II. PROBABILIDADII. PROBABILIDAD

MTRO. FRANCISCO JAVIER CRUZ MTRO. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZAARIZA

PROBABILIDADPROBABILIDAD

�� Es una medida numEs una medida numéérica rica que refleja la posibilidad que refleja la posibilidad de que ocurra un evento.de que ocurra un evento.

�� Permite obtener Permite obtener conclusiones sobre las conclusiones sobre las caractercaracteríísticas de la sticas de la variable de una poblacivariable de una poblacióónn

PROBABILIDADPROBABILIDAD

�� ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTOEXPERIMENTO

No. total de posibles resultados

No. de resultados donde ocurre el evento

P(E) =

P(E) =n(E)

n(S)

POSTULADOS BPOSTULADOS BÁÁSICOSSICOS

�� El rango de probabilidad de El rango de probabilidad de ocurrencia de un evento, es de 0 a 1; ocurrencia de un evento, es de 0 a 1; es decir, del 0% al 100%.es decir, del 0% al 100%.

�� La suma de todos los posibles La suma de todos los posibles resultados del experimento (espacio resultados del experimento (espacio muestral) es siempre igual a 1.muestral) es siempre igual a 1.

EXPRIMENTO ALEATORIOEXPRIMENTO ALEATORIO

� Se conocen con antelación todos los posibles resultados.

� No se sabe lo que ocurrirá en cada experiencia particular.

� Se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones.

Un EventoEvento es

la colección de

u n o o m á s

resultados del

e xpe r imen to

Un ResultadoResultado es

el valor particular

d e u n

e x p e r im e n t o .

Experimento:Experimento: lanzar un dadolanzar un dado..

Posibles resultados: Los Posibles resultados: Los

nnúúmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 meros 1, 2, 3, 4, 5, 6

Un posible evento: La Un posible evento: La

ocurrencia de algocurrencia de algúún nn núúmero mero

en especen especíífico. Por ejemplo, fico. Por ejemplo,

que sea par: 2, 4, y 6.que sea par: 2, 4, y 6.

Los eventos son

Independientesndependientes si la ocurrencia de algún evento no

afecta la ocurrencia de algún

otro.

Los eventos pueden

ser MMúútuamente tuamente

ExcluyentesExcluyentes si la ocurrencia de algún

evento significa que

ningún otro pueda

suceder al mismo

tiempo.

MMúútuamente excluyentes: tuamente excluyentes:

Si el dado cae en 2, se Si el dado cae en 2, se

excluyen los valores 1, 3, excluyen los valores 1, 3,

4, 5, 6 como resultados 4, 5, 6 como resultados

alternos.alternos.

Independencia: Si el dado

cae en 2 al primer

lanzamiento, no influye que

en el siguiente tiro caiga un

3. Sigue habiendo una

probabilidad de uno a 6.

Dos Eventos son IndependientesIndependientes si el resultado de uno de ellos no influye en el r e s u l t a d o d e l o t r o .

EJEMPLOS DE APLICACIEJEMPLOS DE APLICACIÓÓN I.N I.

�� Tasas de mortandad Tasas de mortandad para cpara cáálculo de lculo de ppóólizas de seguros.lizas de seguros.

�� PredicciPrediccióón de niveles n de niveles de venta.de venta.

�� PredicciPrediccióón de tiempos n de tiempos de realizacide realizacióón de n de proyectos proyectos empresariales.empresariales.

EJEMPLOS DE APLICACIEJEMPLOS DE APLICACIÓÓN II.N II.

�� EstimaciEstimacióón de n de segmentos de segmentos de mercado.mercado.

�� Toma de decisiones Toma de decisiones en materia de en materia de inversiinversióón.n.

EXPERIMENTOS PROBABILEXPERIMENTOS PROBABILÍÍSTICOSSTICOS

EXPERIMENTO O EXPERIMENTO O ACONTECIMIENTOACONTECIMIENTO

POSIBLES POSIBLES RESULTADOSRESULTADOS

Prueba de degustaciPrueba de degustacióón de un n de un productoproducto

Es aceptado / es rechazadoEs aceptado / es rechazado

CampaCampañña publicitaria de un a publicitaria de un artartíículoculo

Aumentan las ventas / quedan Aumentan las ventas / quedan igual /disminuyenigual /disminuyen

Estudio de control de calidad de un Estudio de control de calidad de un lote productivolote productivo

Aprobado / no aprobadoAprobado / no aprobado

Monto de las ventas efectuadas a Monto de las ventas efectuadas a crcréédito en un mesdito en un mes

$0 $0 -- $xxx.Xx$xxx.Xx

Invertir en un instrumento de Invertir en un instrumento de inversiinversióónn

Ganar / recuperar la inversiGanar / recuperar la inversióón / n / perderperder

DIMENSIONES DE LA PROBABILIDAD.

ClCláásicasicaaplica

cuando

existen n

posibles

resultados

posibles.

EmpEmpííricarica el

número de veces

que el evento

ocurre se divide

entre el número

de observaciones

SubjetivaSubjetivala

probabilidad

se basa en

cualquier

información

disponible

PROBABILIDAD CLPROBABILIDAD CLÁÁSICASICA

�� Se emplea cuando los resultados Se emplea cuando los resultados experimentales son equiprobablesexperimentales son equiprobables

�� Suponiendo que en un experimento o Suponiendo que en un experimento o suceso se tienen suceso se tienen nn posibles resultados, la posibles resultados, la probabilidad de ocurrencia de cada probabilidad de ocurrencia de cada resultado es de resultado es de 1/1/n.n.

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

�� Un estudio de Un estudio de audiencia de audiencia de televisitelevisióón, referente n, referente al nal núúmero de horas mero de horas por dpor díía que vea que veíían las an las personas en una personas en una localidad surelocalidad sureñña del a del papaíís, aplicado a 50 s, aplicado a 50 personas, arrojpersonas, arrojóó los los siguientes siguientes resultados:resultados:

Horas/ T.V.Horas/ T.V. No. PersonasNo. Personas

00 88

11 2020

22 1212

33 66

44 33

55 11

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Si se selecciona un cuestioSi se selecciona un cuestionarionario al azaral azar, , ¿¿cucuáál es la probabilidad de l es la probabilidad de que laque lapersona veapersona vea……

a)a) 1 hora de 1 hora de tvtv: Como 20 personas, de un : Como 20 personas, de un total de 50, afirmaron ver 1 hora de total de 50, afirmaron ver 1 hora de tvtv: : P(1)= 20/50= 0.40P(1)= 20/50= 0.40��40% 40%

Lo cual implica que el 40% de las Lo cual implica que el 40% de las personas ven personas ven tvtv 1 hora diaria.1 hora diaria.

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

b) 3 horas: P(3)= 6/50= 0.12 b) 3 horas: P(3)= 6/50= 0.12 �� 12%12%

c) 2 horas o menos:c) 2 horas o menos:P(0) + P(1) + P(2) = 8+20+12/50 = P(0) + P(1) + P(2) = 8+20+12/50 = 0.80 0.80 ��80% Por consiguiente, el 80% Por consiguiente, el 20% de la gente entrevistada ve 20% de la gente entrevistada ve tvtvdurante mdurante máás de 2 horas; es decir, 3 s de 2 horas; es decir, 3 horas o mhoras o máás.s.

P(A o B) = P(A) + P(B)

Sean dos eventos

A y B mútuamente

excluyentes, la

ReglaRegla de la de la AdiciAdicióónnestablece que la

Probabilidad de ocurrencia

de A o B se determina

sumando sus respectivas

probabilidades.

LEY ADITIVA I.LEY ADITIVA I.

�� Se aplica cuando tenemos dos eventos y Se aplica cuando tenemos dos eventos y se desea conocer la probabilidad de que se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos. ocurra al menos uno de ellos.

LEY ADITIVA II.LEY ADITIVA II.

�� Supongamos que tenemos los eventos Supongamos que tenemos los eventos ““AA””y y ““BB””. Queremos determinar la . Queremos determinar la probabilidad de que suceda probabilidad de que suceda ““AA”” óó suceda suceda ““BB””; ; óó bien, Sedan bien, Sedan AMBOSAMBOS

LEY ADITIVA IIILEY ADITIVA III

�� La respuesta es fLa respuesta es fáácil: cil: tenemos que determinar tenemos que determinar todos los puntos todos los puntos muestrales que pertenecen muestrales que pertenecen a a ““AA””, a , a ““BB”” o a ambos; lo o a ambos; lo que se conoce en teorque se conoce en teoríía de a de conjuntos como la uniconjuntos como la unióónn(A U B)(A U B)

A B

A U BA U B

LEY ADITIVA IVLEY ADITIVA IV

�� Por otra parte, si quisiPor otra parte, si quisiééramos ramos determinar la probabilidad de determinar la probabilidad de que que sucedan ambossucedan ambosacontecimientos acontecimientos simultsimultááneamenteneamente; es decir ; es decir ““AA”” yy ““BB””, Tendr, Tendrííamos que amos que escoger los puntos comunes escoger los puntos comunes de ambos eventos; o sea, la de ambos eventos; o sea, la intersecciinterseccióónn de estos de estos conjuntos.conjuntos.

A B

A ∩ B

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

�� Supongamos una encuesta aplicada a 50 Supongamos una encuesta aplicada a 50 personas sobre los hpersonas sobre los háábitos de consumo bitos de consumo de refresco de cola.de refresco de cola.

�� Se obtuvieron los siguientes resultados:Se obtuvieron los siguientes resultados:�� 20 prefieren Coca20 prefieren Coca--Cola (C)Cola (C)�� 14 prefieren Pepsi (E)14 prefieren Pepsi (E)�� 5 consumen ambos indistintamente5 consumen ambos indistintamente

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

�� La cardinalidad de La cardinalidad de ““CC”” (n(núúmero de mero de elementos); elementos); nn(c) = 20(c) = 20

�� La cardinalidad de La cardinalidad de ““EE””; ; nn(c) = 20(c) = 20

�� La probabilidad de que a una persona La probabilidad de que a una persona le guste Cocale guste Coca--Cola es de: p(C) = Cola es de: p(C) = 20/50 = 0.4 20/50 = 0.4 ��������40%40%

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

�� La probabilidad de que a una persona La probabilidad de que a una persona le guste Pepsi es de: p(E) = 14/50 = le guste Pepsi es de: p(E) = 14/50 = 0.28 0.28 ��������28%28%

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

C E

15 5 9

21

TOMAN

COCA, PERO

NO PEPSI

TOMAN PEPSI, PERO NO COCA

NO TOMAN NI COCA, NI PEPSI

TOMAN COCA Y PEPSI

NOMENCLATURANOMENCLATURA

�� Toman Coca: Toman Coca: p(C)p(C)

�� Toman Pepsi:Toman Pepsi: p(E)p(E)

�� TomanToman CocaCoca oo PepsiPepsi p(C p(C UU E)E)

�� Toman Coca Toman Coca yy Pepsi: Pepsi: p(Cp(C ∩ E)

� Toman Coca pero no Pepsi: p(C ∩ E’)

� Toman Pepsi pero no Coca: p(C’ ∩ E)

� No toman ninguna: p(C’ ∩ E’)

REPRESENTACIREPRESENTACIÓÓN GRN GRÁÁFICAFICA

C’ ∩ EC ∩ E’

C’ ∩ E’

C ∩ E

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

�� ¿¿CuCuáántas personas consumen ntas personas consumen exlusivamente una marca?exlusivamente una marca?P(C ∩ E’) + P(C’ ∩ E) = 24

• ¿Cuántas personas toman alguno de los dos:P(C U E) = P(C ∩ E’) + P(C ∩ E) + P(C’ ∩ E)=

= 15 + 5 + 9 = 29

�Dos eventos A y B si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

�La regla a seguir es: P(A y B) = P(A)P(B)

La Regla de la MultiplicaciRegla de la Multiplicacióónnrequiere que dos eventos A y B sean

independentes.

5-year stock prices

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5

Year

Stoc

k pr

ice

$

IBM

GE

P(IBM y GE) = (.5)(.7) = .35

Javier tiene 2 acciones, IBM y General Electric (GE). La probabilidad de que las acciones de IBM incrementen su valor este año, es de 0.5, mientras que la probabilidad de que las acciones de GE suban de valor es del 0.7. Ambos eventos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas acciones incrementen su valor este año?

P(al menos una)

= P(IBM pero no GE)

+ P(GE pero no IBM)

+ P(IBM y GE)

(.5)(1-.7) + (.7)(1-.5) + (.7)(.5) = .85

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de

las acciones suba de valor?.

Esto significa que una, la

otra, o ambas, puedan subir de valor

PROBABILIDAD CONDICIONALPROBABILIDAD CONDICIONAL

A

�� Se llama Se llama probabilidad deprobabilidad de AA condicionada acondicionada a BB, o , o probabilidad deprobabilidad de AA sabiendo que pasasabiendo que pasa BB::

)(

)()/(

BP

BAPBAP

∩=

E espacio muestral

B

“tam

año”

de

uno

resp

ect

o a

l otr

o

�� Error frecuente:Error frecuente:�� Probabilidad condicional es distinta a la intersecciProbabilidad condicional es distinta a la interseccióón.n.�� En ambos medimos efectivamente la intersecciEn ambos medimos efectivamente la interseccióón, n, peropero……

�� En P(AEn P(A∩∩B) con respecto a P(E)=1B) con respecto a P(E)=1�� En P(A|B) con respecto a P(B)En P(A|B) con respecto a P(B)

Establece que para dos

eventos, A y B, la

probabilidad conjunta

de ocurrencia de ambos

eventos se obtiene

multiplicando la

probabilidad del evento

A por la probabilidad

condicional de B dado

que A ocurrió.

La Regla Regla General de la General de la MultiplicaciMultiplicacióónnse emplea para

determinar la

probabilidad conjunta

de la ocurrencia de

dos eventos.

La probabilidad conjunta, P(A y B), se determina por la

siguiente fórmula:

P(A y B) = P(A)P(B/A) ó

P(A y B) = P(B)P(A/B)

Especialidad Hombres Mujeres Total

Contaduría 170 110 280

Finanzas 120 100 220

Mercadotecnia 160 70 230

Alta Dirección

150 120 270

Total 600 400 1000

A continuación mostramos la matrícula de alumnos inscritos en distintas especialidades de la FCA:

P(C/M) = P(C y M)/P(M)

= [110/1000]/[400/1000] = .275

Si un estudiante es seleccionado al azar,¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer (M) y estéinscrito en la especialidad en Contaduría (C)?

P(C y M) = 110/1000.

Dado que el estudiante es mujer, cuál es la probabilidad de que estéinscrita en Contaduría?

Ejemplo: Una bolsa contiene 7 fichas rojas y 5 azules. Seleccionamos 2, una detrás de la otra (Sin reemplazo). ¿Cómo podríamos representar este problema en un diagrama de árbol?

Un Diagrama de Diagrama de ÁÁrbolrbol se utiliza para ilustrar problemas de Probabilidad Condicional y Conjunta. Es particularmente util para analizar alternativas en las decisiones de negocios .

DIAGRAMA DE DIAGRAMA DE ÁÁRBOLRBOL

R1

A1

R2

A2

R2

A2

7/12

5/12

6/11

5/11

7/11

4/11

TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES

�� Es un mEs un méétodo para calcular la probabilidad de un todo para calcular la probabilidad de un evento a partir de informacievento a partir de informacióón previa.n previa.

�� Se emplea la siguiente fSe emplea la siguiente fóórmula:rmula:

)/()()/()(

)/()()|(

2211

111

ABPAPABPAP

ABPAPBAP

+

=