tema 2: principios de la electrostáticaprincipios de la...
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Tema 2:Principios de la electrostáticaPrincipios de la electrostática
Antonio González Fernández
ánde
z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
nzál
ez F
erná
P t 5/7
Anto
nio
Gon Parte 5/7
Potencial eléctrico
© 2
010,
A
La circulación del campo electrostático i d di t d l ies independiente del camino
El campo electrostático es irrotacional E 0El campo electrostático es irrotacional E 0
·d ·d ·d 0S S
E r E S 0 SS
La circulación del campo electrostáticoa lo largo de una curva cerrada es nula: Γ
S
ánde
z
La circulación entre dos puntos es
el campo es conservativoΓ1
nzál
ez F
erná La circulación entre dos puntos es
independiente del caminoA B
Γ2
0 d d d d dB A B B
E E E E E
Anto
nio
Gon
1 2 1 2
0 ·d ·d ·d ·d ·dA B A A
E r E r E r E r E r
d d dB B B
E E EEl camino de integración
1 2
© 2
010,
A
21 2
·d ·d ·dA A A
E r E r E r es arbitrario, pero alguno hay que elegir
Definición de potencial eléctrico: i t l d E d d t fijintegral de E desde un punto fijo
Por la independencia delPor la independencia del camino puede elegirse un punto fijo r0 y definir
0
·d r
rr E r
Se mide
r
0el potencial eléctrico
r0 es el origen de potencial (o es un campo escalar
en J/C=Vro
ánde
z
r0 es el origen de potencial (o tierra), para el cual (r0)=0
es un campo escalar, función de r
Si se cambia el origen de potencial se añade una constante
nzál
ez F
erná Si se cambia el origen de potencial, se añade una constante
1
' ·d r
rr E r 1
1 0 0
' ·d ·d ·d k r r r
r r rr r E r E r E r r
Anto
nio
Gon
Diferencia de potencial (ddp):
·d ·d ·dA B B
A B AV V A B r r
E r E r E r
1 1 0 0
© 2
010,
A
3
potencial (ddp):
0 0 A r r
La ddp entre dos puntos no depende del origen de potencial
El campo eléctrico es el gradiente del t i l bi d d ipotencial cambiado de signo
T d dTomando dos puntos vecinos
1
1
d
1 1 1d d ·d ·d
r r
rr r r E r r E r r
El campo electrostático es potencialEl campo electrostático es potencial E
ánde
z
E
E 0
·d 0
E rVálido para todo campo
nzál
ez F
erná
0
·d r
rr E r
todo campoirrotacional
E
Anto
nio
Gon El campo eléctrico es
perpendicular a las fi i
El campo eléctrico va de
=k1
E
© 2
010,
A
4
superficies equipotenciales
mayor a menor potencialk2>k1
=k2
Potencial eléctrico de una carga puntual d j t dy de un conjunto de cargas
rq ++
Integrando desde el infinito sobre una línea recta 0
rq ++
·d
r
r E r 20
d4
rq rr
2
0
· d4
rr
rq r
r
u u04
qr
ánde
z Depende solo de la distancia a la
Las equipotenciales son esferas concéntricas+ E
nzál
ez F
erná la distancia a la
carga, r = |r|+
=kE
Dipolo
Anto
nio
Gon
Si no está en el origenSi no está en el origen
Para dos cargas, se suman los potencialesPara dos cargas, se suman los potenciales
© 2
010,
A
50 14q
r r
1 2
0 1 2
14
q q r r r r 0
Potencial debido a una distribución de carga
La expresión se puede generalizar al dτ
1 d '
La expresión se puede generalizar al caso de una distribución continua
Di idi d l tρ(r′)
dτ
0
1 d ''4 '
rr r
Dividiendo en elementos de volumen y sumando
ánde
z
Análogamente para distribuciones superficiales y lineales
1 d ' d ' d 'q l S
nzál
ez F
erná
0
1 d d d' ' '4 ' ' '
ks
k k S
q l S
r r rr r r r r r r r
Anto
nio
GonPotencial
en el eje de un anillo
2 20 0
1 d '4 ' 4
l QR z
r r
zzr u
'' R r u
© 2
010,
A
6
un anillo cargado
2 2' R z r r0 2Q R d ' d ' d 'l R r
Potencial de dos cargas puntuales de dif t it d idiferente magnitud y signo
2 13 Halle el potencial creado por dos cargas q1 −q2 situadas2.13 Halle el potencial creado por dos cargas q1, q2 situadasa una distancia a una de la otra. Demuestre que la superficieequipotencial V = 0 es una esfera.
1 21( ) q q r 2 1q
ánde
z
0 1 2
( )4 | | | |
r r r r
2 1 r r r r
1q
1 r 0 2 zar u
nzál
ez F
erná
2 2 2 2 21 2 0x y z za a 2 2 2
Anto
nio
Gon
2 22 2
2 2 21 (1 )a ax y z
© 2
010,
A
7R a R C C21za
uC
21aR
Solo V=0 esuna esfera
El triángulo de la electrostáticag
E 0
·d r
rE r
E
· E 2
ánde
z
0 · E 0
nzál
ez F
erná
0
1 d ''4 '
rr r
30
'1 ' d '4 '
r rE r
r r
Anto
nio
Gon
ρ
0 04
r r
© 2
010,
A
8
ρ
El potencial de una esfera cargada en su fi isuperficie
Potencial en el centro 1 d 'SPotencial en el centro, por integración directa
0
1 d'4 's
S
S
rr r
024s
QR
r 0
'' rRr u2
0 0
1 d '4 4 4S
Q S QR R R
ánde
z
Potencial en todos los puntos, por integración del campo
r R 0 En el dr Q r Q
nzál
ez F
erná
204 r
r RQ r R
r
0E
u
En el exterior 2
0 0
d4 4
Q r Qr r
C l d
Anto
nio
Gon
0
dR
Como el de unacarga puntual
© 2
010,
A
9
En el interior 2
0 0
d·d 0d4 4
Rr
R
Q r Qrr R
rE r Constante,
no nulo
El potencial de una esfera cargada en el lvolumen
Potencial en todos los puntos En elPotencial en todos los puntos, por integración del campo
Qr
En el exterior
r3
04 rQr r R
RQ R
uE 2
0 0
d4 4
r Q r Qr r
ánde
z
204 r
Q r Rr
uComo el de una carga puntual
nzál
ez F
erná En el interior
·d rE r
Anto
nio
Gon
2 2
2 3 3
d
3d dR r Q R rQ r Qr r
E r
© 2
010,
A
10
2 3 30 0 04 4 8Rr R R
El potencial de un hilo infinitop
El potencial también se puede hallar integrando el gradienteEl potencial también se puede hallar integrando el gradiente
0
2
E u 1
z
E u u u
02 zz
ρ
ρ
ánde
z 0
0
ln2
k
0
0
dd 2
0
0 0
ln2
λ0
ρ0
nzál
ez F
erná
No se puede anular el potencial en el infinito
Anto
nio
Gon
2 2x y
Equipotenciales: cilindros concéntricos (ρ=cte)
© 2
010,
A
11
En cartesianas 02 2
0 0 0
ln4
x yx y
Potencial de una línea bifilar
Para dos hilos paralelospen x=±a, y = 0 (2.15)
2 2x a y
01 2 2
0 0 0
ln4
x a yx a y
ánde
z
2 20
2 2 20 0 0
ln4
x a yx a y
nzál
ez F
erná
0 0 0y
Punto medio 0 0 0x y
Anto
nio
Gon
2 20
1 2 2 20
ln4
x a yx a y
© 2
010,
A
12
0 y
Cilindros no concéntricos
A partir del potencial puede d t i l ldeterminarse el campo y la carga
2 20 El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio2.20 El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuación
| |0e cosk yV kx
con k y V0 constantes. Halle E y la densidad de carga
e sen cosk yV k kx kx E u u
ánde
z
0 e sen cosyx yV k kx kx E u u
sgn(y)
nzál
ez F
erná
20
20 0 e cos cos 0k yV k kx kx
g (y)
Anto
nio
Gon
Además hay carga superficial, en y=0
© 2
010,
A
13 0 0 0· 2 coss V k kx n E
Sevilla noviembre de 2010
ánde
z
Sevilla, noviembre de 2010
nzál
ez F
erná
Anto
nio
Gon
© 2
010,
A
14