TEMA 2

� Objetivos.

� Cálculo de primitivas.

� La integral definida. Funciones integrables.

Integrales impropias.� Integrales impropias.

� Aplicaciones geométricas de la integral.

� Plantear y calcular integrales de funciones de

una variable y aplicarlas a la resolución de

problemas relativos a la ingeniería.

Se dice que una función F(x) es una función primitiva de la función f(x)

La función f(x) recibe el nombre de integrando y sumando a F(x) una constante

arbitraria C, se obtiene otra función primitiva.

fDomxxfxF ∈∀= )()('

⇔

Al conjunto de primitivas de la función f se le llama la integral indefinida de f .

Se escribe de la siguiente forma:

Las siguientes propiedades son inmediatas:

�

�

∫ += CxFdxxf )()(

∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgf )()())((

∫ ∫⋅=⋅ dxxfadxxfa )()(

Integrales Inmediatas (I)

∫

∫

∫

+=

−≠++

=

∈∀+=⋅+

Cxdxx

nCn

xdxx

RaCaxdxa

nn

||log1

11

1

∫

∫

+=

−≠++

=⋅+

Cxfdxxf

xf

nCn

xfdxxfxf

nn

|)(|log)(

)('

11

))(()('))((

1

∫

∫

∫

∫

∫

+=

+−=

+=

≠>+=

Cxsendxx

Cxdxxsen

Cedxe

aaCa

adxa

x

xx

xx

)()cos(

)cos()(

1,0log

∫

∫

∫

∫

+=⋅

+−=⋅

+=⋅

≠>+=⋅

Cxfsendxxfxf

Cxfdxxfxfsen

Cedxxfe

aaCa

adxxfa

xfxf

xfxf

))(()('))(cos(

))(cos()('))((

)('

1,0log

)('

)()(

)()(

∫

∫ ∫ ∫

+=⋅

+=+==

Cxftgdxxfxf

Cxtgdxxtgdxxdxx

))(()('))((cos

1

)())(1()(sec)(cos

1

2

222

Integrales Inmediatas (II)

∫

∫

+=

+−=

Cxarcsendx

Cxctgdxxsen

)(1

)()(

12

∫

∫

+=⋅

+−=⋅

Cxfarcsendxxf

Cxfctgdxxfxfsen

))(()('1

))(()('))((

12

∫

∫

+=+

+=−

Cxarctgdxx

Cxarcsendxx

)(1

1

)(1

1

2

2

∫

∫

+=⋅+

+=⋅−

Cxfarctgdxxfxf

Cxfarcsendxxfxf

))(()('))((1

1

))(()('))((1

2

2

∫∫

∫ ∫

+==

+−=−−=

Cxsendxxsen

xdxxctg

Cxdxx

xsendxxtg

))(log()(

)cos()(

))log(cos()cos(

)()(

Métodos generales de integración: Cambio de variable

Sea f una función que admite primitiva, si hacemos el cambio de variable

siendo g una función derivable con derivada continua, resulta:

)(tgx =

∫ ∫= dttgtgfdxxf )·(')]·([)(

Ejemplo:

Se ha hecho el cambio , es decir,

∫ ∫= dttgtgfdxxf )·(')]·([)(

∫ ∫ ++=+==+ Cx

Ct

dttdxxx3

)1(

3·1

232322

01 22 >=+ ttx tdtxdxtdtxdx == 22

Métodos generales de integración: Integración por Partes

Si f y g son dos funciones derivables en el punto x, sabemos que f·g es derivable

en x:

Por tanto:

)()(')()'·()(')( xgxfxgfxgxf −=

∫ ∫∫ =−= dxxgxfdxxgfdxxgxf )()(')()'·()(')(Por tanto:

Si llamamos entonces y

la fórmula se puede escribir así:

∫

∫

∫ ∫∫

−=

=−=

=−=

dxxgxfxgxf

dxxgxfxgf

dxxgxfdxxgfdxxgxf

)()(')()(

)()('))(·(

)()(')()'·()(')(

)()( xgvxfu == dxxfdu )('= dxxgdv )('=

∫ ∫−= vduuvudv

Integración de funciones racionales:

siendo P y Q polinomios

Es suficiente estudiar el caso en que el grado de P(x) es menor que el grado de

∫ dxxQ

xP

)(

)(

Q(x) debido a que en caso contrario, se realiza la división y existen

polinomios C(x) y R(x), cociente y resto respectivamente tales que:

Con grado de R(x) < grado de Q(x) y por tanto:

)()()·()( xRxCxQxP +=

∫ ∫ ∫+= dxxQ

xRdxxCdx

xQ

xP

)(

)()(

)(

)(

Integración de funciones racionales:

Supongamos que el grado de P(x) es inferior al grado de Q(x). Para hallar la

integral se calculan las raíces de la ecuación Q(x) = 0 y se descompone la

fracción original en suma de fracciones simples. Veremos dos casos:

Raíces reales simples (a,b,c...):

Raíz real a de multiplicidad m:

...)(

)( +−

+−

+−

=cx

C

bx

B

ax

A

xQ

xP

...)(

...)()(

)(2

21 +−

++−

+−

=m

m

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

Integración de algunas funciones irracionales:

Existen dos tipos distintos:

( ) racionalfunciónunaRsiendodxxaxR∫ − 22,

Se solucionan con el cambio de variable:

Se solucionan con el cambio de variable:

( )∫

)(· ttgax =

)(· tsenax =

( ) racionalfunciónunaRsiendodxxaxR∫ + 22,

Integración de algunas funciones irracionales:

Al resolver ciertos ejercicios de este apartado, es necesario calcular la integral

del seno cuadrado o coseno cuadrado. Para ello, nos servimos de las

siguientes identidades trigonométricas:

2

)2cos(1)(cos

2

)2cos(1)(

2

2

tt

ttsen

+=

−=

Sea f una función acotada en [a,b] e integrable, entonces la integral definida

de f en [a,b] se denota:

∫b

adxxf )(

Los números a y b se llaman límites de integración y deberían ser tales que a

es menor que b

Si y a < b, la integral de f en el intervalo [a,b] mide el área de la

región delimitada por las rectas x = a y x = b, el eje de abscisas y la gráfica

de la función f

0)( ≥xf

Propiedades de las funciones integrables

Linealidad:

Si f y g son integrables en [a,b] también lo es la función f+g y se verifica:

∫ ∫∫ +=+b bb

Si f es integrable en [a,b] y k ϵ R, entonces la función k·f también lo es:

∫ ∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgf )()())((

∫ ∫=b

a

b

adxxfkdxxfk )(·))(·(

Propiedades de las funciones integrables

Monotonía:

Si f y g son integrables en [a,b] y entonces:],[)()( baxxgxf ∈∀≤

bb

Aditividad:

Sea f:[a,b]�R acotada y sea c ϵ (a,b). Se verifica que f es integrable en [a,b]

si y solo si f es integrable en [a,c] y en [c,b]. Además:

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()(

∫∫ ≤b

a

b

adxxgdxxf )()(

Teoremas Fundamentales del Calculo Integral

Sea f una función integrable en [a,b]. Podemos definir una nueva función F

sobre [a,b] de la siguiente manera:

∫=∈∀x

dttfxFbax )()(],[

Esta función está bien definida puesto que por ser f integrable en [a,b]

también lo es en [a,x] . La función F así definida se denomina

función integral de la función f. Se verifica que F es continua en [a,b]

],[ bax∈∀

∫=∈∀x

adttfxFbax )()(],[

Teoremas Fundamentales del Calculo Integral

Primer Teorema Fundamental

Si la función f:[a,b] � R es continua en [a,b], la función F:[a,b] � R tal que

es una primitiva de f en [a,b], es decir: ∫=x

dttfxF )()( es una primitiva de f en [a,b], es decir: ∫=a

dttfxF )()(

],[)()(' baxxfxF ∈∀=

Teoremas Fundamentales del Calculo Integral

Segundo Teorema Fundamental (Regla de Barrow)

Si f es una función continua en [a,b] y G es una función continua en [a,b] y

primitiva de f en (a,b) entonces:primitiva de f en (a,b) entonces:

Ejemplo

∫ −=b

aaGbGdxxf )()()(

∫ =+−=+−=π

π2

0011)0cos()2cos()( dxxsen

Cambio de variable en la integral definida

Sea f(x) continua en [a,b]; si hacemos el cambio de variable

siendo g una función derivable con derivada continua que admite función

inversa y tal que y entonces:

],[)( βα∈= ttgx

ag =)(α bg =)(β

Ejemplo:∫ ∫=

b

adttgtgfdxxf

β

α)('))·(()(

∫ ∈=−=1

0

2 ]2

,0[)(1π

ttsenxdxxI

∫ ∫∫ =+=+==−= 2

0

2

0

20

2

0

22 )]2(4

1

2

1

2

)2cos(1)(cos)·cos()(1

π ππ

π

tsentdtt

dttdtttsenI

4)0(

4

10)(

4

1

4

πππ =−−+= sensen

Integración por partes en la integral definida

Sean f , g: [a,b] � R dos funciones derivables con derivada continua

Por tanto:

)()·(')()'·()(')·( xgxfxgfxgxf −=

Por tanto:

Si llamamos u = f(x) , v = g(x) entonces du = f’(x)dx y dv = g’(x)dx; podemos

escribir la fórmula de la siguiente forma:

∫∫∫∫ −−=−=b

a

b

a

b

a

b

adxxgxfagafbgbfxgxfdxxgfdxxgxf )()·(')()·()()·()()·(')()'·()(')·(

∫ ∫−=b

a

b

a

ba duvvudvu ·]·[·

Integrales en intervalos no acotados

Las integrales en intervalos no acotados o integrales impropias de primera

especie son integrales del tipo:

Rbadxxfdxxfdxxfb

∈∫ ∫∫+∞+∞

,)()()(

Si la funcion f es acotada e integrable se define:

Si este limite existe y es finito, diremos que la integral del primer miembro es

convergente. Si el límite es infinito se dice que es divergente

Rbadxxfdxxfdxxfa

∈∫ ∫∫ ∞− ∞−,)()()(

ax ≥∀

∫∫ +∞→

+∞=

b

abadxxfdxxf )(lim)(

Integrales en intervalos no acotadas

Si la función f es acotada e integrable se define:

Si este limite existe y es finito, diremos que la integral del primer miembro es

bx ≤∀

∫∫ −∞→∞−=

b

aa

bdxxfdxxf )(lim)(

Si este limite existe y es finito, diremos que la integral del primer miembro es

convergente. Si el límite es infinito se dice que es divergente

Si la función f es acotada e integrable en el intervalo [a,b]

Siendo c ϵ R arbitrario

Si los dos límites anteriores son finitos entonces la integral es convergente

Rba ∈∀ ,

∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−+=

c

cdxxfdxxfdxxf )()()(

Integrales de funciones no acotadas

Si f no es acotada en x = a y es acotada e integrable en todo intervalo de la

forma siendo ɛ cualquier numero real positivo tal que a+ɛ < b],[ ba ε+

∫ ∫ ++=

b bdxxfdxxf

ε)(lim)(

Si f no es acotada en x = b y es acotada e integrable en todo el intervalo de la

forma siendo ɛ cualquier número real positivo tal que b-ɛ > a

Si este limite existe y es finito, diremos que la integral del primer miembro es

convergente. Si el límite es infinito se dice que la integral es divergente

∫ ∫ +→ +=

a adxxfdxxf

εε)(lim)(

0

],[ ε−ba

∫ ∫−

→ +=

b

a

b

adxxfdxxf

ε

ε)(lim)(

0

Integrales de funciones no acotadas

Si f no es acotada en el punto c ϵ (a,b) y es acotada e integrable en todo

intervalo de la forma y siendo y cualesquiera

números reales positivos tales que , se define:

],[ 1ε−ca ],[ 2 bc ε+ 1ε 2εac >− 1ε bc <+ 2ε

Si los dos límites anteriores son finitos, entonces la integral es convergente

∫∫ ∫∫∫ +→

−

→ +++=+=

b

c

b

a

c

a

b

c

c

adxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

22

1

1

)(lim)(lim)()()(00 εε

ε

ε

Integrales Eulerianas

Función Gamma de Euler

Propiedades

∫+∞ −− >=Γ0

1 0·)( pdxexp xp

Si p > 1 el cálculo de Г(p) se reduce al cálculo de Г(q) con q ϵ (0,1)

Para estos valores entre 0 y 1, existen tablas de valores de la función

0)(·)1(

)1,0()·sin(

)1()·(

)2

1(

>∀Γ=+Γ

∈∀=−ΓΓ

=Γ

pppp

pp

ppππ

π

Integrales Eulerianas

Función Beta de Euler

∫ >−= −−1

0

11 0,)1·(),( qpdxxxqp qpβ

Propiedades

∫0

0,)(

)()·(),(

0,)()·cos(sin2),(

0,),(),(

2

0

1212

>∀+ΓΓΓ=

>∀=

>∀=

∫−−

qpqp

qpqp

qpdxxxqp

qppqqp

qp

β

β

ββπ

Cálculo de áreas de regiones planas

En el calculo de áreas hemos de tener presente el signo de la función

integrando en el intervalo de integración

Si el área de la región plana delimitada por la curva ],[0)( baxxf ∈∀≥Si el área de la región plana delimitada por la curva

y = f(x), las rectas verticales x = a , x = b y el eje de abscisas:

Sean tales que c < d. Si, por ejemplo

y , entonces el área de la región plana delimitada por

la curva y = f(x), las rectas verticales x = a , x = b y el eje de abscisas:

],[0)( baxxf ∈∀≥

∫=b

adxxfA )(

),(, badc ∈

∫ ∫∫∫∫∫ +−=+−+=b

d

b

d

d

c

c

a

d

c

c

adxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfA )()()()()()(

],[],[0)( bdcaxxf ∪∈∀≥],[0)( dcxxf ∈∀≤

Cálculo de áreas de regiones planas

Si entonces el área de la región plana delimitada por

las curvas y = f(x) , y = g(x) y las rectas verticales x = a , x = b:

],[)()( baxxfxg ∈∀≤

[ ]∫ −=b

dxxgxfA )()(

Sean tales que c < d. Por ejemplo,

y entonces el área de la región plana delimitada

por las curvas y = f(x) , y = g(x) y las rectas verticales x = a , x = b:

[ ]∫ −=a

dxxgxfA )()(

),(, badc ∈

[ ] [ ] [ ]∫∫∫ −+−+−=b

d

d

c

c

adxxgxfdxxfxgdxxgxfA )()()()()()(

],[],[)()( bdcaxxgxf ∪∈∀≥],[)()( dcxxgxf ∈∀≤

Longitud de un arco de curva

Si se considera la curva y = f(x) donde f es una función de clase uno en [a,b]

se verifica que la longitud del arco de curva de extremos los puntos

(a,f(a)) y (b,f(b)) viene dado por:

[ ]∫ +=b

adxxfL 2)('1

Volúmenes de cuerpos de revolución

Consideremos la región plana delimitada por la curva y = f(x) las rectas x = a

x = b y el eje de abscisas.

� Si se hace girar esta región alrededor del eje de abscisas se genera un � Si se hace girar esta región alrededor del eje de abscisas se genera un

cuerpo denominado cuerpo de revolución cuyo volumen viene dado:

[ ]∫=b

adxxfV 2)(π