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ESTADISTICA DESCRIPTIVA E INTRODUCCION A LA PROBABILIDADDoble Grado en Ingenierıa Informatica y Matematicas

Tema 3Espacios de probabilidad: Definicion axiomatica

y propiedadades basicas de la probabilidad

1. Objetivo del Calculo de ProbabilidadesEl objetivo del Calculo de Probabilidades es establecer y desarrollar modelos matematicos

adaptados al estudio de situaciones que presentan cierto grado de incertidumbre.Este tipo de situaciones son, asimismo, objeto de estudio de la Estadıstica, ciencia de la que

puede darse la siguiente definicion (Barnett, 1973):

”La Estadıstica es la ciencia que estudia como debe emplearse la informacion y dar unaguıa de accion en situaciones practicas que envuelven incertidumbre”

Ası, el Calculo de Probabilidades y la Estadıstica son disciplinas ıntimamente relacio-nadas en cuanto que ambas se refieren al estudio de un mismo tipo de situaciones. El Calculode Probabilidades desarrolla los modelos teoricos para tratar tales situaciones y la Estadısticaajusta dichos modelos a situaciones concretas.

En este primer tema estableceremos las nociones basicas para el desarrollo formal del Calcu-lo de Probabilidades, por lo que comenzaremos describiendo el tipo de situaciones objeto deestudio; esto es, los fenomenos aleatorios. La manifestacion fısica de una situacion que envuel-ve incertidumbre es lo que en el lenguaje estadıstico se denomina fenomeno aleatorio, y secaracteriza esencialmente porque su desarrollo no es previsible.

2. Fenomenos y experimentos aleatorios

Entre los diversos fenomenos que pueden presentarse o abstraerse en un determinado campode interes existen los denominados fenomenos determinısticos, cuyo desarrollo es perfectamenteprevisible; y aquellos que se desarrollan en un ambiente de incertidumbre, pudiendo dar lugara distintas manifestaciones o resultados, llamados fenomenos aleatorios.

La imposibilidad de prever el resultado de un fenomeno aleatorio puede tener diversascausas, segun los casos. Por ejemplo:

Las leyes que rigen el fenomeno pueden no ser conocidas suficientemente para ser formu-ladas matematicamente.

Los factores que intervienen en el desarrollo del fenomeno son muy numerosos, o difıcilesde apreciar; o, incluso, no pueden medirse sin perturbar su desarrollo.

En tales casos se dice que el resultado es consecuencia del azar. El caracter imprevisible deestas consecuencias hace inutil cualquier intento de hallar reglas determinısticas que rijan laaparicion de los resultados.

Patricia Roman Roman 1


En la actividad diaria nos encontramos con cierto tipo de fenomenos que pueden ser some-tidos a experimentacion con el fin de recabar informacion sobre ellos.

En el sentido usual del termino, un experimento es un procedimiento u operacion quepuede dar lugar a distintos resultados, todos ellos previamente identificables.

Nos ocuparemos por el momento de aquellos experimentos que pueden repetirse sucesiva-mente bajo las mismas condiciones. Entre ellos cabe distinguir igualmente dos tipos:

Experimentos determinısticos: aquellos que dan lugar al mismo resultado siempre que serealicen bajo identicas condiciones. Un ejemplo claro serıa el experimento consistente enmedir el espacio recorrido por un cuerpo, en movimiento rectilıneo, a velocidad constante,v, durante un tiempo t. El resultado serıa e = vt; es decir, fijadas las condiciones iniciales,v y t, el espacio e queda totalmente determinado por ellas.

Experimentos aleatorios: se caracterizan porque sus resultados pueden variar, incluso siel experimento se realiza bajo identicas condiciones iniciales. Serıan ejemplos de este tipode experimentos el lanzamiento de una moneda, la extraccion de una bola de una urna,etc.

Ası, podemos definir un experimento aleatorio como aquel que satisface las siguientescondiciones:

Todos sus posibles resultados son conocidos por anticipado.

Puede repetirse sucesivamente en las mismas condiciones.

Bajo las mismas condiciones, puede dar lugar a distintos resultados.

No puede preverse su resultado en una experiencia particular.

Comenzaremos definiendo una serie de conceptos basicos asociados a un experimento alea-torio (espacio muestral y suceso). Senalaremos el paralelismo entre suceso y conjuntos; endefinitiva, siempre podra identificarse un suceso con un subconjunto del espacio muestral, loque nos permitira hacer uso de la Teorıa de Conjuntos para especificar las relaciones entresucesos en terminos de operaciones entre conjuntos.

Seguidamente, introduciremos dos estructuras de conjuntos, algebra y σ-algebra, siendo estaultima la que constituye el soporte material sobre el que se define la funcion de probabilidad.

2.1. Espacio muestral

• Si consideramos un experimento aleatorio arbitrario, cada uno de sus posibles resultadosindescomponibles en otros mas simples (de forma que no pueden ocurrir dos simultaneamente,pero sı uno necesariamente) se denomina resultado elemental, suceso elemental o puntomuestral.



• El conjunto formado todos los sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio se ledenomina espacio muestral y se le designa por Ω. Por ejemplo, en el experimento aleatorioconsistente en lanzar un dado, el espacio muestral es Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

• El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio puede ser de tres tipos, dependiendode su cardinal:

Espacio muestral finito, cuando tiene un numero finito de elementos. Por ejemplo,en el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, el espacio muestral es finitoΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Espacio muestral infinito numerable, si tiene un numero infinito numerable de ele-mentos; o, dicho de otra forma, si se puede establecer una aplicacion biyectiva entre loselementos del espacio muestral y los numeros naturales.

Como ejemplo de un espacio muestral infinito numerable, consideremos el experimentoaleatorio consistente en lanzar un dado hasta que aparezca un 1. En este caso el espaciomuestral es

Ω = 1, 21, 31, 41, 51, 61, 221, 231, 241, 251, 261, 321, 331, 341, 351, 361, 421, 431,441, 451, 461, 521, 531, 541, 551, 561, 621, 631, 641, 651, 661, 2221, 2231, . . .

Si consideramos como elementos del espacio muestral el numero de lanzamientos necesa-rios hasta obtener un 1, entonces se tiene

Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .

Tambien se suele llamar espacio muestral discreto indistintamente a los casos finito einfinito numerable.

Espacio muestral continuo, si tiene un numero infinito no numerable de elementos.Es decir, si no se puede establecer una correspondencia biunıvoca entre los elementos delespacio muestral y los numeros naturales. Por ejemplo, si lanzamos un dardo a un dianay estamos interesados en la posicion que ocupara el dardo que puede ser cualquier puntode la superficie de la diana; en este caso, el espacio muestral es

Ω = todos los puntos de la superficie de la diana.

Otro ejemplo, serıa la observacion de la duracion de una bombilla; en este caso Ω = R+

2.2. Sucesos

En ocasiones, podemos no estar interesados en el resultado elemental que aparece en la reali-zacion de un experimento aleatorio, sino que nuestro interes se centrara en alguna caracterıstica



concreta que puede consistir en mas de un suceso elemental. Por ejemplo en el experimentoaleatorio de lanzar un dado, consideramos el hecho de que salga un numero par.

Llamaremos suceso aleatorio o simplemente suceso a cualquier caracterıstica, hecho oproposicion logica que pueda formularse en relacion a un experimento aleatorio, cuya ocurrenciao no pueda ser observada tras la realizacion del experimento. Ası, todo suceso puede identificarsecon un subconjunto del espacio muestral, el conjunto de resultados o sucesos elementales cuyaaparicion implica la ocurrencia del suceso. Esta identificacion de un suceso con un subconjuntodel espacio muestral hace posible el uso de la Teorıa de Conjuntos para especificar las relacionesy operaciones entre sucesos.

Cabe destacar, en principio, cuatro tipos de sucesos, segun el numero de elementos que loconstituyan:

Suceso elemental, suceso simple o punto muestral es cada uno de los resultadosposibles del experimento aleatorio; es decir, un suceso elemental consta de un solo elementodel espacio muestral Ω.

Suceso compuesto, es el que consta de dos o mas sucesos elementales.

Suceso seguro, cierto o universal, es aquel que ocurre siempre. Consta de todos lossucesos elementales del espacio muestral y se identifica con el espacio muestral total Ω.

Suceso imposible, es el que no ocurre nunca. No contiene ningun elemento del espaciomuestral y se identifica con ∅.

Ejemplo.- Supongamos el experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el numero queaparece. El espacio muestral es Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y algunos posibles sucesos son

A1 = que aparezca el 1 = 1A2 = que aparezca un numero par = 2, 4, 6A3 = que aparezca un numero mayor que 4 = 5, 6A4 = que aparezca un numero mayor que 6 = ∅A5 = que aparezca un numero entre 1 y 6 = Ω

El suceso A1 es simple, los sucesos A2 y A3 son compuestos, el suceso A4 es el suceso imposibley A5 el suceso seguro.

Nota.- Observemos que el suceso aparecer un numero mayor que 8 sera un suceso que, enprincipio, podrıa parecer distinto de A4; sin embargo, en la practica se identifica con el mismosubconjunto del espacio muestral.

2.3. Operaciones y relaciones entre sucesos

Como ya hemos indicado, la identificacion de un suceso con un subconjunto del espaciomuestral hace posible el uso de la Teorıa de Conjuntos para especificar matematicamente lasrelaciones y operaciones entre sucesos.

Recordamos a continuacion las ideas y notaciones basicas de la Teorıa de Conjuntos enrelacion a los sucesos asociados a un experimento aleatorio.



Las operaciones basicas entre conjuntos: complementacion, union e interseccion, equivalen,en el lenguaje probabilıstico a la no ocurrencia de un suceso, la ocurrencia alternativa y a laocurrencia simultanea, respectivamente.

Suceso complementario o contrario. Dado un suceso A, se define el suceso complementarioo contrario de A como aquel suceso que ocurre si y solo si no ocurre el suceso A; o bien, es elsuceso constituido por los sucesos elementales del espacio muestral Ω que no pertenecen a A.Lo notaremos por A.Su representacion viene dada por

Si consideramos el suceso

A = obtener un numero par = 2, 4, 6

el suceso complementario es

A = 1, 3, 5 = obtener un numero impar.

Propiedades

∅ = Ω

Ω = ∅

A = A

Union de sucesos. Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define la unionde ambos sucesos como aquel suceso que ocurre siempre que ocurra el suceso A, o el B o ambosa la vez y se denota por A ∪ B. Esta compuesto por los sucesos elementales que pertenecen aA, o a B o a ambos a la vez.Graficamente usando un diagrama de Venn se representa como



Por ejemplo, dados los sucesos

A = obtener un numero impar al lanzar un dadoB = obtener un numero mayor que 4

el suceso union sera

A ∪B = 1, 3, 5 ∪ 5, 6 = 1, 3, 5, 6.

Propiedades

Conmutativa A ∪B = B ∪ A

Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

Idempotente A ∪ A = A

A ∪ A = Ω

A ∪ Ω = Ω

A ∪ ∅ = A

En general, dados n sucesos A1, A2, . . . , An, su union A1∪A2∪· · ·∪An =n⋃

i=1

Ai es aquel suceso

que ocurre cuando ocurre al menos uno de los sucesos Ai. Esta constituido por los resultados osucesos elementales que pertenecen al menos a uno de los sucesos Ai, i = 1, 2, . . . , n, es decir,el suceso que ocurre cuando ocurre al menos uno de los sucesos Ai.

De manera analoga se puede definir la union para un numero infinito numerable o no numerablede sucesos.



Interseccion de sucesos. Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se definela interseccion de ambos sucesos como aquel suceso que ocurre cuando ocurren A y B si-multaneamente y se denota por A ∩ B. Esta constituido por los resultados elementales quepertenecen simultaneamente a A y a B.Graficamente usando un diagrama de Venn se representa como

Por ejemplo, dados los sucesos

A = obtener un numero impar al lanzar un dadoB = obtener un numero mayor que 4

el suceso interseccion sera

A ∩B = 1, 3, 5 ∩ 5, 6 = 5.

Propiedades

Conmutativa A ∩B = B ∩ A

Asociativa A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Idempotente A ∩ A = A

A ∩ A = ∅

A ∩ Ω = A

A ∩ ∅ = ∅

DistributivaA1 ∪ (A2 ∩ A3) = (A1 ∪ A2) ∩ (A1 ∪ A3)A1 ∩ (A2 ∪ A3) = (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A3)



Leyes de De MorganA ∪B = A ∩B

A ∩B = A ∪B

En general, dados n sucesos A1, A2, . . . , An, su interseccion A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An =n⋂

i=1

Ai es otro

suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen a todos los sucesosAi, i = 1, 2, . . . , n, es decir, el suceso que ocurre cuando ocurren todos los sucesos Ai.De manera analoga se puede definir la interseccion para un numero infinito numerable o nonumerable de sucesos.En este caso las leyes de De Morgan quedan

n⋃i=1

Ai =n⋂

i=1

Ai

n⋂i=1

Ai =n⋃

i=1

Ai

o bien,∞⋃i=1

Ai =∞⋂i=1

Ai

∞⋂i=1

Ai =∞⋃i=1

Ai

Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define ladiferencia A−B como aquel suceso que ocurre siempre que ocurra A y no ocurra B. Esta cons-tituido por los sucesos elementales que pertenecen a A y no pertenecen a B.Su representacion viene dada por

Ademas, la diferencia de dos sucesos se puede expresar como

A−B = A ∩B.

Observemos que no se cumple la propiedad conmutativa



A−B 6= B − A

ni la asociativa

(A−B)− C 6= A− (B − C)

y que el complementario de un suceso se puede expresar en terminos de diferencias como

A = Ω− A

Por ejemplo, dados

A = que aparezca el 2 o el 4 = 2, 4B = que aparezca un numero par = 2, 4, 6

la diferencia B − A es

B − A = 6.

Diferencia simetrica de sucesos. Dados dos sucesos A y B, se define la diferencia simetricaA4B como el suceso que ocurre si ocurre uno y solo uno de los dos. Esta constituido por lossucesos elementales de B que no estan en A y los de A que no estan en B

A4B = (A−B)U(B − A)

Su representacion viene dada por

Esta operacion cumple la propiedad conmutativa pero no la asociativa.

Suceso contenido en otro. Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, diremosque el suceso A esta contenido en B, y lo notaremos por A ⊂ B si siempre que ocurre



el suceso A, tambien ocurre el suceso B. En la identificacion con conjuntos, si cada sucesoelemental perteneciente a A pertenece tambien a B, es decir. Por ejemplo, dados

A = que aparezca el 2 o el 4 = 2, 4B = que aparezca un numero par = 2, 4, 6

entonces A ⊂ B. Tambien se dice que A implica B y se denota por A⇒ B.

Igualdad de sucesos. Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, diremos que soniguales si siempre que ocurre el suceso A ocurre el suceso B y siempre que ocurre el suceso Bocurre el suceso A y lo notaremos por A = B. Es decir, se verifica

A = B ⇐⇒A ⊂ BB ⊂ A

En la identificacion con conjuntos coincide con la definicion de igualdad de conjuntos, es decir,dos sucesos seran iguales si contienen exactamente los mismos puntos muestrales. Por ejemplo,los sucesos

A = obtener un numero par al lanzar un dadoB = obtener un 2, 4 o 6

son iguales.

Ademas, son de interes los siguientes conceptos:

Sucesos disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes.Dos sucesos A y B son disjuntos o incompatibles si no pueden ocurrir simultaneamente; o

bien, dicho de otra forma, si siempre que ocurre uno de los sucesos no se verifica el otro, o sea,la ocurrencia de uno excluye la posibilidad de que ocurra el otro.

En terminos de conjuntos, dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, diremos queson disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes si su interseccion es el suceso imposibleA ∩B = ∅, es decir, si no tienen ningun suceso elemental en comun.Graficamente, su representacion es



En el ejemplo considerado del lanzamiento de un dado los sucesos

A = obtener un numero imparB = obtener un numero par

verifican A ∩B = ∅, es decir, son excluyentes o disjuntos.En general, dados n sucesos A1, A2, . . . , An diremos que son mutuamente excluyentes, dis-juntos o incompatibles dos a dos, si cada pareja de sucesos son mutuamente excluyentes,es decir, si

Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j (i, j = 1, 2, . . . , n).

Sistema exhaustivo de sucesos. Si los sucesos A1, A2, . . . , An son tales que verifican que launion de ellos es igual al espacio muestral

A1 ∪ A2 ∪ · · ·An = Ω

se dice que forman una coleccion o sistema exhaustivo de sucesos.

Sistema completo de sucesos o particion del espacio muestral. Si un conjunto de sucesosconstituyen un sistema exhaustivo de sucesos y, ademas, son mutuamente excluyentes entonces,se dice que forman un sistema completo de sucesos o una particion de E. Por ejemplo, elconjunto formado por todos los sucesos elementales constituye un sistema completo o particionde Ω.

Ejemplo.Sean A1, A2 y A3 tres sucesos de un espacio muestral Ω. Expresar los siguientes sucesos en

terminos de ellos.

1) Los tres sucesos ocurren: A1 ∩ A2 ∩ A3.

2) No ocurre ninguno de los tres: A1 ∩ A2 ∩ A3, que usando las leyes de Morgan se puedeescribir tambien como A1 ∪ A2 ∪ A3.

3) Exactamente ocurre uno: (A1 ∩ A2 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3) ∩ (A1 ∩ A2 ∩ A3)

4) Exactamente ocurren dos: (A1 ∩ A2 ∩ A3) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3) ∩ (A1 ∩ A2 ∩ A3)

5) Ocurre A1 y A2 o A3, pero no ambos: A1 ∩ (A2 ∪ A3) ∩ (A2 ∩ A3) = A1 ∩ (A24A3)

6) Ocurre A2 o A3 pero no A1: A1 ∩ (A2 ∪ A3)



2.4. Algebra y σ-algebra de sucesos

• En ciertas ocasiones, al considerar un experimento aleatorio, podemos no estar interesadosen calcular la probabilidad de cualquier subconjunto del espacio muestral sino que solo serande interes una determinada familia de sucesos. La finalidad de la definicion axiomatica de laprobabilidad es formalizar la asignacion de probabilidades a los sucesos de interes, de modo queesta asignacion de probabilidades sea consistente con las operaciones logicas de sucesos. Paraello es necesario dotar de una estructura algebraica adecuada a la familia de sucesos a los quese va a aplicar la probabilidad.

• Antes de definir las estructuras basicas (algebra para espacios muestrales finitos y σ-algebrapara espacios muestrales arbitrarios) definiremos una Clase de conjuntos a un conjuntocuyos elementos son conjuntos, esto es, dado un espacio arbitrario Ω, una clase de conjuntosde Ω sera un subconjunto de P(Ω) (partes de Ω, esto es, el conjunto formado por todos lossubconjuntos de el). Se dice que una clase de conjuntos es cerrada para una determinadaoperacion si al realizar dicha operacion con elementos de la clase, el resultado sigue siendo unelemento de la clase. A una clase de conjuntos del espacio muestral asociado a un experimentoaleatorio se le denomina clase de sucesos.

Algebra de Boole (Campo). Una clase no vacıa de conjuntos de Ω, A ⊂ P(Ω), tieneestructura de Algebra de sucesos o Algebra de Boole, si es cerrada para uniones finitasy para la operacion de complementario, esto es, si

1. ∀A ∈ A se verifica que su complementario A ∈ A.

2. ∀A1, A2, . . . An ∈ A se verifica que A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An =n⋃

i=1

Ai ∈ A.

De estas propiedades se deducen las siguientes

a) El espacio muestral Ω ∈ A. En efecto, dado un suceso A ∈ A, por la condicion 1 severifica que A ∈ A y por la condicion 2, A ∪ A = Ω ∈ A.

b) El suceso imposible ∅ ∈ A. En efecto, Ω = ∅

c) En funcion de las leyes de De Morgan, la condicion 2 se puede intercambiar por:

∀A1, A2, . . . An ∈ A se verifica

A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An =n⋂

i=1

Ai ∈ A

d) Si A,B ∈ A, entonces

• A−B = A ∩B ∈ A• A4B = (A−B) ∪ (B − A) ∈ A



Si extendemos las propiedades de ser cerrada para uniones o intersecciones finitas al caso infinitonumerable aparece una nueva estructura algebraica que recibe el nombre de σ− algebra.

σ-ALGEBRA (σ-CAMPO). Diremos que una clase de sucesos no vacıa, A ⊂ P(Ω), tiene es-tructura de σ-algebra si se verifica que es cerrada para complementarios y uniones numerables,esto es, si verifica las condiciones:

1. ∀A ∈ A se verifica que su complementario A ∈ A.

2. Dada una coleccion numerable de sucesos, Aii∈N ⊂ A, se verifica que

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · =∞⋃i=1

Ai ∈ A.

De la misma forma que en el caso de algebra se puede comprobar que el vacıo y el totalpertenecen a cualquier σ−algebra, y que, aplicando las leyes de De Morgan, la condicion 2 sepuede intercambiar con la condicion de ser una clase cerrada para intersecciones numerables.Notemos ademas que toda σ-algebra es un algebra.

Por ultimo, al par formado por un espacio muestral Ω y una clase de conjuntos A con estruc-tura de σ−algebra, esto es (Ω,A), se le denomina espacio medible y a los conjuntos de A,conjuntos medibles. Estudiaremos como es posible definir sobre esta estructura una medida,y en particular, una medida de probabilidad.

Observemos previamente que es posible tener espacios medibles distintos asociados a unmismo espacio Ω. Por ejemplo

Ω = 1, 2, 3, 4

A = ∅,Ω, 1, 2, 3, 4 A′ = ∅,Ω, 1, 2, 3, 4

Entonces (Ω,A) es un espacio medible distinto de (Ω,A′)

Si recordamos la definicion de suceso: caracterıstica, hecho o proposicion logica de interes enrelacion a un experimento aleatorio, cuya ocurrencia o no pueda ser observada tras la realizaciondel experimento, desde una perspectiva intuitiva notamos que la clase de sucesos a consideraren un experimento aleatorio debe tener estructura de algebra (en espacios muestrales finitos)o de σ-algebra (en espacios muestrales infinitos). En efecto, si A es un suceso (nos interesamospor su ocurrencia o no) tambien lo sera A, cuya ocurrencia o no esta totalmente determinadapor la de A. Por otra parte, si Ann es una coleccion numerable de sucesos, tambien puede serde interes el hecho de que ocurra o no alguno de esos sucesos, esto es,

⋃nAn debe ser tambien

un suceso.



3. Distintas concepciones de Probabilidad

Debemos indicar desde un principio que no existe en la actualidad una definicion universaldel concepto probabilidad. De hecho, a lo largo de la historia se han dado diferentes interpre-taciones y definiciones de este concepto y aun hoy en dıa existe una gran controversia entrelos probabilistas sobre como debe interpretarse la probabilidad y dar una definicion formal deacuerdo a la interpretacion, ası como el tipo de situaciones a las que debe aplicarse. Antes deestablecer la definicion axiomatica de probabilidad, que nos proporcionara las bases para eldesarrollo matematico formal de la Teorıa de la Probabilidad (que sera nuestro objetivo en estecurso) vamos a exponer dos de las interpretaciones mas significativas mas significativas de laprobabilidad, cada una de las cuales, como veremos, es apropiada para aplicar la Teorıa de laProbabilidad a distintas situaciones.

3.1. Concepcion clasica: Regla de Laplace (1812)

Consideremos un experimento aleatorio con un numero finito de posibles resultados (espaciomuestral finito) de forma que todos ellos sean igualmente factibles, esto es, todos tienen la mismaposibilidad de aparecer en una realizacion particular del experimento.

Sea A un suceso arbitrario asociado al experimento, que se puede presentar en m de los nposibles resultados del experimento. Se define la probabilidad del suceso A como

P (A) =m

n=

numero de resultados favorables

numero de resultados posibles.

Esta es la denominada Regla de Laplace para el calculo de las probabilidades de los distintossucesos en la situacion descrita previamente.

Ejemplo: Sea A el suceso de que aparezcan los numeros 1 o 2 al lanzar un dado no cargado.Calcular la probabilidad de que ocurra A y de que no ocurra A .

P (A) =2

6P (Ac) =

4

6= 1− 2

6.

Objeciones a la definicion clasica

El espacio muestral ha de ser finito.

Solo es aplicable en el caso de resultados elementales equiprobables.

El concepto de equiprobabilidad se basa, en esencia, en el concepto de probabilidad quequeremos definir.

Hay que especificar muy bien las distintas alternativas en los resultados del experimentoaleatorio. Por ejemplo, al lanzar dos monedas si se considera XC distinto de CX, alsuceso “obtener dos caras” se le asignarıa una probabilidad de 1/4 mientras que si no sedistinguen se le asignara, de forma incorrecta, una probabilidad de 1/3.



3.2. Concepcion frecuentista

La concepcion frecuentista de la probabilidad se desarrollo a partir de las crıticas realizadasa la definicion clasica de Laplace que acabamos de comentar.

La definicion fue formalmente establecida por R. von Mises en 1928, y se basa en el con-cepto de frecuencia relativa de un suceso asociado a un experimento aleatorio que se repitesucesivamente bajo identicas condiciones.

Si se realizan N repeticiones de un experimento, y un determinado suceso A se ha presentadoen NA ocasiones, se define la frecuencia relativa de A en las N pruebas como

fN(A) =NA

N.

Supongamos que el numero de realizaciones del experimento crece indefinidamente y consi-deremos la sucesion de frecuencias relativas de A:

fN(A), fN+1(A), . . . , fN+k(A), . . .

Estas frecuencias relativas tienden a aproximarse a un valor fijo cuando aumenta el numero derepeticiones del experimento, lo que se conoce como principio de estabilidad o regulari-dad de las frecuencias. De hecho, la teorıa frecuentista asegura que existe el lımite de esasfrecuencias relativas, y define la probabilidad de un suceso como dicho lımite; esto es,

P (A) = lımN→∞

fN(A)

Objeciones a la definicion frecuentistaLas principales crıticas a esta definicion se refieren a su irrelevancia en la realidad.Se define la probabilidad como lımite de frecuencias cuando el numero de pruebas crece inde-

finidamente. Ya que en la realidad, no puede asegurarse la existencia de una sucesion ilimitadade repeticiones identicas de un experimento, nunca podra saberse si existe una probabilidad(el lımite de las frecuencias), cuanto vale (no hay una indicacion clara del numero de pruebasque deben realizarse para obtener la probabilidad de un suceso) o si el valor asignado a unaprobabilidad es o no correcto.

Otra de las crıticas frecuentes a esta definicion de probabilidad se refiere a su alcance.Aunque, indudablemente, esta definicion cubre un gran numero de situaciones practicas, nopuede aplicarse a situaciones en las que no pueda realizarse un gran numero de pruebas.

De hecho, no puede aplicarse para calcular probabilidades de sucesos individuales no sus-ceptibles de repeticion como, por ejemplo, que gane uno u otro equipo al disputar un partido,si un determinado proyecto de investigacion va a concluir con exito, si manana llovera, etc..

Hay que indicar, no obstante, que por su base empırica, esta concepcion esta ampliamenteaceptada en distintas ciencias experimentales.



4. Definicion axiomatica de probabilidad (Kolmogorov, 1932)

Es, quizas, la mas simple de todas las definiciones y, de hecho, la menos controvertida yaque se basa en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mınimos para dar unadefinicion de probabilidad.

La principal ventaja de esta definicion es que permite llegar a un desarrollo matematicoriguroso de la Teorıa de la Probabilidad y, por otra parte, la definicion es tan general que permiteincorporar las distintas interpretaciones de probabilidad que se han mencionado anteriormente.Esto es, la probabilidad definida segun cada una de las concepciones anteriores, satisface losaxiomas de probabilidad de Kolmogorov.

Definicion Dado un espacio muestral Ω asociado a un determinado experimento aleatorioy una clase de conjuntos de Ω con estructura de σ−algebra, A, (esto es, (Ω,A) un espaciomedible) se define una funcion de probabilidad, medida de probabilidad o simplementeprobabilidad como una funcion de conjunto P definida sobre A y con valores en [0, 1]

P : A −→ R

que verifica los siguientes axiomas:

I. Axioma de no negatividad

P (A) ≥ 0, ∀A ∈ A

II. Axioma del suceso seguro

P (Ω) = 1

III. Axioma de σ−aditividad o aditividad numerable

Dada una coleccion numerable de sucesos, Aii∈N ⊂ A, incompatibles dos a dos, es decir,

Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j,

entonces

P

(∞⋃i=1

Ai

)=

∞∑i=1

P (Ai).

Ası, P (A) ∀A ∈ A denota la probabilidad del suceso A.A la terna formada por el espacio muestral Ω, la σ−algebra A y la probabilidad P , (Ω,A, P )se le denomina espacio probabilıstico o espacio de probabilidad.

Es facil comprobar que las definiciones de probabilidad clasica y frecuentista satisfacen losaxiomas de Kolmogorov.



4.2. Propiedades: Consecuencias de la definicion axiomatica de la probabilidad

I. Reglas para calcular probabilidades de sucesos expresados en terminos de otros

I1. La probabilidad del suceso imposible es nula:

P (∅) = 0.

I2. Aditividad finita

A1, . . . , An ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j ⇒ P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai).

I3. Para cualquier suceso A ∈ A se verifica que la probabilidad de su complementario P (Ac)es

P (Ac) = 1− P (A).

I4. Para dos sucesos cualesquiera A,B ∈ A se verifica que

P (A−B) = P (A)− P (A ∩B).

I5. Para dos sucesos cualesquiera A,B ∈ A, con A ⊂ B,

P (A−B) = P (A)− P (B).

I6. Regla de adicion: Para dos sucesos cualesquiera A,B ∈ A se verifica que

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

I7. Principio de inclusion-exclusion

Sean A1, A2, . . . , AN ∈ A, entonces

P

(N⋃i=1

Ai

)=

N∑i=1

P (Ai)−N∑i<j

P (Ai∩Aj)+N∑

i<j<k

P (Ai∩Aj∩Ak)+. . .+(−1)N+1P

(N⋂i=1

Ai

)

II. Otras propiedades

II1. Para cualquier suceso A ∈ A, se verifica que 0 ≤ P (A) ≤ 1.



II2. Monotonıa: La probabilidad P es monotona no decreciente, es decir

∀A,B ∈ A, con A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B).

II3. Subaditividad:

i) Dados A1, A2, . . . , AN ∈ A se verifica

P

(N⋃i=1

Ai

)≤

N∑i=1

P (Ai)

ii) Dada una coleccion numerable de sucesos Aii∈N ⊂ A se verifica

P

(∞⋃i=1

Ai

)≤

∞∑i=1

P (Ai)

II4. Desigualdad de Bonferroni

Sean A1, A2, . . . , AN ∈ A, entonces

P

(N⋃i=1

Ai

)≥

N∑i=1

P (Ai)−N∑

i,j=1i<j

P (Ai ∩ Aj).

II5. Desigualdad de Boole

i) Dados A1, A2, . . . , AN ∈ A se verifica

P

(N⋂i=1

Ai

)≥ 1−

N∑i=1

P (Aci).

ii) Dada una coleccion numerable de sucesos Aii∈N ⊂ A se verifica

P

(∞⋂i=1

Ai

)≥ 1−

∞∑i=1

P (Aci).

EJEMPLO 1

Sean los sucesos A, B y C con probabilidades P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 y P (C) = 1/4 ysupongamos que P (A∩B) = 1/6, que A y C son incompatibles y que B y C son incompatibles.Calcular:

1) Probabilidad de que A y B no ocurran simultaneamente.



2) Probabilidad de que ocurra A pero no B.

3) Probabilidad de que no ocurran ni A ni B.

4) Probabilidad de que ocurra alguno de los tres.

Solucion

1) P(A ∩B

)= 1− P (A ∩B) = 1− 1/6 = 5/6.

2) P(A ∩B

)= P (A−B) = P (A− (A ∩B)) = P (A)− P (A ∩B) = 1/2− 1/6 = 2/6 = 1/3.

3) P(A ∩B

)= P

(A ∪B

)= 1−P (A∪B) = 1−P (A)−P (B)+P (A∩B) = 1−1/2−1/3+1/6 =

2/6 = 1/3.

4) P (A∪B∪C) = P (A) +P (B) +P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C) +P (A∩B∩C) =1/2 + 1/3 + 1/4− 1/6− 0− 0 + 0 = 11/12

EJEMPLO 2

La probabilidad de que un estudiante A apruebe un determinado examen es 0.7, la de otroestudiante B es 0.5 y la probabilidad de que aprueben los dos es 0.4. Obtener las probabilidadesde los siguientes sucesos:

1) Que apruebe al menos uno de los dos.

2) Que no apruebe ninguno.

3) Que solo apruebe uno.

Solucion

En primer lugar, notamos los sucesos

A : que apruebe el alumno AB : que apruebe el alumno B

1) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0.7 + 0.5− 0.4 = 0.8

2) P (A ∩B) = 1− P(A ∩B

)= 1− P (A ∪B) = 0.2

3) P((A ∩B) ∪ (A ∩B)

)= P (A ∩B) + P (A ∩B)

Por una parteP (A ∩B) = P (A)− P (A ∩B) = 0.7− 0.4 = 0.3

y, por otraP (A ∩B) = P (B)− P (A ∩B) = 0.5− 0.4 = 0.1

de donde se deduce



P((A ∩B) ∪ (A ∩B)

)= 0.4

5. Asignacion de probabilidades

5.1. Espacios muestrales discretosLa probabilidad de un suceso proporciona una medida del grado de incertidumbre de dicho

suceso.

Hasta ahora conocemos las reglas (axiomas) que debe cumplir una funcion de probabilidadpero no disponemos de un metodo general que permita asignar una probabilidad a cada suceso.

Este es un problema que conecta directamente con la interpretacion de la probabilidadsegun las distintas concepciones. Ası, bajo una perspectiva clasica, el metodo para asignarprobabilidades es la Regla de Laplace, y bajo la perspectiva frecuentista las probabilidades sedeterminan a partir de las frecuencias relativas.

Todas estas concepciones son compatibles con los axiomas de Kolmogorov y, segun hemosvisto en los ejemplos anteriores, las propiedades de la probabilidad permiten calcular proba-bilidades de sucesos que puedan expresarse en terminos de otro, una vez que se conocen lasprobabilidades de los primeros, denominadas probabilidades iniciales.

Existen casos en los que no es preciso realizar una asignacion de probabilidad a cada suceso,sino que un conjunto de probabilidades iniciales determina la probabilidad de cualquier suceso.Esto ocurre en los espacios muestrales discretos en los que basta asignar una probabilidad acada suceso elemental con la condicion de que la suma de todas ellas sea la unidad.

En efecto, cada suceso se puede expresar como union disjunta de los resultados elementalesque lo constituyen y, al ser el espacio muestral discreto, dicha union ser finita o, a lo sumo,numerable. Entonces, a partir de la probabilidad de los sucesos elementales, por la propiedad deσ-aditividad, queda determinada la probabilidad de cada suceso.

Vamos a exponer a continuacion un metodo de asignacion, que se denomina asignacionuniforme, aplicable a espacios muestrales finitos, que conduce a la definicion clasica de proba-bilidad. La extension de este metodo a espacios muestrales continuos conduce a las denominadasprobabilidades geometricas.

Asignacion uniforme en espacios finitos

Ω = a1, . . . , an, A = P(Ω)

Si no hay razon para suponer que un suceso elemental sea mas probable que otro, todos debentener la misma probabilidad P (ai) = p, i = 1, . . . , n y, entonces,

P (Ω) =n∑

i=1

P (ai) = np = 1 =⇒ p =1

n

Con estas probabilidades iniciales queda determinada la probabilidad de cualquier suceso



A = ai1 , . . . , aim =⇒ P (A) =∑aij∈A

P (aij) = mp =m

n

es decir, la Regla de Laplace. Entonces, el calculo de la probabilidad de un suceso se reduceal conteo del numero de elementos que tiene ese suceso. A este efecto, hemos recordamos lasnociones basicas de Combinatoria.

5.2. Probabilidad Geometrica

En todo espacio muestral continuo donde se pueda definir una medida de forma que elpropio espacio muestral tenga medida finita (tal como longitud, area, volumen, etc..) es posibleestablecer espacios probabilısticos equiprobables, asignando igual probabilidad a conjuntos conla misma medida.

En estos espacios, se define la probabilidad de un suceso A como la razon:

P (A) =medida(A)

medida(Ω).

Estas probabilidades se conocen con el nombre de probabilidades geometricas.Ası, por ejemplo, la probabilidad de que al seleccionar un numero real cualquiera en el

intervalo [0, 1], este sea mayor que 1/3, sera el cociente entre la longitud del intervalo [1/3, 1] yla del propio espacio muestral [0, 1]; esto es, 2/3.

EJEMPLO 3

Se considera un dado cargado de forma que la probabilidad de que salga un numero es direc-tamente proporcional a dicho numero. Sea A el suceso “salir numero par”, B el suceso “salirnumero primo” y C el suceso “salir numero impar”.

1) Calcular la probabilidad de cada suceso elemental.

2) Calcular P (A), P (B) y P (C).

3) Calcular la probabilidad de que salga un numero par o primo.

4) Calcular la probabilidad de que salga un numero par pero no primo.

Solucion

1) El espacio muestral es

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

y las probabilidades de cada suceso elemental son

Pn = kn n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

de forma que



P (Ω) = k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1

es decir

6 + 1

26k = 21k = 1 ⇒ k =

1

21

Por tanto

Pn =n

21n = 1, 2, 3, 4, 5, 6

2)

P (A) = P (2, 4, 6) =2

21+

4

21+

6

21=

12

21

P (B) = P (1, 2, 3, 5) =1

21+

2

21+

2

21+

5

21=

11

21

P (C) = P (1, 3, 5) =1

21+

3

21+

5

21=

9

21

3) P (1, 2, 3, 4, 5, 6) = 1

4) P (4, 6) =10

21


tema 3 espacios de probabilidad: de nici on axiom … · de experimentos el lanzamiento de una...

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