de la frecuencia
Por ejemplo, para
eliminar ciertas formas
periódicas en la
imagen.imagen.