tema 2. introducción a las señales y los sistemas (sesión...

SISTEMAS LINEALES

Tema 2. Introducción a las señales y los sistemas (Sesión 1)

F. JAVIER [email protected]

7 de octubre de 2010

ITT Sistemas TelecomunicaciónSISTEMAS LINEALES.

TEMA 2

Contenidos.

•Representación de señales discretas en términos de impulsos•Representación de señales continuas en términos de impulsos•Respuesta al impulso en sistemas LTI discretos. Suma de convolución. Ejemplos de suma de convolución•Respuesta al impulso en sistemas LTI discretos. Integral de convolución. Ejemplos de integral de convolución.•Propiedades de los sistemas LTI a partir de su respuesta al impulso.•Respuesta al escalón.•Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias.


SEÑALES DISCRETAS EN TÉRMINOS DE IMPULSOSSupongamos la señal x[n] dada en la figura. La podemos descomponer como:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

+ +

x [n] = x [−1] δ [n+ 1] + x [0] δ [n] + x [1]δ[n− 1]x [n] = 1δ [n+ 1] + 2δ [n] + 3δ[n− 1]


x [n] =∞P

k=−∞x [k] δ [n− k]

SEÑALES DISCRETAS EN TÉRMINOS DE IMPULSOSx [n]

2 4 6 8-2-4-6-8

1

-2

32

12

-1Otro ejemplo:

x [n] = x[−3]δ[n− (−3)] + x[−2]δ[n− (−2)] + x[−1]δ[n− (−1)] + x[0]δ[n] +x[1]δ[n− 1] + x[2]δ[n− 2] + x[3]δ[n− 3]

x [n] = 1δ[n+ 3] + (−2)δ[n+ 2] + 3δ[n+ 1] + 2δ[n] + 1δ[n− 1] + 2δ[n− 2] +(−1)δ[n− 3]

Por tanto, cualquier señal en tiempo discreto puede ser definida en función de un sumatorio de deltas de Kronecker desplazadas y ponderadas:


SEÑALES CONTINUAS EN TÉRMINOS DE IMPULSOS

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Dada una señal continua, x(t) podemos aproximarla como un sumatorio de pulsos ponderados

Si definimos la señal como

s(t) =

1∆ − ∆

2 < t <∆2

0 resto

x̂(t) =∞P

k=−∞x(k∆)s(t− k∆)∆

Cuanto más estrechos se hagan los pulsos, mejor aproximación tendremos.lim∆→0

s(t)→ δ(t)

x (t) =R∞−∞ x(τ)δ (t− τ)dτ


SISTEMAS LTI-LINEALIDADSabiendo que tenemos un sistema lineal y que ante las entradas x1[n] y x2[n] hemos obtenido las señales de salida correspondientes, calcule la señal de salida ante la entrada x3[n].

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x1 [n]

x2 [n]

x3 [n]

y1 [n]

y2 [n]

y3 [n] = y1[n]− 2y2[n]


Sabiendo que tenemos un sistema invariante y que ante las entrada x1[n] se ha obtenido la señal de salida correspondiente, calcule la señal de salida ante la entrada x2[n].

x1 [n]

x2 [n]

y1 [n]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

SISTEMAS LTI-INVARIANZA

y2 [n] = y1[n+ 2]x2 [n] = x1[n+ 2]-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


Sabiendo que tenemos un sistema LTI y que ante las entrada x1[n] se ha obtenido la señal de salida correspondiente, calcule la señal de salida ante la entrada x2[n].

x1 [n]y1 [n]

SISTEMAS LTI-RESPUESTA AL IMPULSO

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x2 [n]

y2 [n] = y1[n] + 2y1[n− 1]-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

1

2

3

4

5

6

7

8


Otro ejemplo: Sabiendo que tenemos un sistema LTI y que ante las entrada x1[n] se ha obtenido la señal de salida correspondiente, calcule la señal de salida ante la entrada x2[n].

x1 [n]y1 [n]


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

x2 [n]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y2 [n]


En los ejemplos anteriores, estamos aprovechando que el sistema es LTI. Si no fuera así, no podríamos determinar la salida. Además, como sabemos que toda señal en tiempo discreto se puede determinar como:


x [n] =∞P

k=−∞x [k] δ [n− k]

Si conocemos la salida o respuesta del sistema a x[n] = δ[n] podemos conocer lasalida para cualquier señal.

h[n] = y[n]|x[n]h[n] es la respuesta al impulso (h(t) para sistemas continuos). En sistemas LTI caracteriza completamente al sistema. Es decir, basta conocer h[n] para determinar la salida, aunque no conozcamos implícitamente la relación entrada-salida del sistema.

Para sistemas no LTI podemos conocer la respuesta al impulso, pero esta información no nos sirve para caracterizar el sistema.


SUMA DE CONVOLUCIÓN

En un sistema discreto LTI, en el que conocemos su respuesta al impulso, podemos calcular la salida ante cualquier entrada mediante:

y [n] =∞P

k=−∞x [k]h [n− k]

La expresión anterior se denomina suma de convolución y se expresa como:y[n] = x[n] ∗ h[n]

Cumple las siguientes propiedades:

a) Conmutativa:∞P

k=−∞x [k]h [n− k] =

∞Pk=−∞

x [n− k]h [k]

Sistema LTIx [n] y [n]h [n]

Sistema LTIx [n]

y [n]h [n]



En un sistema LTI, en el que conocemos su respuesta al impulso, podemos calcular la salida ante cualquier entrada mediante:

y [n] =∞P

k=−∞x [k]h [n− k]

La expresión anterior se denomina suma de convolución y se expresa como:y[n] = x[n] ∗ h[n]

Cumple las siguientes propiedades:

a) Conmutativa:∞P

k=−∞x [k]h [n− k] =

∞Pk=−∞

x [n− k]h [k]

Sistema LTIx [n] y [n]h [n]

Sistema LTIx [n]

y [n]h [n]



b) Asociativa:

Sistema LTIx [n] y [n]


h1 [n]Sistema LTIh2 [n]

x [n] ∗ h1[n]

y[n] = x[n] ∗ (h1[n] ∗ h2[n]) = (x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n]

(x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n]

h1 [n] ∗ h2[n]Una consecuencia directa de esta propiedad es que si los sistemas que forman una interconexión serie son LTI se puede cambiar el orden


h1 [n] ∗ h2[n]Sistema LTIx [n] y [n]h2 [n] ∗ h1[n]

Sistema LTIx [n] y [n]Sistema LTIh2 [n] h1 [n]

Si los sistemas (o alguno de ellos) no son LTI no podemos asegurar lo anterior.



c) Distributiva: y[n] = x[n] ∗ (h1[n] + h2[n]) = (x[n] ∗ h1[n]) + (x[n] ∗ h2[n])Sistema LTI

+

x [n] y [n]

Sistema LTI

h1 [n]

h2 [n]


h1 [n] + h2[n]

Ejemplo:

+

h1 [n]

h2 [n]

h3 [n]

+x [n]

y [n]

ht[n] = ((h1[n] + h2[n]) ∗ h3[n]) + h4[n]

h4 [n]


SUMA DE CONVOLUCIÓN¿Cómo se realiza la convolución de dos señales discretas?

1. Obtenemos:

y[n] = x[n] ∗ h[n]x[k] y h[−k]

2. Para cada valor de n desplazamos la señal h[n− k]Para n<0 será un adelanto de n muestras de la señal h[-k]Para n>0 será un retardo de n muestras de la señal h[-k]

3. Para cada valor de n obtenemos la señal producto x[k]h[n− k]4. Sumamos todas las muestras y ese es el valor de salida para el instante n.

x [n]

2 4 6 8-2-4-6-8

-2

32

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

Ejemplo:

h [n]


SUMA DE CONVOLUCIÓN1. Obtenemos: x[k] y h[−k]

2 4 6 8-2-4-6-8

-2

32

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

x [k]

Solo es un cambio de variable

h [−k]

3

2 4 6-6

2 4 6 8-2-4-6-8

-2

2

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

x [k]

h [−5− k]

3

2 4 6 8-2-4-6-8

x[k]h [−5− k]

Ej: Para n=-2



2 4 6 8-2-4-6-8

-2

32

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

x [k]

Ej: Para n=-2

h [−2− k]y[−2] = 0

Ej: Para n=-1

2 4 6 8-2-4-6-8

-2

2

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

x [k]

8-2-4-8

h [−1− k]

x[k]h [−1− k]6

y[−1] = 6

3


SUMA DE CONVOLUCIÓNEj: Para n=0

2 4 6 8-2-4-6-8

-2

2

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

x [k]

8-2-4-8

3

3

h [−k]

x[k]h [−k]

4

y[0] = 3 + 4 = 7



2 4 6 8-2-4-6-8-2

2

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

x [k]

8-2-4-8

2

3

-4

h [1− k]

x[k]h [1− k]

y[1] = 2− 4 = −2



2 4 6 8-2-4-6-8-2

2

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

x [k]

8-2-4-8

-2

3

4

h [2− k]

x[k]h [2− k]

y[2] = −2 + 4 = 2



2 4 6 8-2-4-6-8-2

2

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2

x [k]

8-2-4-8

2

3

h [3− k]

x[k]h [3− k]

y[3] = 2

Para n>3 la salida será nula.



x [n]

2 4 6 8-2-4-6-8

-2

32

1

2

2 4 6 8-2-4-6-8

2h [n]

Por tanto, la convolución de estas dos señales:

Da como resultado:

-22 4 6-4-6

y [n]6 7

2 2

Si hubiéramos dejado fija h[k] y desplazado x[n-k] el resultado habría sido el mismo.

Para secuencias finitas, si x[n] tiene N muestras y h[n] L muestras la convolucióntendrá L+N-1 muestras.Ejemplo: x[n] (N=4 muestras), h[n] (L=2 muestras), y[n]=4+2-1=5 muestras.


INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN

Para tiempo continuo hemos visto como cualquier señal puede ser descompuesta mediante:

x (t) =R∞−∞ x(τ)δ (t− τ)dτ

Si en un sistema LTI conocemos su respuesta al impulso h(t), entonces la salida vendrá dada por:

Las propiedades (conmutativa, distributiva y asociativa) son las mismas que en tiempo discreto. Para realizar una convolución en tiempo continuo, los pasos son muy similares a los expuestos en tiempo discreto.

1. Obtener (cambio de variable) y (cambio de variable y reflexión).2. Analizar por tramos. Para diferentes valores de t, obtener la señal 3. Obtener para los diferentes valores de t la señal multiplicación4. Encontrar el área que encierra la señal anterior.

x(τ) h(−τ)h(t− τ)

x(τ)h(t− τ)

y (t) =R∞−∞ x(τ)h (t− τ)dτ = x (t) ∗ h (t)



2 4 6 8-2-4-6-8

2

4x (t)

Ejemplo: Obtener la convolución de x(t) con h(t).

0 restox (t) =

2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

0 restoh (t) h (t) =1 0 < t < 3

2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

2

4

Obtenemos y

x (τ)

x (τ)

h (−τ)

h (−τ)

32 t 0 < t < 2



2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

2

4

x (τ)

Si t<0 (por ejemplo t=-2)

2

4

x(τ)h (−τ)

y (t) =R∞−∞ x(τ)h

³t− τ)dτ =

R∞−∞ 0dτ = 0

Para t<0 la salida será nula.

h (−2− τ)



2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

2

4

x (τ)

Si 0<t<2 (ejemplo t=1)

2

4

La salida valdrá para t=1 el área de esa señal

h (1− τ)

x(τ)h (1− τ)

y (t) =R∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ =

R 1032τdτ =

34τ

2|10 = 34



2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

2

4

x (τ)

En general, en el tramo 0<t<2

2

4

x(τ)h (−τ)

h (t− τ)

t

y (t) =R∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ =

R t032τdτ =

34τ

2|t0 = 34 t2



2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

2

4

x (τ)

Para el tramo 2<t<3

2

4

x(τ)h (−τ)

h (t− τ)

t

y (t) =R∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ =

R 2032τdτ =

34τ

2|20 = 344 = 3

Mientras la multiplicación de ambas señales produzca la misma señal, la salida será constante.



2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

2

4

x (τ)

Para el tramo 3<t<

2

4

x(τ)h (−τ)

h (t− τ)

t

¿Hasta cuándo durará este tramo?.

y (t) =R∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ =



2 4 6 8-2-4-6-8

2

4

2

4

x (τ)

Para el tramo t>

2

4

x(τ)h (−τ)

h (t− τ)

t

y (t) =R∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ = 0

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