tema 2 presion lateral de tierra trabajo

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UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI MECANICA DE SUELOS II

Presión lateral de tierra.

Introducción

En ocasiones las construcciones civiles exigen que en un determinado terreno de superficie infinita, sea retirado parte del macizo, sustituyendo su acción con la introducción de un elemento vertical rígido. Si el elemento situado esta estático, no se desplaza horizontalmente y por ende la masa de suelo no sufre deformaciones (ni de tracción ni de compresión). Si el elemento rígido se desplaza, alejándose progresivamente del suelo, el macizo sufrirá deformaciones de tracción; de lo contrario, o sea, si el elemento empuja contra el macizo comprimiéndolo, las deformaciones son de compresión.Existirán entonces dos tipos de empujes, los que llamaremos a seguidas empuje activo, cuando las deformaciones horizontales que sufre el suelo son de tracción, y empuje pasivo, cuando las deformaciones horizontales son de compresión (Figura 0).

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Figura 0Variación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro.

El diseño y construcción apropiada de esas estructuras de retención requieren un pleno conocimiento de las fuerzas laterales que actúan entre las estructuras de retención y las masas de suelo que son retenidas. Esas fuerzas laterales son causadas por la presión lateral de la tierra. Este tema se dedica al estudio de varias teorías sobre la presión de tierra.

Para hacer el diseño de un muro de sostenimiento adecuadamente, los parámetros básicos del suelo deben ser conocidos. Estos parámetros son peso unitario ( ), ángulo de fricción internaγ () y cohesión (C).

Fases del diseño de muros1. Conocido la presión lateral del suelo, la estructura debe ser chequeada por estabilidad (vuelco, deslizamiento y capacidad soportante)2. Chequeo estructural del muro para que soporte los esfuerzos con seguridad y se calcula los refuerzos.En lo adelante nos ocuparemos del punto 1

Presión o empuje de tierra en reposo

Como ya se conoce, un punto dentro de una masa de suelo a una profundidad (Z) dada estará sometido a una presión vertical σv = *Z, debido a la propia sobrecarga natural y aɣ su vez, producto del confinamiento a una presión horizontal (σh), que no es más que un por ciento de la presión anterior (σv).

Como no hay posibilidad de desplazamiento lateral, se produce una condición de equilibrio conocida como condición k0 (coeficiente de empuje en reposo).

Luego podemos decir que:Empuje de tierra en reposo es el empuje inicial que ejerce un terreno en la dirección horizontal antes de ser excavado, o antes de que un muro adosado a él experimente movimiento alguno.

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Si se representa en un diagrama de Morh, el círculo correspondiente al estado de esfuerzos descritos anteriormente (empuje en reposo), como resultado del ensayo triaxial, que se obtendría?:

La relación entre las presiones efectivas horizontales y verticales (iniciales) cuando no hay desplazamiento, recibe el nombre de coeficiente de empuje en reposo y se designa por Ko.

Consideremos la masa de suelo mostrada en la figura 1. La masa está limitada por un muro sin fricción AB que se extiende hasta una profundidad infinita. Un elemento de suelo localizado a una profundidad z está sometido a presiones efectivas vertical y horizontal de σ 0' y σ h

' , respectivamente. Para este caso, como el suelo está seco, tenemos:

σ 0' =σ 0

yσ h' =σ h

Donde σ 0' y σ h

' son las presiones totales vertical y horizontal, respectivamente. Note también que no hay esfuerzos cortantes sobre los planos vertical y horizontal.

Si el muro AB es estático, es decir, si no se mueve ni hacia la derecha ni hacia izquier da de su posición inicial, la masa de suelo está en un estado de equilibrio estático; es decir, la deformación unitaria horizontal es 0. La relación del esfuerzo efectivo horizontal respecto del esfuerzo vertical se llama coeficiente de presión de tierra en reposo:

K o=σh'

σo'

En otras palabras, si el muro y el terreno sobre el que se cimenta son tales que las deformaciones son prácticamente nulas, se está en el caso de empuje al reposo. Algunos muros de gravedad y de sótano pueden encontrarse en ese caso. Si el muro se desplaza, permitiendo la expansión lateral del suelo se produce un fallo por corte del suelo y la cuña de rotura avanza hacia el muro y desciende. El empuje se reduce desde el valor del empuje al reposo hasta el denominado valor de empuje activo, que es el mínimo valor posible del empuje.

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Por el contrario, si se aplican fuerzas al muro de forma que éste empuje al relleno, el fallo se produce mediante una cuña mucho más amplia, que experimenta un ascenso. Este valor recibe el nombre de empuje pasivo y es el mayor valor que puede alcanzar el empuje. El empuje al reposo es por tanto de valor intermedio entre el empuje activo y el empuje pasivo.

Fig. 1 Presión de tierra en reposo

Como σ h' =γ ∙Z, tenemos:

σ ' h=Ko ∙ γ ∙Z ,

Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la relación empírica:

K o=1−sen∅

Donde ∅ es ángulo de fricción drenada. Para suelos de grano fino, normalmente consolidada Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para K o:

K o=0,44+0,42[ IP(%)100 ]

Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por:K o( preconsolidado)=K o(normalmente consolidado)√OCR

donde:

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OCR: es la relación de pre consolidación. Ya se conoce que la relación o tasa de preoconsolidacion es igual a:

OCR= presiónde preconsolidaciónpresiónde sobrecarga efectiva presente

=σc'

σ '

La magnitud de K oen la mayoría de los suelos varía entre 0.5 y 1.0, con tal vez valores mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.

La figura 2 muestra la distribución de la presión de tierra en reposo sobre un muro de altura H. La fuerza total por unidad de longitud de muro, po,es igual al área del diagrama de presiones, por lo que:

Po=12∙ Ko∙ γ ∙ H2(Empuje resultante efectivo en reposo, ubicado a una profundidad Z = 1/3

H.)

Figura 2 Distribución de la presión de tierra en reposo sobre un muro.

Presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido

La figura 3a muestra un muro de altura H.El nivel del agua freática está localizado a una profundidad H1debajo de la superficie del terreno y no hay agua compensante del otro lado del muro. Paraz≤ H1, la presión lateral total de tierra en reposo se da como:

σ h' =Ko∙ γ ∙Z

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Figura 3Distribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido.

La variación de σ ' h con la profundidad se representa por el triángulo ACE en la figura 3a. Sin embargo, para Z≥H1 (es decir, debajo del agua freática), la presión sobre el muro se encuentra a partir de los componentes del esfuerzo efectivo y de la presión de poro, de la manera siguiente:

presiónefectiva vertical=σ o' =γ H 1+γ

' (Z−H1)

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donde: γ '=γsat−γw=pesoespecíficodelsuelo. Entonces la presión lateral efectiva en reposo es:

σ h' =K oσ o

' =K o [ γ H 1+γ' (Z−H 1)]=Ko [ γ H 1+γ

'(H 2)]

La variación de σ ' hcon la profundidad se muestra por CEGB en la figura 3a. De nuevo, la presión lateral del agua de poro es:

u=γw(Z−H1)

La variación de u con la profundidad se muestra en la figura3b.

Por consiguiente, la presión lateral total de la tierra y el agua a cualquier profundidad z> H1es igual a:

σ h=σ h' +u

¿Ko [ γ H 1+γ' (Z−H1)]+γw(Z−H1)

La fuerza por ancho unitario de muro se halla de la suma de las áreas de los diagramas de presión en las figuras 3(a) y (b) y es igual a:

Po=12K o γ H 1

2+K o γ H1H 2+12 (Ko γ

'+γw)H22

ó

Po=12K o [ γ H 1

2+2 γ H 1H 2+γ' H2

2 ]+γwH 22

Existen varios métodos que permiten determinar el empuje de tierra, a saber:

Teoría de Rankine para suelos granulares. Método gráfico de Poncelet. Teoría de Coulomb para suelos granulares.

Teoría de Rankine de las presiones de tierra, activa y pasiva

La teoría de RANKINE para el cálculo de empujes se basa en las hipótesis de que el terreno presenta superficie libre plana y está en el llamado estado Rankine, en el cual presenta dos series de superficies planas de rotura, formando ángulos de 45 + /2 con la horizontal.ϕ

El término equilibrio plástico en suelos se refiere a la condición en que cada punto en una masa de suelo está a punto de fallar. Rankine (1857) investigó las condiciones de esfuerzo

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en el suelo en un estado de equilibrio plástico. Esta sección trata la teoría de la presión de tierra de Rankine.Rankkine desarrolló un método, que se designa de “Estado de equilibrio Límite de Rankine”. Este método consiste en calcular las presiones que determinado elemento rígido va a soportar cuando este se encuentra en contacto con un macizo en estado de equilibrio límite. La teoría de Rankine acepta las siguientes hipótesis:

1. El macizo es de naturaleza puramente friccional.2. La superficie del terreno (terraplén)es horizontal. 3. El elemento es vertical y rígido.4. No existen tensiones tangenciales entre el elemento y el suelo.

Estado activo de Rankine

La figura 4a muestra la misma masa de suelo que se ilustró en la figura.1, la cual está limitada por un muro AB sin fricción que se extiende hasta una profundidad infinita.Los esfuerzos efectivos principales vertical y horizontal sobre un elemento de suelo a una profundidad z son σ ' oy σ 'h, respectivamente. Como vimos, si al muro no se le permite movimiento alguno, entonces σ h

' =Koσ 0' .

La condición de esfuerzo en el elemento de suelo es representado por el círculo a de Mohr en la figura 4b. Sin embargo, si se permite que el muro AB se mueva alejándose gradualmente de la masa del suelo, entonces el esfuerzo efectivo principal horizontal decrecerá. Finalmente, se alcanzará un estado en el que la condición de esfuerzo en el elemento de suelo es representada por el círculo b de Mohr, o estado de equilibrio plástico, y ocurrirá la falla del suelo(en otras palabras, las presiones horizontales disminuirán con respecto a las de reposo hasta llegar a un valor mínimo, momento en cual el suelo detrás del muro alcanza su estado de falla), denominado estado activo de Rankiney la presión σ'asobre el plano vertical (que es un plano principal) es la presión activa de tierra de Rankine. A continuación obtendremos σ'aen términos de , ɣ z, c, y ϕ. De la figura 4b, tenemos:

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(b)

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Figura 4. Presiones activa de tierra de Rankine

senϕ=CDAC

= CDAO+OC

pero

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CD=radio del circulo de falla=σ o' −σ a

'

2AO=c cot ϕ

y

OC=σ 0' +σa

'

2

por lo que:

senϕ=

σ 0' −σ a

'

2

c cot ϕ+σ o' +σ a

'

2

o

c cotϕ+σo' +σ a

'

2sen∅=

σo' −σa

'

2

o

σ a' =σ o

' 1−sen∅1+sen∅

−2c cos∅1+sen∅ (A)

Pero

σ'o: presión de sobrecarga efectiva vertical = γZ

1−sen∅1+sen∅

=tan2(45−∅2

)

y

cos∅1+sen∅

=tan(45−∅2 )

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación (A), obtenemos

σ a' =γZ tan2(45−∅

2 )−2c t an(45−∅2 ) (1)

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La variación de σ'acon la profundidad se muestra en la figura 4c. Para suelos sin cohesión, c= 0 y

σ a' =σ o

' tan2(45−∅2 )

La razón de σ'arespecto a σ'ose llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine, Ka..

σ a' =γZ tan2(45−∅

2 )−2c tan(45−∅2 )=γZK a−2c √K a

K a :empuje de tierra en estado activo. Según Rankine se obtiene comotan2(45−∅2 )

Nuevamente, de la figura 4b, podemos ver que los planos de falla en el suelo forman ángulos de ±(45° + ϕ/2)con la dirección del plano principal mayor, es decir, con la horizontal. Esos planos de falla se llaman planos de deslizamiento, los cuales se muestran en la figura 4d.

Estado pasivo de Rankine

El estado pasivo de Rankine está ilustrado en la figura 5. AB es un muro sin fricción que se extiende hasta una profundidad infinita. La condición de esfuerzo inicial sobre un elemento de suelo está representada por el círculo a de Mohr en la figura 5b. Si el muro es empujado gradualmente hacia la masa de suelo, el esfuerzo efectivo principal 'σ h se incrementará. Finalmente, el muro alcanzará un estado en el que la condición de esfuerzo en el elemento de suelo es representada por el círculo b de Mohr.

En este momento ocurrirá la falla del suelo, a lo cual se le llama estado pasivo de Rankine. La presión lateral de tierra efectiva 'σ p, que es el esfuerzo principal mayor, se llama presión de tierra pasiva de Rankine. De la figura 5b se demuestra que:

σ p' =σ o

' tan2(45+∅2 )+2c tan(45+∅2 )

σ p' =γZ tan2(45+∅

2 )+2c tan(45+∅2 ) (2)

La derivación es similar a la del estado activo de Rankine.

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La figura 5c muestra la variación de la presión pasiva con la profundidad. Parasuelos sin cohesión (C = 0), tenemos:

σ p' =σ o

' tan2(45+∅2 )σ p'

σ o' =Kp= tan2(45+∅2 )

Kpen la ecuación anterior se llama coeficiente de presión de tierra pasiva de Rankine. Los puntos D y D' sobre el círculo de falla (figura 5b) corresponden a los planos de deslizamiento en el suelo. Para el estado pasivo de Rankine, los planos de deslizamiento forman ángulos de ±(45° - ϕ/2) con la dirección del plano principal menor, es decir, con la dirección horizontal. La figura 5d muestra la distribución de los planos de deslizamiento en la masa del suelo.

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Figura 5

Ejercicio 2Calcule la presión de tierra pasiva de Rankine por unidad de longitud en el muro mostrado en la figura de ejercicio 1 y determine también la posición de la resultante.

Efecto de la cedencia del muro

De todo la anterior se puede resumir que el valor de K, relación entre las presiones efectivas horizontal y vertical,varía conforma las deformaciones horizontales sufridas por una masa triangular de suelocuandoestá sujeta a determinadas solicitaciones, de manera que se tiene tres tipos de coeficientes de impulso, a saber: coeficiente de empuje en reposo,

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Ko, coeficiente de empuje activo, Ka, y coeficiente de empuje pasivo, Kp. Queda claro también que es necesario un movimiento suficientementegrandedel elemento rígido o muro para alcanzar un estado de equilibrio plástico. Sin embargo, la presión lateral de tierra contra un muro es muy influenciada por la manera en que el muro realmentecede. En la mayoría de los muros de retención simples, el movimientoocurre por simple traslación o, más frecuentemente, por rotación respecto a la base.Para un análisis teórico preliminar, consideremos un muro de retención sin fricción representado por un plano AB, como muestra la figura6. Si el muro AB, gira suficientemente respecto al fondo a una posición A'B, una masa triangular de suelo ABC adyacente al muro alcanzará el estado activo de Rankine. Como los planos de deslizamiento en este estado forman ángulos de ±(45° + ϕ/2) con el plano principal mayor, la masa de suelo en el estado de equilibrio plástico está limitado por el plano BC', que forma ángulo de (45° + ϕ/2) con la horizontal. El suelo dentro de la zona ABC’ sufre la mismadeformación unitaria en la dirección horizontal en todas partes, que es igual a ∆La/La. La presión lateral de tierra sobre el muro a cualquier profundidad z desde la superficie del terreno se calcula con la ecuación (1).

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Figura X Rotación de un muro sin fricción respecto al fondo.De manera similar, si el muro sin fricción AB(figura Xb) gira suficientemente en la masa del suelo a una posición A"B, entonces la masa triangular de suelo ABC"alcanzará el estado pasivo de Rankine. El plano de deslizamiento BC"que limita la cuña de suelo que está en un estado de equilibrio plástico, forma un ángulo de (45° - Φ/2) con la horizontal. Cada punto del suelo en la zona triangular ABC" sufre la misma deformación unitaria en la dirección horizontal, que es igual a ∆Lp/Lp. La presión pasiva sobre el muro a cualquier profundidad z se evalúa con la ecuación (2).Valores típicos de la máxima inclinación del muro (∆La y ∆Lp) requeridos para alcanzar el estado de Rankine, se dan en la tabla siguiente

La siguiente figura muestra la variación de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro.

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DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓN

a) Relleno. Suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno

Caso activo. La figura 9a muestra un muro de retención con relleno de suelo sin cohesión que tiene una superficie horizontal en el terreno. El peso específico y el ángulo de fricción del suelo son y , respectivamente. Para el estado activo de Rankine, la presión de tierraɣ Φ a cualquier profundidad contra el muro de retención se da por la ecuación (9.15):

σ a=σ a' =Ka γZ ¿)En este caso el diagrama de presiones es triangular y el valor del empuje se

obtiene de esta forma.

σ aaumenta linealmente con la profundidad, y en el fondo del muro, será:

σ a=K a γZ

La fuerza total o empuje resultante, Pa, por longitud unitaria de muro es igual al área del diagrama de presión, por lo que:

Pa=12K a γ H

2

La resultante estaría situada a 1/3 H a partir del punto de giro. Es necesario destacar que el mejor relleno para el trasdós de un muro es un suelogranular seco.

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Figura 9. Distribución de la presión contra un muro de retención para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno (a) estado activo de Ranine (b) estado pasivo de Rankine.

Caso pasivo La distribución de la presión lateral contra un muro de retención de altura H para el estado pasivo de Rankine se muestra en la figura 9b. La presión lateral de la tierra a cualquier profundidad Z, C= 0 es:

σ p=σ p' =K p γZ

La fuerza total Pp, por longitud unitaria de muro es:

Pp=12K p γ H

2

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b) Relleno. Suelo sin cohesión parcialmente sumergido soportando sobrecarga

Caso activo. La figura 10a muestra un muro de retención sin fricción, de altura H y un relleno de suelo sin cohesión. El nivel del agua freática está a una profundidad de H 1 debajo de la superficie del terreno, y el relleno está soportando una presión de sobrecarga q por área unitaria. Sabemos que la presión de tierra activa efectiva a cualquier profundidad se da por:

σ a' =K aσ o

'

dondeσ'oy σ'ason las presiones efectivas vertical y lateral, respectivamente. En z = 0,

σ o=σ o' =q

Y

σ a=σ a' =K aq

A la profundidad z = H1,σ o=σ o

' =(q+γ H1)y

σ a=σ a' =K a (q+γ H1 )

A la profundidad z = H

σ 0' =q+γ H 1+γ

'H 2

Y

σ a' =K a(q+γ H1+γ

'H 2)

dondeγ '=γsat−γw. La variación de σ'acon la profundidad se muestra en la figura 10b.La presión lateral sobre el muro de la presión de poro entre z = 0 y H1es 0, y para z > H1ésta aumenta linealmente con la profundidad (figura 10c). En z = H,

u=γwH2

El diagrama de la presión lateral total, σa, (figura 10d) es la suma de los diagramas de presión mostrados en las figuras 10b y c. La fuerza activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,

Pa=K aqH+ 12K a γ H 1

2+K a γ H1H2+12 (Ka γ

'+γw )H 22

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Caso pasivo La figura 11a muestra el mismo muro de retención que la figura 10a. La presión pasiva de Rankine (efectiva) a cualquier profundidad contra el muro se da por la ecuación (9.19):

σ p' =K pσ0

'

Usando la ecuación anterior, podemos determinar la variación de σ'pcon la profundidad, mostrada en la figura 11b. La variación de la presión por el agua sobre el muro con la profundidad se muestra en la figura 11c. La fig11d muestra la distribución de la presión total, σp, con la profundidad. La fuerza pasiva lateral total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama dado en la figura 11d.

Pp=K pqH+ 12K p γ H 1

2+K p γ H1H2+12 (K p γ

'+γw )H 22

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Figura 10. Distribución de la presión activa de tierra de Ranqine contra un muro de retención con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga.

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Figura 11 Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención de relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga.

c) Relleno, Suelo cohesivo con relleno horizontal

Caso activoLa figura 12a muestra un muro de retención sin fricción con un relleno de suelo cohesivo. La presión activa contra el muro a cualquier profundidad debajo de la superficie del terreno se expresa como [ecuación (9.15)]:

σ a' =K a γZ−2c√Ka

La variación de Ka γZcon la profundidad se muestra en la figura 12b, y la variación de 2c √Kacon la profundidad se exhibe en la12c. Note que 2c √Kano es función de z, por lo que la figura 9.12c es un rectángulo. La variación del valor neto de σacon la profundidad está graficada en la figura 12d. Note también que debido al efecto de la cohesión, σaes negativa

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en la parte superior del muro de retención. La profundidad zoen la que la presión activa se vuelve igual a 0 se encuentra con la ecuación (9.15):

K a γ zo−2c√Ka=0

ó

Zo=2c

γ √Ka

Para la condición no drenada, esto es, =0, ϕ K a=tan245o=1 y C=Cu (cohesión no drenada),

tenemos:

Zo=2 cuγ

Entonces, con el tiempo, se desarrollarán grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta una profundidad Zo.

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Figura 12. Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo cohesivo.

La fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama de presión total (figura 12d), o

Pa=12K a γ H

2−2√K acH

Para la condición = 0,ϕ

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Pa=12γ H 2−2cH

Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Como no existe contacto entre el suelo y el muro hasta una profundidad de Z o después del desarrollo de las grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entreZ=2c /(γ √K a )yH (figura 12d) es la única considerada. En este caso,

Pa=12 (Ka γH−2√Ka c )(H−

2cγ √Ka

)Pa=

12K a γ H

2−2√K acH+2 c2

γ

Para la condición = 0,ϕ

Pa=12γ H 2−2cH+2 c

2

γ

Note que, en la ecuación (9.39), es el peso específico saturado del suelo.ɣ

Caso pasivoLa figura 13a muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado en la figura 12a. La presión pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad Z se da por [ecuación (9.18)]

σ p' =K p γZ+2√K pc

Enz=0,

σ p=2√K pc

y en z = H

σ p=K p γH+2√K pc

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Figura 13. Distribución de la presión activa de tierra de RAnkine contra un muro de retención con relleno de un suelo cohesivo.

La variación de σpcon la profundidad se muestra en la figura b. La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como

Pp=12K p ɣ H

2+2√K p cH

Para la condición ϕ = 0, Kp= 1 y

Pp=12ɣ H 2+2cH (4)

En la ecuación (4), es el peso específico saturado del sueloγ

En el caso de suelos cohesivos puros ( φ = 0, C ≠ 0), En este caso como φ = 0 el coeficiente de empuje activo se hace unitario y por tanto:

σ p=γH +2cLa distribución de presiones sería:

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La resultante del empuje seria:

Pp=12ɣ H 2+2cuH

La posición de la resultante se obtendrá como resultado de hacer momento de laresultante del rectángulo y del triangulo con respecto a la base del muro.

σ a' =γZ−2c

Obsérvese ahora que en la superficie cuando no existe sobrecargas, σ V= 0 y el empujeofrece valores negativos iguales a -2C. Esto significa que se forma una grieta en eltrasdós del muro

Análisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención

En consideraciones prácticas de diseño, la fuerza activa sobre u n muro de retención se calcula usando el método de Rankine o el de Coulomb. El procedimiento de cálculo para u n muro de retención de gravedad con relleno granular se muestra en la figura 14.

La figura 14a muestra un muro de retención de gravedad con u n relleno que tiene una superficie horizontal del terreno. Si se usa el método de Rankine, el empuje activo se calcula sobre u n plano vertical trazado por el talón del muro aplicando la ecuación conocida:

Pa=12K a γ H

2(A)

donde:

K a=tan2(45o−∅

2 )En tal caso, Pa (Rankine)se suma vectorialmente al peso de la cuña de suelo, Ws, para el análisis de estabilidad.

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La figura 14b muestra un muro de retención similar con un relleno granular que tiene una superficie inclinada del terreno. La ecuación (A), o solución de Rankine,seutiliza para determinar la fuerza activa sobre un plano vertical que pasa por el talón del muro, que entonces se suma vectorialmente al peso de la cuña de suelo ABC2para el análisis por estabilidad. Sin embargo, note que la dirección de la fuerza activa de Rankine ya no es horizontal en este caso y el plano vertical BC2no es el plano principal menor. El valor dePa (Rankine) se da por la relación:

Pa=12K a γ H

'2

Figura 14.donde H ' = BC2 y

K a=cos∝cos∝−√cos2∝−cos2∅cos∝+√cos2∝−cos2∅

(B)

donde a : talud de la superficie del terreno.

La Paobtenida está a una distancia H’/3 medida verticalmente desde Be inclinada un ángulo ∝respecto a la horizontal. Los valores de Kadefinidos por la ecuación anterior para varios

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ángulos de talud y ángulos de fricción del suelo se dan en la tabla siguiente. Para una superficie horizontal del terreno (es decir, ∝=0), la ecuación (B) se convierte en:

K a=1−sen∅1+sen∅

=tan(45−∅2 )

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