tema 3: estudio y representaciÓn de funciones · una función irracional con raíces cuadradas...

Alonso Fernández Galián

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TEMA 3: ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Para representar gráficamente una función deben estudiarse los siguientes aspectos:

i) Dominio.

ii) Puntos de corte con los ejes de coordenadas.

iii) Asíntotas.

iv) Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos.

v) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

También pueden ser útiles otras propiedades, como las simetrías o la periodicidad.

i) Dominio

El dominio de una función es el subconjunto de números reales para los que la función está

definida.

•Ejemplo: Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a)

Una función racional está definida en todos los números reales excepto en aquellos para los

que se anula el denominador:

Por tanto, ℝ .

b)

Una función irracional con raíces cuadradas está definida para aquellos valores reales para

los que el radicando es mayor o igual que cero.

-Puntos en los que se anula el radicando:

-Signo del radicando:

Por tanto, .

Veamos las gráficas de las dos funciones:

Matemáticas II

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ii) Puntos de corte con los ejes de coordenadas

Los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas se calculan haciendo la coordena-

da correspondiente igual a 0.

iii) Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que va “ciñéndose” la gráfica de la función.

Con el eje de abscisas (eje x):

La gráfica de una función puede cortar

varias veces al eje de abscisas.

Con el eje de ordenadas (eje y):

La gráfica de una función puede cortar,

como mucho, una vez al eje de ordenadas.

•Ejemplo: Calcula los puntos de corte con los ejes de la siguiente función:

Con el eje de abscisas:

La gráfica corta al eje x en los puntos y .

Con el eje de ordenadas:

La gráfica corta al eje y en el punto .

Tema 3: Estudio y representación de funciones

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•Asíntotas verticales: Hay que buscar los valores de 𝑥 para los que la función tiende a ∞.

0)(lim0

xxxfxx

==→

es una asíntota vertical

•Asíntotas horizontales: Son igual a los límites en el infinito de la función, siempre que estos

sean finitos.

kxfx

=+→

)(lim , finito ky = es una asíntota horizontal cuando +→x

kxfx

=−→

)(lim , finito ky = es una asíntota horizontal cuando −→x

•Asíntotas oblicuas: Solo puede haber asíntotas oblicuas si no hay asíntotas horizontales.

( )nmxy

mxxfn

x

xfm

x

x +=

−=

=

+→

+→

)(lim

finito,)(

lim es una asíntota oblicua

•Ejemplo: Estudia las asíntotas de las siguientes funciones:

a) .

Verticales:

. La recta es una asíntota vertical.

Horizontales:

. La recta es una asíntota horizontal cuando .


Oblicuas: Como la función tiene asíntotas horizontales, no tiene asíntotas oblicuas.

b) .

Verticales:

. La recta es una asíntota vertical.

Horizontales:

. La función no tiene asíntotas horizontales.

Oblicuas:

Matemáticas II

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iv) Monotonía y extremos relativos

El crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos deben estudiarse simultáneamente.

•Condición necesaria de extremo relativo:

f tiene un extremo relativo en 0)( 00 == xfxx ( 0xx = es un punto crítico)

•Crecimiento y decrecimiento:

ff 0 creciente

ff 0 decreciente

•Criterio de la primera derivada para extremos relativos: Sea 0xx = un punto crítico de la

función 𝑓, es decir, un punto en el que se anula la derivada: 0)( 0 = xf .

f pasa de creciente a decreciente en 0xx = ( ↗ ↘ ) Máximo relativo en 0xx =

f pasa de decreciente a creciente en 0xx = ( ↘ ↗ ) Mínimo relativo en 0xx =

[…]

La recta es una asíntota oblicua.

c) .

Verticales:

para cualquier valor de . La función no tiene asíntotas verticales.

Horizontales:



Oblicuas: Como la función tiene asíntotas horizontales, no tiene asíntotas oblicuas.


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Nota: Para determinar si en un punto crítico 0xx = hay un máximo o un mínimo relativo

también podemos utilizar el criterio de la segunda derivada. Dado 0x tal que 0)( 0 = xf ,

fxf 0)( 0 tiene un mínimo relativo en 0xx = .

fxf 0)( 0 tiene un máximo relativo en 0xx = .

•Ejemplo: Determina la monotonía y los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) 23)( 3 +−= xxxf

Calculamos los puntos críticos de f , que son los “candidatos” a máximos y mínimos.

-Derivamos la función: 33)( 2 −= xxf .

-Igualamos a cero:

−=

==−=

1

10330)( 2

x

xxxf

Decidamos el signo de f .

Por tanto, la función es:

-Creciente en ( ) ( )+−− ,11,

-Decreciente en ( )1,1− .

Además tiene un máximo relativo en 1−=x y un mínimo relativo en 1=x .

4)1( =−f ( )4,1− Max

( )0,10)1( Minf =

b) 2

21)(

x

xxf

−=

( )=fD ℝ 0− . Calculamos los puntos críticos de f .

-Derivamos la función: 344

2

4

222)22(222)21(2

)(x

x

x

xx

x

xx

x

xxxxf

−=

−=

−=

−−−= .

-Igualamos a cero: 1022022

0)(3

==−=−

= xxx

xxf

Decidamos el signo de f . Se debe marcar en la recta, además del punto crítico 1=x , el

punto de discontinuidad 0=x .


-Creciente en ( ) ( )+− ,10,

-Decreciente en ( )1,0 .

[…]

Matemáticas II

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[…]

Además tiene un mínimo relativo en .

(En tiene una asíntota vertical).

Un problema de optimización

Determinar la superficie máxima que puede tener un rectángulo de 36 metros de perímetro.

Sean x e y la base y la altura del rectángulo. La superficie es .

El problema consiste en maximizar esta expresión. Como depende de dos variables, debe-

mos usar la condición que nos dan para escribir una de ellas en función de la otra:

Podemos expresar entonces la superficie en función de x como:

Representamos gráficamente la función para determinar sus extremos.

Se trata de una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola

Calculamos los puntos críticos:

Determinamos la monotonía y los extremos relativos mediante el signo de .

Hay un máximo relativo en . La gráfica de la función es:

[…]


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v) Curvatura y puntos de inflexión

Una función derivable es cóncava () si la recta tangente queda por encima de la gráfica de la

función, y convexa () si queda por debajo. Los puntos donde la función pasa de ser cóncava a

ser convexa o, al revés, se denominan puntos de inflexión.

•Condición necesaria de punto de inflexión:

f tiene un punto de inflexión en 0)( 00 == xfxx

•Convexidad y concavidad:

ff 0 convexa

ff 0 cóncava

[…]

La superficie máxima que puede tener el rectángulo es, por tanto, 81 m2; que se alcanza

cuando e (es decir, cuando el rectángulo es, de hecho, un cuadrado).

•Ejemplo: Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de .

Calculamos los puntos en los que la derivada segunda vale 0.

-Calculamos la derivada segunda: , .

-Igualamos a cero: .

Decidamos el signo de .


-Cóncava en .

-Decreciente en .

Además tiene un punto de inflexión en .

[…]

Matemáticas II

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vi) Otras cuestiones: Periodicidad y simetrías

Veamos finalmente otras propiedades interesantes que puede tener una función.

•Periodicidad: Se dice que una función f es periódica de periodo T si su gráfica se repite a in-

tervalos de longitud T. Es decir:

f es periódica de periodo T )()( xfTxf =+ , para cualquier valor x

•Simetrías. La gráfica de una función puede presentar las siguientes simetrías:

-Se dice que una función f es par si es simétrica respecto al eje de ordenadas. Analíticamente:

f es par )()( xfxf =− , para cualquier valor de x

-Se dice que una función f es impar si es simétrica respecto al origen. Analíticamente:

f es impar )()( xfxf −=− , para cualquier valor de x

[…] La gráfica de la función es:

•Ejemplo: Las funciones trigonométricas son periódicas. Por ejemplo, la función seno es

periódica de periodo 2:

•Ejemplo: es par.

Analíticamente:

•Ejemplo: es impar.

Analíticamente:


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Anexo: Gráfica de las funciones elementales.

Lineales.

Polinómicas Cuadráticas.

Racionales …

Algebraicas Fraccionarias.

Irracionales (con raíces).

Funciones

elementales Exponenciales.

Trascendentes Logarítmicas.

Trigonométricas.

•Funciones polinómicas. Su dominio son todos los números reales.

•Funciones con la x en el denominador. Su dominio son todos los números excepto aquellos

para los que se anula el denominador.

Matemáticas II

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•Funciones con raíces cuadradas. Su dominio son todos los números reales para los que el

radicando es mayor o igual que 0.

•Funciones exponenciales. Su dominio son todos los números reales.

•Funciones logarítmicas. Su dominio son todos los números reales para los que el argumento

del logaritmo es positivo.

•Funciones trigonométricas directas. El dominio del seno y del coseno son todos los números

reales. El dominio de la tangente son todos los números reales excepto los múltiplos impares de

/2.

•Funciones trigonométricas inversas. El dominio del arcoseno y del arcocoseno es ]1,1[− . El

dominio del arcotangente son todos los números reales.


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Asíntotas

1. Calcula las asíntotas de la función 3

32)(

2

2

−

+=

x

xxxf .

2. Calcula las asíntotas de la función definida para ( )=fD ℝ }0{− por la siguiente expresión:

x

xxxf

434)(

2 ++=

3. Calcula las asíntotas de la función 2

13)(

2

2

+

−=

x

xxf .

4. Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de la función x

xxf

−=

2)(

2

.

5. Se sabe que la recta 9=y es una asíntota horizontal de la función 4

)(2

2

−=

ax

xxf . Calcula

el valor del parámetro aℝ.

6. De la función xa

baxxf

−

+=

2

)( , con a, bℝ, sabemos que pasa por el punto )2,1( , y que

tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es –6.

a) Determina los valores a y b de la función.

b) Determina, si existen, las asíntotas verticales de dicha función.

Monotonía y extremos relativos

7. Determina la monotonía y los extremos relativos de siguiente función:

324

)( 24

+−= xx

xf

8. Determina la monotonía y los extremos relativos de siguiente función:

x

xxf

−=

2)(

2

9. Determina los extremos relativos de la función x

xxxf

2

434)(

2 ++= .

10. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la

función xexxf −−= 22)( .

11. Determina los valores de los parámetros a, bℝ para que la función ( ) xebxaxxf −+= 2)(

tenga un extremo relativo en el punto de abscisa 3=x y además pase por el punto )/1,1( e− .

12. Determina los valores a, b, cℝ de forma que la función cbxaxxf ++= 2)( pase por el

punto de coordenadas ( )10,3 y tenga un extremo relativo en el punto de coordenadas ( )2,1 − .

EJERCICIOS DEL TEMA 3

Matemáticas II

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13. Determina el valor del parámetro aℝ para que la función ( ) xeaxxf −=)( tenga un

mínimo relativo en 0=x . Después razona que, de hecho, se trata de un mínimo absoluto.

14. Determina los valores a, b, cℝ para que la función cbxaxxf ++= 3)( pase por el punto

de coordenadas ( )8,2 , tenga un mínimo relativo 3/3=x y además la recta tangente en el

punto de abscisa 1=x tenga pendiente 4.

15. Razona que la función xxf ln/1)( = es monótona decreciente en su dominio.

Curvatura y puntos de inflexión

16. Determina la curvatura y los puntos de inflexión de la función 333)( xxxf −+= .

17. Determina los puntos de inflexión de la función ( ) xexxf 1)( −= .

18. Determina el dominio y los posibles puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) ( )21ln)( xxf −= b) ( )21ln)( xxg +=

18. Calcula el valor de los parámetros a, bℝ para que la función ( ) bxeaxxf x +−= 2)( tenga

un punto de inflexión en 0=x y un mínimo relativo en 1=x .

19. Estudia el crecimiento y la concavidad de la función ( ) →+,0:f ℝ definida por:

x

xxf

ln)( = .

Problemas de optimización

20. Entre todos los pares de números positivos cuyo producto es 100, encuentra cuál tiene suma

mínima.

21. De entre todos los rectángulos cuyo perímetro mide 20 cm, determina cuál tiene la diagonal

menor.

22. Con una chapa metálica de 8 5 metros se desea construir, cortando cuadrados en las

esquinas, un cajón sin tapa de volumen máximo. Halla razonadamente las dimensiones de dicho

cajón.

23. Un depósito cilíndrico sin tapa superior tiene una capacidad de 27 m3. Determina cuánto

miden el radio de su base y su altura sabiendo que se ha construido de manera que su superficie

sea mínima.

24. Halla razonadamente las dimensiones más económicas de una piscina de 32 m3 con fondo

cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y el suelo necesiten la cantidad mínima de

material.

25. Calcula el punto de la parábola 12 −= xy cuya distancia al origen de coordenadas, )0,0(O ,

es mínima.

26. Considera un triángulo isósceles de 8 cm de base y 24 cm de altura. Calcula el área máxima

que puede tener un rectángulo inscrito en dicho triángulo.


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27. Encuentra el punto de la gráfica de la función 1)( 23 +++= xxxxf en el que la pendiente

de la recta tangente sea mínima.

Representación gráfica de funciones

28. Dada la curva 1

12

2

+

−=

x

xy , se pide:

a) Dominio de definición de la función y puntos de corte con los ejes, si los hay.

b) Asíntotas, si las hay.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Máximos y mínimos, si los hay.

29. Dada la función x

xxf

1)(

2 += , estudia:

a) Asíntotas.

b) Máximos y mínimos.

c) Intervalos de concavidad y convexidad.

d) Haz un dibujo aproximado de la gráfica aprovechando los apartados anteriores.

30. Para la función xexxf += )2()( se pide:

a) Estudia su dominio y continuidad.

b) Determina sus puntos de corte con los ejes.

c) Obtén las coordenadas de los máximos y mínimos relativos.

d) Determina las coordenadas de los puntos de inflexión.

(Recuerda que: 0xe x ℝ).

Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU

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