tema 1.5. variables separables y reducibles
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Introducción: El estudio de cómo resolver ecuaciones diferenciales comienza con la más simple de las ecuaciones diferenciales: las ecuaciones de primer orden con variables separables.
Sugerencias: El método que se estudia en esta sección, así como muchas de las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales, tienen que ver con la integración. Por tanto, quizás valga la pena revisar las fórmulas de integración (por ejemplo: ) y las técnicas de integración (como la integración por partes y la descomposición de fracciones parciales) de cualquier libro de cálculo, o bien, revisar su formulario de matemáticas I y II de primero y segundo semestre.
udu
yduun
Solución por integración: Considere la ecuación diferencial de primer orden: cuando f no depende de la variable y, es decir, la ecuación diferencial
),,( yxfdxdy ),(),( xgyxf
)(xgdxdy (1)
La ecuación diferencial anterior se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, entonces al integrar ambos lados de la ecuación (1) se obtiene donde G(x) es una antiderivada (integral indefinida) de g(x). Por ejemplo: si ,1 2xe
dxdy
Integrando ambos miembros su solución es:
cexydxedxdydxedy xxx 222
21
1
La ecuación (1), así como su método de solución, es solo un caso especial cuando la función f en la forma normal se puede factorizar en una función de x multiplicada por una función de y
),,( yxfdxdy
ECUACIÓN SEPARABLE: Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es separable o que tiene variables separables si tiene la forma siguiente:
)()( yhxgdxdy
cxGydxxgdydxxgdy )()()(
dxdu
xu
2
2
O bien, de la forma siguiente:
Ejemplo de ecuaciones separables y no separables
yxxeydxdy 432
ECUACIÓN SEPARABLE:
))((),( 423432432 yxyxyx eyxeexeyxeyyxf
Se puede factorizar: )(xg )(yh
ECUACIÓN NO SEPARABLE:
senxydxdy
No se puede factorizar: ya que no existe forma de expresar el lado derecho de la ecuación diferencial como un producto de una función de x por una función de y
vuvu eee
Método de solución de ED separables
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1: Resolver la siguiente ED por el método de variables separables
SOLUCIÓN:
Separando variables:
Integrando:
La solución general es:
yxyx eedxdy
edxdy 2323
dxeedy x
y3
2
dxedye
dxedyexy
xy
32
32
dydu
yu
2
2
dxdu
xu
3
3
dxedye
dxedye
xy
xy
32
32
31
21
331
221
cee
cee
yx
xy
23
32
21
31
31
21
EJEMPLO 2: Resolver la siguiente ED por el método de variables separables
SOLUCIÓN:
Separando variables:
Utilizando la integración por partes probamos haciendo:
Al sustituir obtenemos:
,1 2
123
xxydxdy
1)0( ycon
dxx
xdyy
dx
x
xdyydxxx
ydy
2
3
2
12
32
12
3
1
)1(
1
xdxdu
xuhaciendo
2
1 2
dxxdyy
x
dxdyy
dxx
xdyy
2
123
2
3
2
3
121
121
1
221
Búsqueda de una solución particular, utilizando las condiciones iniciales dadas:
E integrando en ambos lados de la ED tenemos:
c
xy
21
121
2
2
122
Por tanto, la solución general es:
cxy
22 1
21
Cuando 1,0 yx
Estos valores se sustituyen en la solución general:
c
c
121
01)1(21 22
y se despeja el valor de C:
23
121
c
c
y con este valor se obtiene la siguiente solución particular :
23
121 22 x
y
EJEMPLO 3: Resolver la siguiente ED por el método de variables separables
0)1( ydxdyx
SOLUCIÓN:
Se dividen ambos miembros de la ED entre: , y la nueva ecuación se puede escribir de la siguiente manera:
yx)1(
0)1()1(
)1(
yxydx
yxdyx
)1( xdx
ydy
E integrando en ambos lados de la ED tenemos:
)1( xdx
ydy
11lnln cxy
Despejando el valor de y se tiene:
11 1ln1ln cxcx eeey Leyes de los exponentes:
)1(1 11 xeexy cc Si se considera como c entonces se tiene la solución general siguiente:1ce
)1( xcy
EJERCICIOS PLANTEADOS EN CLASE:
INSTRUCCIONES: Resolver las siguientes ED por el método de variables separables
3)4(, yyx
dxdy
42 ydxdy
1.
2.
xsenedxdy
xye yy 2cos)( 2 1.
2.
3.
0)2()4( 22 dxxyxdyyxy
02 senxyy
EJERCICIOS EXTRACLASE:
INSTRUCCIONES: Resolver las siguientes ED por el método de variables separables