1

TEMA 2: CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA 1. Descripción del movimiento: tipos de sistemas de referencia.

2. Magnitudes del movimiento: vector posición, trayectoria, vector desplazamiento, velocidad,

aceleración.

3. Estudio de algunos movimientos: movimientos rectilíneos, movimientos verticales.

4. Composición de movimientos: composición de dos mru perpendiculares, movimiento parabólico.

5. Movimiento circular.

6. Dinámica de la partícula.

6.1. Las fuerzas y el movimiento.

6.2. Primera ley de la dinámica: ley de inercia.

6.3. Fuerzas y aceleración.

6.4. Segunda ley de la dinámica: ley fundamental de la dinámica.

6.5. Tercera ley de la dinámica: ley de acción y reacción.

6.6. Momento lineal o cantidad de movimiento: ley fundamental de la dinámica en función del

momento lineal, teorema de conservación de la cantidad de movimiento.

6.7. Impulso: teorema del impulso.

6.8. Aplicaciones de las leyes de Newton en la dinámica del movimiento rectilíneo: fuerzas

normales, movimiento en un plano horizontal, movimiento en un plano inclinado, fuerzas de

rozamiento.

6.9. Dinámica de los sistemas de cuerpos enlazados.

6.10. Aplicaciones de las leyes de Newton. dinámica del movimiento circular: fuerza centrípeta,

movimiento circular uniforme en un plano horizontal, movimiento en un círculo vertical.

7. Las fuerzas y el movimiento de rotación.

7.1. Momento de una fuerza.

7.2. Par de fuerzas.

8. Momento angular de una partícula: relación entre el momento de torsión y el momento

angular, momento de inercia.

8.1. Relación entre el momento de torsión y el momento angular: ecuación fundamental de la

dinámica del movimiento de rotación.

8.2. Teorema de conservación del momento angular.

8.3. Paralelismo entre el movimiento de traslación y el movimiento de rotación.

2

TEMA 2: CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA 1. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

• Tipos de magnitudes físicas: MAGNITUDES ESCALARES: nº + unidad (masa, tiempo, temperatura,...).

MÓDULO: nº + unidad. MAGNITUDES VECTORIALES: vectores

(velocidad, aceleración, fuerza,....). DIRECCIÓN: recta que contiene al vector.

SENTIDO: flecha del vector.

• Movimiento:

Fenómeno físico intuitivo ⇒ Cambio de posición de un objeto.

• Pero, ¿respecto a qué? (persona sentada en un tren en movimiento).

• SISTEMA DE REFERENCIA: punto o conjunto de puntos respecto al cual se describe el

movimiento de un objeto.

• TIPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA:

En una dimensión En dos dimensiones En tres dimensiones Movimiento de un móvil en una

recta. Se necesita un solo eje

de coordenadas OX.

Posición del móvil: una coordenada x.

Movimiento de un móvil en un

plano. Se necesita 2 ejes de

coordenadas perpendiculares

entre sí OX, OY.

Posición del móvil:

Movimiento de un móvil en el

espacio. Se necesita 3 ejes de

coordenadas perpendiculares

entre sí OX, OY, OZ.

Posición del móvil: 2 coordenadas x, y. 3 coordenadas x, y, z.

O Y

X

Z

z

x y

P (x, y, z)

O

Xx P (x)

O

X

Y

y

x

P (x, y)

• MÓVIL: objeto en movimiento respecto a un sistema de referencia.

• MÓVILES PUNTUALES: sin dimensiones, reducidos a un punto.

• POSICIÓN DE UN MÓVIL: lugar que ocupa con relación al sistema de referencia.

• MOVIMIENTO DE UN OBJETO: variación de la posición de un móvil con el tiempo respecto a

un sistema de referencia tomado arbitrariamente.

• OBJETO EN REPOSO: Su posición respecto al sistema NO varía con el tiempo.

• RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO: no existe en el universo ningún sistema de referencia fijo ⇒

movimiento y reposo son conceptos relativos: dependen del sistema de referencia escogido.

3

2. MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO

• VECTOR POSICIÓN rr

: vector que va del origen de

coordenadas O al punto P donde está situado el móvil. En

general, varía con el tiempo:

(t)r rrr

= • TRAYECTORIA: curva descrita por los puntos por los que

pasa el móvil.

• VECTOR DESPLAZAMIENTO, rr

Δ , entre dos puntos

P0 y P: vector con origen en P0 y extremo P.

Cálculo: 0rrrr

−=rr

Δ

• ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO: ecuación que describe la posición del móvil a lo largo del tiempo.

j)t(yi)t(x)t(rrrr

+=

x(t), y(t): ecuaciones paramétricas de la trayectoria.

• Ejemplo 1: El vector de posición de un móvil es jt3it5)t(r 2rrr

−= en unidades SI. Determina:

a) la posición del móvil en los instantes t = 2 s y t = 5 s; b) el vector desplazamiento en los

instantes t = 2 s y t = 5 s, y su módulo; c) la ecuación de la trayectoria; dibújala

aproximadamente.

a) ( )mj12i10j23i25)s2(r 2r r r rr

−=⋅−⋅=

( ) mj75i25j53i55)s5(r 2rrrrr

−=⋅−⋅= b) ( ) ( ) ( )mj63i15mj12i10mj75i25)s2(r)s5(rrrr 0

rrrrrrrrrrr−=−−−=−=−=Δ

m8,64)m63()m15(r 22 =−+=r

Δ

c) 5xt =⇒ t5x =

25x3−= (una parábola) y

5x3yt3y

222 ⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒−=

• Ejemplo 2: El vector de posición de un móvil es j)5t6(it2)t(r

rrr++= en unidades SI.

Determina: a) el vector desplazamiento en los instantes t = 1 s y t = 4 s, y su módulo; b) la

ecuación de la trayectoria; dibújala aproximadamente; c) la distancia recorrida por el móvil.

a) ( )( ) ( )( ) ( )mj18i6mj516i12mj546i42)s1(r)s4(rrrr 0

r r r r r rrrrrr−=+⋅−⋅−+⋅+⋅=−=−=Δ

m0,19)m18()m6(r 22 =+=r

Δ

b) 2xtt2x =⇒=

= 5x3 + yc) )rectilíneaatrayectori(m0,19rs ==

rΔΔ

4

• VELOCIDAD: unidades en SI, m/s.

VECTOR VELOCIDAD MEDIA: cociente entre el vector

desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido.

VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA:

( )( )0

0m tt

rrtrv

−−

==rrr

r

ΔΔ

td)t(rd

t)t(rlim)t(v

0t

rrr

==→ Δ

ΔΔ

• Ejemplo 3: El vector de posición de un móvil es jt5i)2t()t(r 2rrr

+−= en unidades SI.

Determina: a) el vector velocidad media entre t = 0 s y t = 2 s, y su módulo; b) el vector

velocidad instantánea en función del tiempo.

a) ( ) mi2j05i20)s0(r 2rrrr

−=⋅−−=

( ) ( )mj10i2j25i22)s2(r 2rrrrr

+=⋅+−=

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) s/mj5i2s2

mj10i4s2

i2j10i2s0s2

)s0(r)s2(rttrr

trv

0

0m

rrrrrrrrrrrr

r+=

+=

−−+=

−−

=−−

==ΔΔ

b) ( ) s/mj5it2td

)t(rd)t(vrrr

r+==

• ACELERACIÓN: unidades en SI, m/s2.

VECTOR ACELERACIÓN MEDIA: cociente entre la variación

del vector velocidad instantánea, 0vvvrrr

−=Δ y el intervalo de

tiempo transcurrido, Δt = t − t0.

VECTOR ACELERACIÓN INSTANTÁNEA:

( )( )0

0m tt

vvtva

−−

==rrr

r

ΔΔ

td)t(vd

t)t(vlim)t(a

0t

rrr

==→ Δ

ΔΔ

• Ejemplo 4: La velocidad de un móvil es ( ) j2tit6)t(vrrr

+−= en unidades SI. Determina: a) el

vector aceleración media entre t = 0 s y t = 3 s, y su módulo; b) el vector aceleración

instantánea en función del tiempo.

a) ( ) s/mj2j20i06)s0(vrrrr

−=+−⋅=

( ) ( ) s/mj2i18j23i36)s3(vrrrrr

−=+−⋅=

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2

0

0m s/mji6

s3mj3i18

s3j2j5i18

s0s3)s0(v)s3(v

ttvv

tva

rrrrrrrrrrrr

r−=

−=

−−−=

−−

=−−

==ΔΔ

b) ( ) 2s/mji6td

)t(vd)t(arrr

r−==

5

COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN:

♦ COMPONENTE TANGENCIAL: variación

del módulo de la velocidad con el tiempo.

dtdvat =

♦ COMPONENTE NORMAL: variación de la

dirección de la velocidad con el tiempo.

Rva

2

n =

♦ a nnttnt uauaaar r r r r

+=+=

• Ejemplo 5: Un automóvil toma una curva de 142 m de radio con una velocidad cuyo módulo

aumenta en el tiempo según la ecuación v (t) = 2,5 t + 5 en unidades SI. Calcula la aceleración

tangencial y la aceleración normal en el instante t = 3 s.

2s/m5,2td

)t(vd)t(a == Aceleración tangencial constante.

v (3s) = 2,5 ⋅ 3 + 5 = 12,5 m/s ( ) 2

22

n s/m1,1m142

s/m5,12Rva ===

• DEDUCCIÓN DE LA VELOCIDAD Y EL VECTOR POSICIÓN:

Deducción de la velocidad conocido

el vector aceleración y las

condiciones iniciales del movimiento:

⇒=⇒=⇒= ∫∫t

t

v

vtdavdtdavd

tdvdr

∫+=t

t00

tdavvrrr

00

rrrr r

ar

r

⇒=⇒=⇒= ∫∫t

t

r

r 00

tdvrdtdvrdtdrdv

rrrrr

rr

r ∫+=t

t00

tdvrrrrr Deducción del vector de posición

conocido el vector velocidad.

• Ejemplo 6: La aceleración de un movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación 2s/mit2a

rr= . Calcula las ecuaciones de la velocidad y de la posición en función del tiempo,

sabiendo que en el instante inicial 2s/mit2arr

= , v s/mir

−= 0

r y r mi6

rr= .

( ) s/mi2r

t1i2t2itdit2itdavv

t

'0

2t

0

t

t00

rrrrrrr+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−=+= ∫∫

( ) mit3t6it

3ti6tdi1ti6tdvrr

3t

0

3t

02t

t00

rrrrrrrr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=−+=+= ∫∫

6

3. ESTUDIO DE ALGUNOS MOVIMIENTOS

• MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

Descripción El móvil se desplaza sobre una trayectoria rectilínea con velocidad constante.

El móvil se desplaza sobre una trayectoria rectilínea con aceleración constante.

Aceleración a = 0 a = constante

Ecuación de la velocidad

0vtdavv 0t

t00

+=+= ∫

v= v0 = constante

∫+=t

t00

tdavv

)tt(avv 00 −+=

Ecuación de la posición

∫+=t

t00

tdvxx

)tt(vxx 00 −+=

[ ]∫∫ −++=+=t

t 000t

t000

td)tt(avxtdvxx

( )20000 tta

21)tt(vxx −+−+=

Gráficas

t (s)

x (m)( ) ( )2

0000 tta21ttvxx −⋅⋅+−⋅+=

t (s)

a(m/s2)

0

7

• Ejemplo 7: Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 2 m/s2, que

mantiene durante 10 s. A continuación, mantiene la velocidad constante durante medio

minuto. Calcula la distancia total recorrida.

MRUA: ( ) ( ) m100 s10sm2

2100tta

21)tt(vxx 2

22

0101001 =++=−+−+=

sm20= s10

sm20)tt(avv 20101 +=−+=

MRU: m700 s30sm20100)tt(vxx 12112 =⋅+=−+=

sm20s10

sm20)tt(avv 20101 =+=−+=

• MOVIMIENTOS VERTICALES

MRUA cuya aceleración es constante.

Influencia en el movimiento: Atracción de los objetos por la Tierra.

Todos los cuerpos caen con la misma aceleración independientemente de su masa

(Galileo, 1564-1642).

Diferencias en la caída de diferentes objetos debido a su forma y a la resistencia del aire.

Aceleración: aceleración de la gravedad, ag = 9,81 m/s2a . a = − g (sentido: hacia abajo).

Ecuación del movimiento: ( )20tt000 g21)tt(vyy −−+= −

Ecuación de la velocidad: )tt(gvv 00 −−=

v = v0 + a ⋅ t ⇒ av = v0 − g ⋅ ta ⇒ g

vvt 0 −=

2t21

⋅⋅ ⇒ Sustituyendo t por 00 gtvyy −⋅+=g

vvt 0 −= ⇒ yy −( )0

22

0g2vv =−

• Casos dependiendo del valor de v0:

1. Caída libre: Aumento uniforme de v (valor absoluto) desde v0 = 0 hasta llegar al suelo.

2. Lanzamiento vertical hacia abajo: Aumento uniforme de v (valor absoluto)desde v0 hasta

llegar al suelo.

3. Lanzamiento vertical hacia arriba: disminución uniforme de v hasta el valor 0.

8

CAÍDA LIBRE

LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO

LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ARRIBA

• Gráficas y-t:

MOVIMIENTO VERTICAL

t (s)0 1 2 3 4

y (m)

0

5

10

15

20

25

Lanzamiento vertical hacia arriba: 2t8,921t200y ⋅⋅−⋅+=

Caída libre: 2t8,921t025y ⋅⋅−⋅+=

Lanzamiento vertical hacia abajo: 2t8,921t2025y ⋅⋅−⋅−=

9

4. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS

• MOVIMIENTO COMPUESTO: movimientos en

dos dimensiones que se pueden considerar

como la combinación de dos o más

movimientos simples.

• ESTUDIO DE UN MOVIMIENTO COMPUESTO:

1. Descomposición en movimientos simples.

2. Determinación del tipo de cada uno de los

movimientos simples componentes.

3. Obtención de las ecuaciones de cada uno de los movimientos simples componentes.

4. Obtención de las ecuaciones del movimiento compuesto:

a. POSICIÓN DEL MÓVIL: suma vectorial de los vectores posición

de los movimientos componentes. jyixrrrr

+=

b. VELOCIDAD DEL MÓVIL: suma vectorial de los vectores

velocidad de los movimientos componentes. jvivv yx

rrr+=

c. TIEMPO DEL MOVIMIENTO COMPUESTO: tiempo de cualquiera de los movimientos

componentes.

COMPOSICIÓN DE DOS MRU PERPENDICULARES

• Barca cruzando un río.

• Trayectoria: recta que forma un

ángulo α con la orilla.

• Movimiento real de la barca ⇒

movimiento compuesto:

a) MRU paralelo a las orillas del río

(corriente).

b) MRU perpendicular a las orillas

del río (remero).

• ECUACIÓN DE LA POSICIÓN:

Eje X: MRU horizontal: ax = x0 + vx (t − t0)a

Eje Y: MRU vertical: ay = y0 + vy (t − t0)a

• ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA: ay = y0 + vy/vx (x − x0)a

10

4.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Mov. de trayectoria parabólica compuesto de 2 movimientos simples:

a) MRU horizontal de velocidad vx cte.

b) MRUA vertical con velocidad inicial v0y hacia arriba.

• ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD:

Descomposición de 0vr

en sus dos componentes, v0x, horizontal y v0y, vertical:

cos α = 0

x0vv

⇒ v0x = v0 cos α

sen α = 0

y0

vv

⇒ v0y = v0 sen α

MRU horizontal:

avx = v0x = cte.a

MRUA vertical:

avy = v0y − g (t − t0)a

Velocidad resultante:

jvivvvv yxyxrrrrr

+=+=

2y

2x v+vv =

r

• ECUACIÓN DE LA POSICIÓN:

MRU horizontal: ax = x0 + v0x (t − t0)a

MRUA vertical: ay = y0 + v0y (t − t0) − ½ g (t −t0)2a

Vector de posición: jyixrrr 21rrr rr

+ =+= 22 y+xr =r

• Parámetros característicos del movimiento parabólico:

Tiempo de movimiento Alcance Altura máxima

Tiempo total del movimiento.

y = 0 ⇒ 0 = v0y t − ½ g t2 ⇒

0 = v0y − ½ g t ⇒

⇒=gv2

t y0

gsenv2t 0

maxα

=

Distancia horizontal recorrida. Altura máxima alcanzada.

x = v0x t = v0 cos α gv2 y0 vy = 0 ⇒ 0 = v0y − g t ⇒

gsenvt 0 α

=x=

gsenv2cosv 00 αα ⋅⋅

gcossenv2

x20 αα

=

α2sengvx

20

max =

⇒=g

vt y0

ymax = v0y t − ½ g t2 =

= g2

senvg

senv 220

220 αα

−

g2senvy

220

maxα

=

11

Ejemplo 8• : Una canoa cruza un río de 10 m de anchura a una velocidad de 2 m/s

perpendicular a la corriente. Si la velocidad de la corriente es de 1 m/s, calcula:

a) El tiempo que tarda en cruzar el río.

b) La distancia que recorre la barca.

c) La ecuación de la trayectoria.

s5s/m2

m10vyty

===a) y = vy t ⇒

b) x = vx t = 1 m/s ⋅ 5 s = 5 m

m18,11105yxr 2222 =+=+=

c) x = t

y = 2 t

y = 2 x

Ejemplo 9• : Proyectil lanzado desde una altura de 150

m con v0 = 400 m/s y α = 30º.

a) ¿componentes de vr

?

b) ¿t de caída al suelo?

c) ¿Alcance?

d) ¿Altura máxima?

a) v0x = v0 cos α = 400 m/s ⋅ cos 30º = 346,4 m/s

v0y = v0 sen α = 400 m/s ⋅ sen 30º = 200 m/s

b) y = 0 ⇒ ay = y0 + v0y t − ½ g t2 ⇒ a0 = 150 + 200 t − ½ 9,8 t2 ⇒ t = 41,5 s

c) x = v0x t = (v0 cos α) t = 400 m/s ⋅ cos 30º ⋅ 41,5 s = 14.376 m

s4,20s/m8,9

s/m0s/m200g

vv2

yy0 =−

=−

d) vy = 0 ⇒ ymax. vy = v0y − g t ⇒ t =

y = y0 + v0y t − ½ g t2 ⇒ ymax = 150 m + 200 m/s ⋅ 20,4 s − ½ 9,8 m/s2 (20,4 s)2 = 2190,8 s

12

5. MOVIMIENTO CIRCULAR

• Movimiento cuya trayectoria es una circunferencia.

PERIODO• : T, magnitud que mide el tiempo que tarda el móvil en dar

una vuelta. Unidades (S.I.): s.

FRECUENCIA• : Nº de vueltas en un segundo.

T1

=ν

Unidades: s-1 = Hz (hercios).

• Tipos de magnitudes para el estudio de un movimiento circular: a) Magnitudes lineales: clásicas (espacio recorrido, velocidad lineal, aceleración).

b) Magnitudes angulares: ángulo descrito, velocidad angular, aceleración angular.

MAGNITUDES ANGULARES

• ÁNGULO GIRADO ϕ: ángulo girado por el radio R cuando el móvil se

desplaza desde O a P (ϕ, letra griega, llamada “fi”).

Radián: unidad de medida de ángulos que equivale al arco de

circunferencia s de longitud igual a su radio R.

Relación entre la longitud del arco y el ángulo : s = ϕ ⋅ R

Equivalencia entre la unidad de medida grado (º) y el radian . Si el

radio de una circunferencia vale 1:

Longitud de la circunferencia = 2 ⋅ π ⋅ R = 2 ⋅ π

Ángulo total de la circunferencia = 360º

a360º = 2π rad = 1 vueltaa

• VELOCIDAD ANGULAR MEDIA ωm: 0

0m t-t(s) t

(rad) ϕϕΔϕΔω

−==

Unidades (SI): rad/s

Otras unidades: vueltas/min o rev/min, rpm.

Conversión de vuelta/min en rad/s: s60 rad 2π

minvuelta1 =

srad

32π

s06min 1

vuelta1rad 2π

minvuelta20rpm20 =⋅⋅=

rpm20 min

vuelta20min1

s06rad 2π

vuelta1s

rad3

2πs

rad3

2π==⋅⋅=

• VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA ω: tddϕω =

13

• ACELERACION ANGULAR MEDIA αm: 0

0m t-t(s) t

(rad/s) ωωΔ

ωΔα−

==

Unidades (SI): rad/s2

• ACELERACION ANGULAR INSTANTÁNEA α: tddωα =

5.2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

• Trayectoria del móvil: CIRCUNFERENCIA.

• MCU ⇒ Movimiento PERIÓDICO: cada vuelta en el

mismo tiempo.

• Recorre espacios iguales en tiempos iguales.

• Velocidad lineal CONSTANTE:

TR2

TL

(s) Periodo(m) nciacircunfere la de longitud

ts

(s) tiempo(m) arco del longitud(m/s)v ⋅⋅

=====π

ΔΔ

• Describe Δϕ iguales en intervalos de t iguales: ω constante ⇒ aα = 0a

• Ecuación del movimiento: ⇒−−

==0

0

tttϕϕ

ΔϕΔω )tt( 00 −+= ωϕϕ

⇒⋅

=⇒⋅=tR

tsRs

ΔϕΔ

ΔΔϕΔΔ Rv ⋅= ω• Relación entre v y ω:

dtdR

dtds ϕ

=Si Δt → 0 ⇒ ⇒ av = ω Ra

dtdϕ

dtds y ω = v =

vr

• varía su dirección en cada instante: vector tangente a la

trayectoria en cada punto.

⎟⎠⎞

⎜⎛ ⎝

=dtdvatv

r cte. ⇒ aat = 0a Constante en módulo:

vr

varía su dirección y sentido continuamente. Conclusión: el

móvil tiene una aceleración normal o centrípeta (an ó ac).

• Aceleración normal o centrípeta:

Módulo: Rva

2

n = an cte.

Dirección: Radio de la circunferencia.

Sentido: Hacia el centro de la circunferencia.

Unidades (S.I.): m/s2

( ) RRR

RR

Rva 2

2222

c ⋅=/⋅

=⋅

==/

ωωω

14

Ejemplo 10• : Tocadiscos con un disco de R = 15 cm = 0,15 m; ω = 45 rpm. a) ¿ ω en rad/s? b)

¿v en un punto de la periferia del disco? c) ¿nº de vueltas en 30 min?

ϕ0 = 0. t0 = 0. R = 15 cm = 0,15 m. t = 30 min = 1.800 s

=⋅⋅rev1rad2

s60min1

min1rev45 πa) ω = 45 rpm = 1,5 π rad/s

b) v = ω R = 1,5 π rad/s ⋅ 0,15 m = 0,7 m/s

c) ϕ = ϕ0 + ω (t − t0) = 0 + 1,5 π rad/s ⋅ 1.800 s = 2.700 π rad

ϕ = 2.700 π rad ⋅ rad2

rev1π

= 1.350 rev

5.3. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)

Trayectoria circular• .

• Variación uniforme de ω ⇒ aα cte.a

• Describe Δϕ mayores (o menores) en intervalos de

tiempos iguales.

vr

• varía con t. ⇒ aat ≠ 0a

at = dtdv = R

dtd

dt)R(d

⋅=ωω ⇒ Rat α=

RRva 2

2

n ω==vr

• varía su dirección con t: an variable

)tt( 00 −+= αωω• Ecuación de la velocidad angular: 0

0

tt −−

=ωω

α ⇒ (1)

( 20000 tt

21)tt( −+−+= αωϕϕ• Ecuación del movimiento:

0

0

ttt −−

==ϕϕ

ΔϕΔω ⇒ ) (2)

• Combinando (1) y (2): ( )020

2 2 ϕϕαωω −+=

• Ejemplo 11: Volante de R = 0,5 m. ω0 = 300 rpm. Frenado en 5 s. a) ¿ ω0 en rad/s? b) ¿nº de

vueltas hasta que se detenga? c) ¿at en un punto en la periferia? d) ¿an en un punto en la

periferia cuando ω0 = 300 rpm?

Datos: R = 0,5 m; ω0 = 300 rpm; ϕ0 = 0 m; t0 = 0 s; t = 5 s.

=⋅⋅rev1rad2

s60min1

min1rev300 πa) ω0 = 300 rpm = 10 π rad/s

( 20000 tt

21)tt( −+−+= αωϕϕ2

0

0 s/rad20s5

s/rad100tt

ππωωα −=−

−=

−−

= )b) ⇒

20 t

21t αωϕ += ⇒ ( ) =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅= 2

2 s5srad2

21s5

srad10 ππϕ rad25 π

c) at = α R = −2 π 2srad ⋅ 0,5 m = −3,1 m/s2

2

2srad10 ⎟

⎠⎞d) an = ω2 R = ⎜

⎝⎛ ⋅ 0,5 m = 493,5 m/s π

15

6. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA 6.1. LAS FUERZAS Y EL MOVIMIENTO

• Aristóteles (s. IV a. C.):

Estado natural de los cuerpos: reposo.

Cuerpo en movimiento: movido por otro.

PRINCIPIO DE INERCIA• (Galileo, s. XVII): un cuerpo que no experimenta ninguna perturbación continua moviéndose indefinidamente con movimiento rectilíneo uniforme.

6.2. FUERZAS Y ACELERACIÓN

• Las fuerzas pueden modificar el ESTADO DE MOVIMIENTO de los cuerpos.

Situaciones cotidianas• : Inicio del movimiento de cualquier objeto en reposo, disminución de la

velocidad de un objeto hasta pararse,...

FUERZA• : Causa que produce la VARIACIÓN DE VELOCIDAD (en modulo, en dirección o en

sentido) de un cuerpo: ACELERACIÓN.

DINÁMICA• : parte de la Física que estudia las fuerzas en relación con los movimientos que

producen.

Se rige por LAS TRES LEYES DE LA DINÁMICA (Isaac Newton, s. XVII).

6.3. PRIMERA LEY DE LA DINÁMICA: LEY DE INERCIA

• Todo cuerpo permanece en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme mientras

no actúe sobre el una fuerza neta.

FUERZA NETA• : Fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.

• Si la fuerza neta es nula ⇒ Velocidad constante.

Cuerpo en reposo ⇒ v constante, v = 0.

Cuerpo en MRU ⇒ v constante, v ≠ 0.

• Si la fuerza neta no es nula ⇒ Velocidad variable.

Cuerpo en reposo ⇒ Cuerpo en movimiento, v varía (v0 = 0 ⇒ v ≠ 0).

Cuerpo en MRU ⇒ Cuerpo varía su velocidad (v > v0 ó v < v0 ó vr

varía de dirección).

• Si la velocidad v varía en módulo, en dirección o en sentido ⇒ La fuerza neta no es nula. r

INERCIA DE LOS CUERPOS• : Tendencia de los cuerpos a mantener su estado de movimiento.

Situaciones:

Frenado en un coche o en un autobús: nuestro cuerpo se inclina hacia delante.

Arranque en un coche o en un autobús: nuestro cuerpo se inclina hacia atrás.

Un coche toma una curva: nuestro cuerpo sigue en línea recta.

Aclaraciones de la ley• :

Si la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es 0 el cuerpo permanece en reposo.

Ningún cuerpo mantiene un MRU sin la acción de una fuerza: FUERZA DE ROZAMIENTO.

16

6.4. SEGUNDA LEY DE LA DINÁMICA: LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA

• ¿Si la fuerza neta no es nula? ⇒ Velocidad varía ⇒ ACELERACIÓN.

tvva 0−

=

• Estudio de la relación entre la fuerza aplicada a un cuerpo y su aceleración:

F (N) 20 30 40 50 a (m/s2) 1 1,5 2 2,5

F/a 20 20 20 20

• Cociente aF : Valor constante. kg 20

2,550

2,040

1,530

1,020

aF

=====

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD• : MASA del cuerpo.

• La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que le produce.

aF = m ⋅ aa

La dirección y el sentido de la aceleración es el mismo que el de la fuerza neta.

Ejemplo 12• : Cuerpo de m = 400 g y a = 0,75 m/s2. ¿F?

m = 400 g = 0,4 kg

F = m ⋅ a = 0,4 kg ⋅ 0,75 m/s2 = 0,30 N

Ejemplo 13• : Cuerpo de m = 150 g y F= 0,30 N. ¿a? ¿distancia recorrida en 2 s?

m = 150 g = 0,15 kg

kg 0,15N 30,0

mF

= = 2,0 m/s2 F = m ⋅ a ⇒ a =

( ) m10s2sm0,2

21s2

sm3ta

21tvx 2

22

0 =⋅⋅+⋅=+=

Ejemplo 14• : Cuerpo con F= 1,0 N y a = 2,0 m/s2. ¿m?

2m/s2,0 N 0,1

aF

=F = m ⋅ a ⇒ m = = 0,5 kg

Fr

'FrEjemplo 15• : Cuerpo de m = 2,0 kg y F = 1,5 N. Una

corriente de aire lo frena con F’ = 0,5 N, con la misma

dirección y sentido contrario de F. ¿a? ¿distancia

recorrida en 2 s?

Fneta = F − F’ = 1,5 N − 0,5 N = 1,0 N

kg2,0 N 0,1

mFneta = = 0,5 m/s2 Fneta = m ⋅ a ⇒ a =

( ) m5s2sm5,0

21s2

sm3ta

21tvx 2

22

0 =⋅⋅+⋅=+=

17

6.5. TERCERA LEY DE LA DINÁMICA: LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Situaciones cotidianas• : Choque de dos bolas de billar, dos patinadores se empujan, salto

desde una barca a la orilla, un avión a reacción, un calamar,...

'Fr

Fr

ABFr

• Si un cuerpo A ejerce una fuerza , llamada ACCIÓN,

sobre otro cuerpo B, el cuerpo B responde ejerciendo

una fuerza opuesta BAFr

, llamada REACCIÓN, sobre el

cuerpo A, cuyas características son:

BAFr

tiene la misma dirección que Fr

. AB

BAFr

ABFr

tiene sentido contrario a .

BAFr

ABFr

BAFr

tiene el mismo módulo que . La intensidad de la reacción depende

directamente de la intensidad F

r. AB

BAFr

ABFr

tienen distintos puntos de aplicación. y

ABFr

es aplicada por el cuerpo A sobre el cuerpo B.

BAFr

es aplicada por el cuerpo B sobre el cuerpo A.

Los efectos sobre el cuerpo A y B pueden ser distintos si tienen distinta masa.

2ª Ley de la Dinámica: F = m ⋅ a

Ejemplo 16• : Dos patinadores en reposo de masas m1 = 50 kg y m2

= 60 kg. El primero empuja al segundo con una fuerza de 60 N.

Calcula la aceleración de cada uno.

Ni60FF 1221

rrr−=−= F

rNi60

r =12

2

2

1222212

2

1

2111121

s/mi1kg60Ni60

mFa;amF

s/mi2,1kg50

Ni60mFa;amF

rrr

rrr

rrrr

===⋅=

−=−

==⋅=rr

18

6.6. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO

• : magnitud vectorial, que combina las dos

magnitudes que caracterizan el estado dinámico

de un cuerpo, su masa y de su velocidad.

pr

a = m ⋅ pr

vr

a

Dirección y sentido: los del vector velocidad vr

.

Módulo: p = m ⋅ v

Unidades (SI): kg ⋅ m ⋅ s−1

Efecto de la fuerza resultante Fr

pr

sobre un cuerpo: variación de su momento lineal con t.

( )dtpd

dtvmd

dtvdmamF

rrrrr

====

pr

LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA EN FUNCIÓN DEL MOMENTO LINEAL• : La

fuerza resultante de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo es igual al cociente entre la

variación de su cantidad de movimiento respecto al tiempo.

dtpdFrr

=

pr

: medida de la dificultad de detener un cuerpo en movimiento. •

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO• : si la resultante de

las fuerzas exteriores sobre un sistema de 2 o más cuerpos que interactúan entre sí es nula, la

cantidad de movimiento del sistema permanece constante.

Ejemplo• : Sistema formado por dos bolas de billar.

01101 vmprr

⋅= Cantidad de movimiento de la bola 1:

02202 vmprr

⋅= Cantidad de movimiento de la bola 2:

Cantidad de movimiento total de un sistema : Suma

de las cantidades de movimiento de todos los

cuerpos que forman el sistema:

...vmvm...ppp 221121 +⋅+⋅=++=rrrrr

• Aplicación del teorema de conservación de la cantidad de movimiento al sistema:

2211022011 vmvmvmvmrrrr

⋅+⋅=⋅+⋅

• Fuerzas que actúan en sistema ( ): fuerzas de acción y reacción, F y Frr

0Fext =r

: 1221

dtpdamF;

dtpdamF 2

22121

1121

rrrr

rr=⋅==⋅=

( ).ctep0FSi0pp0

dtppd0

dtpd

dtpd

212121 =⇒=⇔=+⇒=

+⇒=+ ∑

rrrrrrrr

21Fr

12Fr

• = 0 ⇒ +

19

Ejemplo 17• : coche de m = 1500 kg con v0 = 25

m/s. Se aplica una F constante, de la misma

dirección y sentido que v0 durante 3 s. La velocidad

final es v = 30 m/s. Calcula:a) ¿Cantidades de movimiento inicial y final?; b) ¿módulo de F?

ismkg37500ism25kg1500vmp 1100

rrrr −− ⋅⋅=⋅⋅==a)

ismkg45000ism30kg1500vmp 11rrrr −− ⋅⋅=⋅⋅==

N2500FNi2500s3

ismkg37500ismkg45000tpp

tpF

110 =⇒=

⋅⋅−⋅⋅=

Δ−

=ΔΔ

=−− rrrrrrr

b)

Ejemplo 18• : Calcula la velocidad de

retroceso de un fusil de 5,5 kg que

dispara un proyectil de 10 g con una

velocidad de 300 m ⋅ s−1.

0vmvmppp p0pf0fp0f00 =⋅+⋅=+=rrrrr

ppffpf vmvmppprrrrr

⋅+⋅=+=

ism55,0kg5,5

ism300kg010,0m

vmv0vmvm0p 1

1

f

ppfppff

rrr

rrrr −−

⋅−=⋅⋅−

=⋅−

=⇒=⋅+⋅⇒=

6.7. IMPULSO

• El efecto de una fuerza sobre un cuerpo no sólo depende de su intensidad, también

depende de su tiempo de actuación.

Ir

IMPULSO DE UNA FUERZA• , : magnitud vectorial que mide el producto de una fuerza por el

tiempo que actúa.

tFI Δ⋅=rr

Dirección y sentido: los del vector fuerza Fr

.

Módulo: I = F ⋅ Δt

Unidades (SI): N ⋅ s

• TEOREMA DEL IMPULSO: El impulso de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es

igual a la variación de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo.

00 vmvmppptFIptFtpF

rrrrrvrrvr

v−=−=Δ=Δ⋅=⇒Δ=Δ⋅⇒

ΔΔ

=

0vmvmtFIrrvr

−=Δ⋅=

Ejemplo• : Sistema formado por dos bolas de billar.

Cantidad de movimiento total del sistema formado por dos bolas de billar antes del choque:

02201102010 vmvmppprrrrr

⋅+⋅=+=

Cantidad de movimiento total del sistema formado por dos bolas de billar después del choque:

221121 vmvmppprrrrr

⋅+⋅=+=

20

0F =r

Si la resultante de las fuerzas exteriores del sistema es nula ( ), el teorema del impulso queda:

⇒=−==⋅ 0ppptF 0rrrv

ΔΔ 0pprr

=

Ejemplo 19• : Tenista que golpea a una pelota

de masa m = 125 g, que le llega con una

velocidad de 10 m/s, y la devuelve en la misma

dirección y sentido contrario a 21,25 m/s. La

fuerza aplicada es de 400 N. Calcula el tiempo

de contacto entre la raqueta y la pelota.

( )[ ] s01,0N400

s/m10s/m25,21kg125,0F

)vv(mF

vmvmt

vmvmtFivmivmitFvmvmtFI

00

000

=−−

=−

=−

=

−=⋅⇒−=⋅⇒−=⋅=

Δ

ΔΔΔrrrrrvr

21

6.8. APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON EN LA DINÁMICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO

a) FUERZAS NORMALES

Nr

Nr

Pr

• Fuerza normal, : fuerza que ejerce la superficie de apoyo de un

cuerpo sobre este. Fuerza de reacción a la que ejerce el cuerpo en la superficie. Fuerza perpendicular a la superficie. N = P

b) MOVIMIENTO EN UN PLANO HORIZONTAL

Fy = F ⋅ sen β Fx = F ⋅ cos β

N = P − Fy = P − F ⋅ sen β

Fr = μc ⋅ N = μc ⋅ (m ⋅ g − F ⋅ sen β)

Σ F = m ⋅ a ⇒ F ⋅ cos β − μc ⋅ (m ⋅ g − F ⋅ sen β) = m ⋅ a

c) MOVIMIENTO EN UN PLANO INCLINADO

Py = P ⋅ cos α Px = P ⋅ sen α

N = Py = P ⋅ cos α Fr = μc ⋅ N = μc ⋅ P ⋅ cos α

Σ F = m ⋅ a ⇒ P ⋅ sen α − μc ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α = m ⋅ a

22

d) FUERZAS DE ROZAMIENTO

rFr

• Fuerza de rozamiento, : fuerza que aparece en la

superficie de contacto de los cuerpos, oponiéndose al

movimiento de estos.

• Causa: superficies irregulares de todos los cuerpos, que

producen uniones y soldaduras entre ellos.

• Dos situaciones:

rFr

a) en cuerpos en movimiento:

Dirección: paralela a la superficie de deslizamiento.

Sentido: contrario a la velocidad.

Módulo: NF cr ⋅= μ

cμ : COEFICIENTE DE ROZAMIENTO CINÉTICO .

Número adimensional. No depende del área de contacto. Depende de la naturaleza de las superficies en

contacto y de su estado: Cuanto más lisas son las

superficies más pequeños son cμ y Fr.

rFr

b) en cuerpos en reposo:

Dirección: paralela a la superficie de contacto.

Sentido: Contrario a la componente tangencial de la

fuerza Fr

aplicada sobre el cuerpo.

Módulo: Igual a la componente tangencial de la fuerza Fr

.

Valor máximo del módulo: NF er ⋅= μ

eμ : COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO.

Número adimensional. No depende del área de contacto.

Depende de la naturaleza de las superficies en

contacto y de su estado. Cuanto más lisas son las

superficies más pequeños son y Fr. eμ

rFr

rFr

máxima que se opone al movimiento es mayor que la • cuando el cuerpo ya está

moviéndose.

> eμ cμ

23

Ejemplo 20• : Determina la fuerza normal que ejerce una superficie de apoyo sobre una maleta

de 20 kg de masa en los siguientes casos:

a) Superficie de apoyo horizontal.

b) Superficie de apoyo inclinada 30º con respecto a la horizontal.

a) N N196s/m8,9kg20gmP 2 =⋅=⋅==

2y =⋅⋅=⋅⋅== αb) N N74,169º30coss/m8,9kg20cosgmP

Ejemplo 21• : Baúl de masa m = 24 kg apoyado en el suelo

sobre el que se ejerce una fuerza Fr

hacia arriba que forma

un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula el valor mínimo

de F para que el baúl se separe del suelo.

N59,271º60sen

s/m8,9kg24sen

gmFsenFgmFp0N2

n =⋅

=⋅

=⇒⋅−⋅=−==β

β

Ejemplo 22• : Cuerpo de masa m = 15 kg que se deja

caer por un plano inclinado 30º respecto a la

horizontal. Calcula la aceleración que adquiere si: a)

no hay rozamiento; b) cμ = 0, 5.

a) Nr

y Pr

y se compensan ⇒ No hay movimiento en la

dirección normal a la superficie de apoyo.

La resultante Rr

xPr

= , en ausencia de rozamiento.

N5,73º30sens/m8,9kg15º30sengmº30senPP 2x =⋅⋅=⋅⋅=⋅=

2x m/s9,4kg15

N5,73mP2ª Ley de Newton: R = Px = m ⋅ a ⇒ a ===

−=b) Hay rozamiento ⇒ R rx FP

N31,127º30coss/m8,9kg15º30cosgmº30cosPPN 2y =⋅⋅=⋅⋅=⋅==

N65,63N31,1275,0NF cr =⋅=⋅= μ

2rx s/m66,0kg15

N65,63N5,73m

FPa =−

=−

=2ª Ley de Newton: ⇒ rx FPR −=

24

6.9. DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE CUERPOS ENLAZADOS

Tr

• TENSIÓN, : fuerza de reacción que soporta una cuerda o un

cable a la que está unido un cuerpo en un momento determinado.

Aplicaciones• : Uso de poleas para subir cuerpos pesados a una

cierta altura.

• Ejemplo: Determinación de la tensión Tr

que soporta el cable de

una grúa, que desplaza un cuerpo en dirección vertical y hacia

arriba con una aceleración, ar

.

1. Distinguir las fuerzas que actuan sobre el cuerpo con sus

direcciones y sentidos correspondientes.

2. Aplicar la ecuación correspondiente a la 2ª ley de Newton:

amFrr

⋅=∑

ampTrrr

⋅=−

3. Los hilos, cuerdas u otros elementos de unión, se consideran inextensibles y sin masa.

MÁQUINA DE ATWOOD• : sistema formado por una polea, un hilo inextensible de

masa insignificante y dos objetos de masas m1 y m2 colgadas de sus extremos.

Si m1 > m2, los dos cuerpos se mueven aceleradamente, el de mayor masa

hacia abajo y el otro hacia arriba.

Las tensiones de los dos extremos de la cuerda son iguales.

Aplicar la ecuación correspondiente a la 2ª ley de Newton:

Cuerpo 1: P1 − T = m1 ⋅ a Cuerpo 2: T − P2 = m2 ⋅ a

__________________

21

21

21

21

mmg)mm(a

mmgmgm Suma: P1 − P2=(m1 + m2) ⋅ a ⇒ a

+⋅−

=⇒+

⋅−⋅=

• Ejemplo 23: Determinación de la aceleración de un sistema formado por dos cuerpos de 4 kg

y 2 kg colgados de los extremos de una cuerda y determinación de la tensión de la cuerda.

Datos: m1 = 4 kg; m2 = 2 kg

Cuerpo 1 P1 − T = m1 ⋅ a

Cuerpo 2: T − P2 = m2 ⋅ a __________________

21

21

21

21

mmg)mm(a

mmgmgma

+⋅−

=⇒+

⋅−⋅= Suma: P1 − P2=(m1 + m2) ⋅ a ⇒

=+

⋅−=

kg2kg4s/m8,9)kg2kg4(a

2 3,27 m/s2

P1 − T = m1 ⋅ a ⇒ T = P1 − m1 ⋅ a = m1 (g − a) = 4 kg (9,8 m/s2 − 3,27 m/s2) = 26,12 N

25

6.10. APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Características del movimiento circular uniforme• :

Velocidad: vector tangente a la trayectoria en cada punto.

Constante en módulo: no hay aceleración tangencial.

Varía su dirección y sentido constantemente: hay una aceleración centrípeta o normal, an.

Dirección : Radio de la circunferencia.

Sentido : Hacia el centro de la circunferencia.

R

acFc

v Módulo: R

va2

c =

v

v

v

FUERZA CENTRÍPETA : Fuerza responsable de la

aceleración centrípeta. Vector con:

Dirección : radio de la circunferencia.

Sentido : Hacia el centro de la circunferencia.

Módulo: RvmamF

2

cc ⋅=⋅=

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME EN UN PLANO HORIZONTAL•

Ejemplo 24• : se hace girar sobre una mesa horizontal una bola

de 100 g atada al extremo de una cuerda de 20 cm de longitud

con una velocidad de 10 vueltas por minuto. Si el rozamiento

se considera insignificante, calcula la tensión de la cuerda.

srad

3s60min1

vuelta1rad2

minvueltas10 ππω =⋅⋅=

N022,0m20,0s

rad3

kg100,0RmRvmamFT

22

2

cc =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=⋅=⋅==

πω

Ejemplo 25• : EL PÉNDULO CÓNICO. Se hace girar una bola de

masa 50 g atada al extremo de una cuerda de longitud 50 cm

con una velocidad constante en módulo. Si la cuerda forma un

ángulo de 30º con la vertical, calcula la velocidad a la que gira la

bola y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa.

RvmamsenTFEje X: T

2

ccx ⋅=⋅=⇒= α

y ⋅Eje Y: T gmcosTP ⇒= =α

m25,05,0m50,0senlR =⋅== α

s/m2,1sm8,9m25,0º30tggRtgv

gRvtg

gmRvm

cosTsenT

2

2

2

=⋅⋅=⋅⋅=⇒⋅

=⇒⋅

⋅= αα

αα

26

s3,1s/m2,1

m25,02v

R2TT

R2tsv =

⋅⋅=

⋅⋅==⇒

⋅⋅=

ΔΔ

=πππ

• MOVIMIENTO EN UN CÍRCULO VERTICAL: Movimiento de un objeto atado a una cuerda de

longitud R, que gira en un círculo vertical alrededor de un punto fijo. Movimiento circular no uniforme: la velocidad varía su módulo, aumenta cuando

desciende y disminuye cuando asciende. El objeto tiene una aceleración tangencial que

varía durante el movimiento debido a la componente tangencial del peso, Pt.

Trayectoria circular: el vector velocidad cambia de dirección instantáneamente, por tanto,

hay una aceleración centrípeta y por tanto, una fuerza centrípeta actuando sobre el objeto.

Si la aceleración centrípeta se mantiene constante durante todo el movimiento su valor

dependerá de la contribución de las fuerzas que actúan sobre el objeto, que son el peso, P,

y la tensión de la cuerda, T.

Dependiendo de la posición del objeto durante su trayectoria la contribución de ambas

fuerzas, P y T, a la fuerza centrípeta variará.

La tensión varía de valor durante el movimiento si la fuerza centrípeta se mantiene

constante: tendrá un valor máximo en el punto más bajo de la trayectoria, y un valor mínimo

en el punto más alto de la trayectoria.

Existe una velocidad mínima, llamada velocidad crítica, en el punto más elevado de la trayectoria,

por debajo de la cual la cuerda deja de estar tensa, T = 0, y la trayectoria no es circular.

Punto 1: punto más alto de la trayectoria.

P y T mismo sentido, hacia abajo.

Eje normal: Fc = T1 + P Eje tangencial: Ft = 0

Punto 2: punto más bajo de la trayectoria.

P y T sentidos contrarios.

Eje normal: Fc = T2 − P

Eje tangencial: Ft = 0

Punto 3: P y T perpendiculares.

Eje normal: Fc = T3

Eje tangencial: Ft = −P

Punto 4: P y T perpendiculares.

Eje normal: Fc = T4

Eje tangencial: Ft = P Punto 5:

Eje normal: Fc = T5 − P ⋅ cos θ

Eje tangencial: Ft = −P ⋅ sen θ

27

Ejemplo 26• : una piedra de masa 100 g gira en un plano vertical atada a una cuerda de longitud

50 cm. Calcula: a) la velocidad mínima de la piedra para llegar al punto superior de la trayectoria

con la cuerda tensa; b) la velocidad con que saldrá disparada si se aumenta la velocidad de giro

hasta que la cuerda se rompe siendo el límite de resistencia de la cuerda de 10 N.

PTRvmF

2

c +=⋅=a)

s/m21,2m5,0s/m8,9gRvgm0Rvm0TSi 2

min

2=⋅=⋅=⇒⋅+=⋅⇒=

b) La cuerda se romperá en el punto inferiror de la trayectoria donde la tensión es máxima:

⇒−=⋅= PTRvmF max

2

cTmax = 10 N ⇒

s/m72,6m5,0kg1,0

kg1,0s/m8,9N10Rm

gmTv

2max =⋅

⋅−=⋅

⋅−=⇒

28

7. LAS FUERZAS Y EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

• Sólido rígido: sistema material formado por partículas tales que las distancias entre ellas

permanecen fijas incluso bajo la acción de fuerzas (situación ideal).

• Tipos de movimiento de los sólidos rígidos: 1. TRASLACIÓN: Todas las partículas del sólido realizan el mismo desplazamiento.

2. ROTACIÓN: Todas las partículas del sólido describen trayectorias circulares alrededor de un eje, excepto las situadas sobre el propio eje,

que permanecen inmóviles.

Situaciones cotidianas : abrir o cerrar una puerta, apretar un tornillo, ...

• Cualquier movimiento de un sólido rígido se puede considerar una

combinación de movimientos de traslación y rotación.

7.1. MOMENTO DE UNA FUERZA

• ¿Tipo de llave para aflojar una tuerca muy apretada? ¿Corta o larga? ¿Por qué?.

• El efecto de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje o un punto depende de:

La intensidad de la fuerza aplicada.

La distancia del punto de aplicación de la fuerza

al eje o punto de giro.

• Momento Mr

de una fuerza Fr

respecto a un punto O:

FrMrrr

×=

• Magnitud vectorial que tiene:

Módulo : M = F ⋅ d = F ⋅ r ⋅ sen α

d = distancia del punto O a la recta de aplicación

de la fuerza Fr

.

r = distancia del punto O y el punto de aplicación P

de la fuerza Fr

.

Fr

α = ángulo que forman la recta de aplicación de la fuerza y la recta que pasa por el punto

O y el punto de aplicación P.

Unidades: N ⋅ m (SI).

Dirección: perpendicular al plano que forman los vectores Fr

rr

y .

Sentido REGLA DEL SACACORCHOS (mano derecha) : , sentido de avance de un

sacacorchos o un tornillo que girase aproximando rr

a Fr

por el camino más corto.

•

29

Momento (+): giro en el sentido contrario que las agujas del reloj.

Momento (−): giro en el mismo sentido que las agujas del reloj.

MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS• :

∑=

=++++=n

1iin321 MM...MMMMrrrrr

Caso de fuerzas aplicadas sobre el mismo sólido en un mismo plano:

Momento de una fuerza negativo: giro en el mismo sentido que las agujas del reloj.

Momento de una fuerza positivo: giro en el sentido contrario que las agujas del reloj.

Ejemplo 27• : Calcula el momento de una fuerza de 1 N aplicada

sobre un punto de la periferia de un disco de radio 15 cm y

tangente a este.

M = R ⋅ F ⋅ sen α⋅ = 0,15 m ⋅ 1 N ⋅ sen 90º = 0,15 N ⋅ m

Produce un giro contrario al de las agujas del reloj. El momento es positivo.

7.2. PAR DE FUERZAS

• Situaciones cotidianas: giro de un volante, un manillar, una llave, ...

PAR DE FUERZAS• : sistema formado por dos fuerzas paralelas, de la

misma intensidad y de sentido contrario, aplicadas a un sólido rígido.

• Un par de fuerzas no produce traslación de un sólido rígido, produce

rotación.

• BRAZO DEL PAR: distancia entre las rectas de aplicación de las fuerzas, d.

• MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS:

Módulo: aM = F ⋅ da

Dirección: perpendicular al plano que

forman las dos fuerzas. Sentido : el del avance de un sacacorchos que girase en el sentido del par de fuerzas.

Ejemplo 30• : Un disco de 10 cm de diámetro gira por

aplicación sobre su periferia de un par de fuerzas de 5 N

cada una. Determina el módulo, la dirección y el sentido del

momento del par de fuerzas.

Módulo: M = F ⋅ d = 5 N ⋅ 0,1 m = 0,5 N ⋅ m

Dirección: Perpendicular al plano de las fuerzas.

Sentido: Regla del sacacorchos.

8. MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA

• Momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula: magnitud que define el estado

dinámico de una partícula.

vmprr

⋅=

Si una partícula está aislada es constante. pr

pr

Si una partícula interacciona con otras partículas varía.

• Momento angular de una partícula: magnitud importante para describir el movimiento circular

de una partícula.

30

• Situación: Partícula de masa m que se mueve describiendo

una curva con una velocidad. Posee.

Lr

• Momento angular del vector: de una partícula respecto del

punto O.

prLrrr

×=

El valor y la dirección de Lr

dependen del punto respecto del cual se toma el momento.

rr

pr

Dirección (plano XY). : perpendicular al plano definido por y

Sentido: reglas del producto vectorial.

Módulo: θsenprL ⋅⋅=

Módulo en el movimiento circular respecto del centro

de la circunferencia: máximo (θ = 90º).

ωrmrωrmvrmº90senvmrL 2O ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=

ω⋅= ILO ⇒ ωrr

⋅= IL

• I: momento de inercia de una partícula respecto de un eje de rotación: magnitud que indica

la distribución de las masas respecto de un eje de rotación.

2rmI ⋅= • Ejemplo 28: Un automovil de 2000 kg se mueve por una pista

circular de 40 m de radio con una velocidad de 30 m/s. Calcula

el momento angular del coche respecto del centro de la pista.

Módulo: LO = m ⋅ r⋅ v⋅ sen θ = 2 000 kg ⋅ 40 m ⋅ 30 m/s ⋅ sen

90º = 2,4 ⋅ 106 kg ⋅ m2 ⋅ s−1

• Dirección: perpendicular al plano XY.

• Sentido: positivo.

8.1. RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO DE TORSIÓN Y EL MOMENTO ANGULAR

prLrrr

×=• Momento angular de una partícula: (1)

FrMrrr

×=• Momento de torsión de una fuerza: (2)

( ) pdtrd

dtpdrpr

dtd

dtLd r

rrrrr

r

×+×=×=• Derivando (1) respecto al tiempo: (3)

( ) )5(vdtrd)4(Fam

dtvdmvm

dtd

dtpd r

rrrr

rr

=====

paralelos) son vmyv()6(0vmvpvpdtrd rrrrrrrr

=×=×=ו

MFrdtLd rrrr

=×=• Sustituyendo (4), (5) y (6) en (3)

• ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN: El

momento de una fuerza respecto a un punto P (o un eje) que actúa sobre una partícula es igual a

la variación con el tiempo del momento angular de esa partícula con respecto a ese punto (o eje).

dtLdMr

r=

• Ecuación fundamental de la dinámica del movimiento de rotación aplicada a un sólido rígido en función de la aceleración angular:

( )

⇔==== αωω rrrr

rI

dtdI

dtId

dtLdM α

rrIM =

• Ecuación fundamental de la dinámica del movimiento de traslación:

( )⇔==== am

dtvdm

dtvmd

dtpdF

rrrrr

amFrr

=

8.2. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

• Si la suma de los momentos de las fuerzas exteriores que actúan sobre una partícula o un

sistema es 0, el momento angular del sistema permanece constante.

cte.L0dtLd 0MSi =⇒=⇒=

rr

r

• Si se trata de un cuerpo en giro respecto de un eje fijo la conservación del momento angular

adopta la forma:

I1 ⋅ ω1 = I2 ⋅ ω2

31

• Situaciones en las que M : =r

0

No existen fuerzas exteriores.

Existe alguna fuerza exterior pero su momento es 0.

a) La fuerza pasa por el eje de giro y r = 0 ( un patinador).

b) La fuerza es paralela a r : r

(fuerzas gravitatorias) º0=θ

8.3. PARALELISMO ENTRE LOS MOVIMIENTOS DE TRASLACIÓN Y DE ROTACIÓ

32

N

Magnitud M. de traslación M. de rotación Relación Espacio s (m) ϕ (rad) s = φ R Masa m (kg) I (kg m2) I = a m R2

Velocidad media tsv =

tϕω = (m/s) (rad/s) v = ω R

Velocidad instantánea dtdsv =

dtdϕω = (m/s) (rad/s) v =ω R

Aceleración media tvva 0f −

=t

0f ωωα −= (m/s2) (rad/s2) a = α R

Aceleración instantánea dtdva =

dtdωα = (m/s2) (rad/s2) a = α R

Momento vmprr

= ωrr

IL = prLrrr

×=

Ecuación fundamental amdtpdF

rrr

== αr

rr

IdtLdM == FrM

rrr×=

Energía cinética 2c vm

21E = 2

c I21E ω=

Ecuaciones del movimiento

200 ta

21tvss ++= 2

00 t21t αωϕϕ ++=

sa2vv 2

02f =− ϕαωω 2- 2

02f =

Traslación Rotación

m I = m r2

amFrr

= αrrrrr

IMFrM =×=

vmprr

= ωrrrrr

ILprL =×=

dtpdFrr

=dtLdMr

r=

.ctep0FSi =⇒=rr

.cteL0MSi =⇒=rr

33

PROBLEMAS DE LA UNIDAD 2. CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA

1. El vector de posición de un móvil viene dado por la expresión: ( ) j)t2t(i2t4)t(r 2rrr

−++= , en

unidades SI. Determina: a) La posición del móvil para t = 1 s y para t = 3 s. b) El vector

desplazamiento para t = 1 s y para t = 3 s y su módulo. c) La ecuación de la trayectoria.

Sol.: a) ( ) mji6rr

− , ( ) mj3i14rr

+ ( ) mj4i8rr

+; b) , 8,9 m; c) y = (x2 − 12x + 20)/16

2. El vector de posición de un móvil viene dado por la expresión: jtit2)t(r 23rrr

+= , en unidades

SI. Determina: a) La velocidad media para t = 0 s y para t = 3 s. b) La velocidad instantánea. c) La

aceleración media para t = 0 s y para t = 3 s. d) La aceleración instantánea. e) La velocidad y la

aceleración en el instante t = 1 s.

Sol.: a) ( ) s/mjt2it6 2rr

+( ) s/mj3i18rr

− ( ) 2s/mj2i18rr

+ ( ) 2s/mj2it12rr

+; b) ; c) ; d) ; e)

( ) s/mj2i6rr

+ , ( ) 2s/mj2i12rr

−

2s/mit6arr

=

s/m

3. La aceleración de un movimiento rectilíneo corresponde a la ecuación . Calcula:

a) la ecuación de la velocidad sabiendo que en el instante inicial i2v0

rr= ; b) la ecuación de

la posición sabiendo que en el instante inicial mi2r0

rr= .

Sol.: a) ( ) smit32tv 2 /)(rr

+= ; b) ( ) mitt22tr 3rr

++=)(

4. Un coche arranca con una aceleración de 3 m/s2 que se mantiene durante 25 s. Si realiza un

movimiento rectilíneo y a continuación mantiene su velocidad durante 1 min, calcula la distancia

total recorrida.

Sol. : 5437,5 m.

5. Se deja caer una pelota desde una altura de 200 m. Calcula: a) el tiempo que tarda en llegar al

suelo; b) la velocidad en ese momento; c) la velocidad a los 3 s de dejarla caer.

Sol. : a) 6,4 s; b) −62,7 m/s; c) −29,4 m/s.

6. Una grúa eleva un objeto pesado a velocidad constante de 10 m s−1. Cuando el objeto se

encuentra a 5 m sobre el suelo, se rompe el cable, quedando aquél en libertad. Se pregunta: a)

¿Hasta qué altura subirá el objeto?; b) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo desde que se

rompió la cuerda?

Sol. : a) 10,10 m s; b) 2,46 s.

7. Una barca cruza un río de 100 m de anchura a una velocidad de 36 km/h en dirección

perpendicular a la corriente de 2 m/s. Calcula: a) el tiempo que tarda en cruzar el río; b) la

distancia que recorre la barca; c) la ecuación de la trayectoria.

Sol. : a) 10 s; b) 102,0 m; c) y = 5x.

34

8. Un cañón dispara un proyectil desde una altura de 200 m sobre una llanura con una velocidad

de 50 m/s y un ángulo de inclinación de 45º. Calcula: a) la altura máxima que alcanza; b) la

velocidad en el punto más alto; c) el alcance; d) la velocidad en el momento del impacto.

Sol. : a) 263,8 s; b) 35,4 m/s; c) 387,2 m; d) 79,76 m/s.

9. Una pelota rueda sobre una mesa horizontal a 1,5 m de altura del suelo, cayendo por el borde

de la misma. Si choca con el suelo a una distancia de 1,8 m, medidos horizontalmente desde el

borde de la mesa, ¿cuál es la velocidad con que cayó de la mesa?

Sol. : 3,27 m/s.

10. Un futbolista le pega una patada a un balón, que sale formando un ángulo de 37º con la

horizontal. La velocidad que le comunica es 12 m ⋅ s−1. Suponiendo que la pelota se mueve en un

único plano, calcula: a) La altura a que llega el balón; b) La distancia horizontal que recorre; c) La

velocidad al llegar al suelo; d) El ángulo de impacto.

Sol. : a) 2,66 m; b) 14,09 m c) 12 m/s; d) 37º.

11. Un balón de rugby es pateado con una velocidad de 20 m s−1 y sale disparado, formando un

ángulo de 45º con la horizontal. Un jugador del equipo contrario, a 55 m de distancia en la

dirección del balón, corre en ese mismo instante a por él con movimiento uniforme, ¿cuál debe ser

su velocidad para recoger el balón antes de que llegue al suelo?

Sol. : 4,89 m/s.

12. Un jugador de fútbol realiza el saque de una falta, dando una patada al balón con una fuerza

media de 500 N. El balón de 500 g, inicialmente en reposo, sale lanzado formando un ángulo de

45º con la horizontal dando el primer bote a una distancia de 40 m desde el punto de disparo.

Calcular: a) El tiempo que duró el vuelo del balón desde que salió del pié del futbolista hasta el

primer bote; b) El tiempo que la pelota estuvo en contacto con el pie.

Sol. : a) 2,86 s; b) 0,02 s.

13. Una pelota de 200 g es lanzada al aire desde una altura de 55 m sobre el nivel del suelo, con

una velocidad de 50 m ⋅ s−1 y en una dirección que forma 37º con la horizontal. Calcular: a) La

posición del punto de impacto sobre el suelo; b) El vector velocidad en ese punto; c) El ángulo con

la horizontal al llegar al suelo. a) 299 m; b) j 78,44i 9,39v −= ; c) −48,3º

Sol. : a) 303,88 m; b) smj i j vi vv xx /49,4493,39 −=−= ; c) −48,09º

14. Un cañón dispara proyectiles con una velocidad inicial de 304,8 m ⋅ s−1. A una distancia de

8220 m hay una depresión vertical del terreno de 107 m de altura. Calcula a qué distancia detrás

de la quebrada del terreno se está libre del bombardeo.

Sol. : 179,55 m

35

15. Una rueda de 60 cm de diámetro gira a 10 rpm. Calcula: a) la velocidad lineal en un punto de

la periferia de la rueda; b) la velocidad lineal en un punto a 10 cm de su eje de giro; c) el ángulo

descrito en 2 min y el número de vueltas; d) la aceleración normal y la aceleración tangencial en

un punto de la periferia.

Sol. : a) 0,31 m/s; b) 0,10 m/s; c) 40π rad, 20 vueltas; d) an = 0,33 m/s2, at = 0 m/s2.

16. Un disco de 25 cm de radio que gira a 30 rpm frena uniformemente y se detiene en 40 s.

Calcula: a) el nº de vueltas que da hasta detenerse; b) la aceleración normal y la aceleración

tangencial en un punto de la periferia en el instante en que la rueda comienza a detenerse.

Sol. : a) 10 vueltas; b) an = 2,5 m/s2, at = −0,020 m/s2.

17. La velocidad angular de una rueda disminuye uniformemente desde 1000 hasta 500 rpm en

10 s. Encontrar: a) Su aceleración angular; b) Número de vueltas efectuadas en esos 10 s; c)

Tiempo necesario para detenerse.

Sol. : a) −5,24 rad/s2; b) 125 vueltas; c) 20 s.

18. Dos bolas de 2 kg y 5 kg se mueven en la misma dirección y sentidos contrarios con

velocidades de 3 m/s y 4 m/s, respectivamente. Las bolas chocan y quedan unidas. Calcula la

velocidad del sistema después del choque.

Sol. : s/mi2r

.

19. Una caja de masa 10 kg situada sobre una superficie inclinada 30º respecto a la horizontal

está unida con una cuerda de masa insignificante a otra caja de masa 4 kg suspendida en el

vacío. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre la primera caja y la superficie es 0,1 explica

cómo se moverá el sistema y calcula la aceleración y la tensión de la cuerda.

Sol. : 0,094 m/s2, 39,58 N.

20. Una bola de masa 100 g atada al extremo de una cuerda de 0,5 m de longitud gira en el aire

en un plano horizontal. Si la cuerda forma un ángulo de 11,5º con la vertical, calcula: a) la tensión

de la cuerda; b) el módulo de la velocidad.

Sol. : a) 0,96 N; b) 0,45 m/s

21. Una partícula de masa “m” sujeta al extremo de una cuerda inextensible y sin masa, de

longitud L gira describiendo circunferencias verticales alrededor de un punto fijo. Demuestra que

la mínima velocidad en el punto superior debe ser g L .

22. Una piedra de masa 100 g gira en un plano vertical atada al extremo de una cuerda de 50 cm

de longitud. Se aumenta la velocidad de la piedra hasta superar el límite de resistencia de la

cuerda que es de 10 N. a) Determina la velocidad mínima que debe tener la piedra para llegar al

punto superior de su trayectoria con la cuerda tensa. b) Calcula la velocidad con qué saldrá

disparada la piedra y en qué punto de la trayectoria ocurrirá eso.

Sol. :a) 2,2 m/s; b) 6,72 m/s; punto inferior de la trayectoria (tensión máxima).

36

23. Calcula el momento de la fuerza Fr

Nk3j6i2r r r

aplicada en el punto (2, 1, 2). ++=

( ) mNk10j2i9 ⋅+−−rrr

Sol. :

24. Un cuerpo de 3 kg de masa se mueve sobre una superficie horizontal. Si actúa una fuerza, F =

30 + t2, donde F y t se expresan en el SI. Calcula la velocidad de la partícula en el instante t = 4 s,

sabiendo que en el instante inicial se halla en reposo. Considera despreciable el rozamiento.

Sol.: 47,11 m s−1.

25. El vector de posición de un cuerpo de 9 kg es: mjt2it3r 2rrr

−= . Calcula la velocidad, el

momento lineal, la fuerza que actúa y el momento de la fuerza respecto al origen en función del

tiempo.

( ) s/mj2it6 ( ) s/mkgj18it54p ⋅−=rrrr r

Ni54Frr

=Sol.: a) vr

−= ; b) ; c) ; d) Mr

mNkt108 ⋅=r

26. Dos patinadores de masas 35 y 70 kg respectivamente, se encuentran juntos y en reposo

sobre una superficie de hielo de rozamiento despreciable. Se empujan apartándose de forma que

el de mayor masa sale con una velocidad de 0,3 m s−1. Si ambos se desplazan con movimiento

rectilíneo uniforme, ¿cuál será la separación entre ambos al cabo de 5 s?

Sol.: 4,5 m 27. Una pareja de patinadores, de masas m1=1,25·m2, deslizan unidos sobre una pista de hielo de

rozamiento despreciable con una velocidad v0. En un cierto instante el patinador se queda en

reposo, calcula la velocidad que adquirirá la patinadora.

Sol.: 2,25·v0 m ⋅ s−1

28. En la proa de una barca, que está inicialmente en reposo y cuyo rozamiento con el agua se

desprecia, se encuentra una persona que lanza un fardo de 5 kg, con una velocidad de 6 m s−1

hacia la popa, donde lo recoge otra persona. La masa total de la barca y las dos personas es de

300 kg. Justifica por qué se mueve la barca cuando se lanza el fardo y calcula su valor: a) Cuando

el fardo está en el aire; b) cuando lo detiene la otra persona.

Sol.: a) v s/mi1,0rr

= ; b) v s/mi0rr

=

29. Un pez de 6 kg de masa se desplaza con una velocidad de 0,4 m ⋅ s−1 hacia la derecha. Se

traga otro pez de 250 g de masa, que nada hacia él con una velocidad de 1,6 m s−1. ¿Con qué

velocidad se moverá el pez grande inmediatamente después de la comida?

Sol: 0,32 m ⋅ s−1

30. Un cuerpo pequeño, inicialmente en reposo, desliza desde lo alto de una semiesfera de radio

R con la que no existen rozamientos. ¿En qué punto de la semiesfera dejará el cuerpo de estar en

contacto con ella? Ten en cuenta que se conserva la energía.

Sol: h = 2R/3

37

31. Un cuerpo, de 1 kg de masa, se mueve con una velocidad constante de 9 m ⋅ s−1, describiendo

una circunferencia de 7 m de radio. Calcula: a) su momento angular respecto al centro de la

circunferencia; b) ¿cuál es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de la

circunferencia y es perpendicular al plano del movimiento?; c) ¿cuál es la velocidad angular con

que gira la partícula?

s/radk79 r

=ωs/mkgk63L 2⋅=rr

; b) I = 49 kg ⋅ m2; c) Sol.: a)