Por tanto, queda demostrada la desigualdad de Minkowski

Nota Obsérvese un caso particular importante ocurre de la desigualdad de Hólder. Para

obtenemos la desigualdad de Cauchy – Schwarz.

Ejemplo Si y son continuas en demostramos que

Demostración El problema queda resuelto si sustituimos en la desigualdad de Minkwshi, sin

embargo, usaremos la desigualdad de Cauchy - Schwars para demostrarlo. En efecto

Haciendo uso de la desigualdad de Cuchy- Sechwar obtenemos

En consecuencia:

2.11 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

En esta sección veremos la estima exoneración existente entre derivadas e integrales definidas. Esta conexión se establece en un teorema que se denomina apropiadamente el teorema fundamenta del cálculo (consta de dos partes), y nos dice aproximadamente que la derivación y la integración son operadores inversas.

La primera parte (TFC.1) implica, al menos en teoría, que toda función continua tiene una antiderivada o es la derivada de alguna función. Más concretamente, dice el ritmo al que cambia una integral definida cuando el intervalo de integración cambia.

La segunda parte (TFC.2) proporciona un instrumento para valores muchas integrales definidas sin

recurrir a sumas Remannianas. Nos dice que para calcular , bata con hallar una antiderivada

de en .

TEOREMA 2.26 : Teorema fundamental del cálculo

Si es una función continua definida en

Parte 1. Si la función está definida en por

(2.20)

Entonces es una antiderivada de . Es decir,

Parte 2. Si es cualquier antiderivada de en , entonces

(.21)

Demostración de la parte 1

1. Fijemos un número tal que y probaremos que

2. En efecto , por hipótesis:

y

3. Luego,

4. Por la propiedad de la unión de intervalos

5. Entonces en el paso (3):

6. Por el teorema del valor medio para integrales, por cada número no nulo tal que

, existe un número m entre y tal que:

7. Como es continua en , estará arbitrariamente próximo a si está

suficientemente próximo a . Por lo que, en (5)

O bien:

Por lo tanto, la función definida por la ecuación (2) es una realidad una antiderivada de

Demostración de la parte 2

1. En efecto, por hipótesis es cualquier antiderivada de y como la función , de la parte

1, es también una antiderivada de , ambas defieren en una constante , esto es

2. Para obtener . sustituimos , entonces

3. Dado que

4. Por lo que, en el paso 1:

5. Con , esto da:

Como la variable es muda, sustituimos por para obtener

TEOREMA 2.27: Consecuencias del teorema fundamental

Parte 1. Si es una función continua en y es una función

diferenciable en , entonces

(2.22)

Parte 2. Si es una función continua en , y son funciones diferenciable en ,

entonces

(2.21)

Parte 3. Si es una función continua en , es una función diferenciable en , y es

continua en , entonces

(2.24)

Demostración de la parte 1

1. Sea la función definida como , en la que por hipótesis, es

continua en .

2. Entonces:

Como es una función diferenciable en , derivamos ambos miembros de esta

ecuación para obtener

(Regla de la cadena)

3. Pero por (1), es una antiderivada de , entonces , luego, en el Paso (2)

Demostración de la parte 2

1. Sea el número , tal que , entonces por el teorema 2.16 (propiedad de la unión

de intervalos)

2. Como y son diferenciales, entonces

(parte 1)

Demostración de la parte 3

1. Sea una antiderivada de , por lo que . Entonces por la regla de la cadena

2. Como y son integrables (por hipótesis, ambas son continuas), entonces integrando ambos

miembros de esta ecuación, de a hasta , obtenemos:

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Ejemplos 1 Hallar la derivada de las siguientes funciones

a) b)

c) d)

Solucióna) Según la parte 1 del teorema fundamental del cálculo se tiene

b) En este caso aplicamos la regla del producto para derivados, esto es, si

c) Como el límite superior de la integral es una función de , aplicamos la parte 1 del teorema 2.27, esto es, sí

Obsérvese que es real ó y como , si y

, si , entonces

d) En este caso ambos límites de la integral son funciones de , por lo que usaremos la parte 2 del teorema 2.27. esta es, sí

Ejemplo 2 Si es una función continua que satisface la fórmula

; hállese f (12)

Solución Como es derivable , usaremos el teorema 2.27 para derivar ambos miembros de la

ecuación dada.

Haciendo , se tiene:

Por lo tanto, para

Ejemplo 3 Si . Hallar los valores de a de modo que

Solución Derivando ambos miembros de la fórmula dada se tiene

(1)

Si sustituyendo en (1) obtenemos

De donde:

Ejemplo 4 Halle , si es continua y satisface la fórmula

Solución Derivamos ambos miembros de la fórmula dada y obtenemos

(T.2.27)

Sea luego

Integrando cada extremo de esta ecuación diferencial resulta

Entonces, para se tiene:

Por lo tanto, existen dos soluciones:

Ejemplo 5 Si , hállese

Solución Derivando ambos extremos de la ecuación dada se tiene

Dividimos el numerador y denominador entre y nos queda

Por lo tanto:

Ejemplo 6 Si es una función continua, demostrando que

Demostración

1. En efecto, sea la función

2. Como es una función diferenciable, entonces por el T.2.26, tendremos

3. Una antiderivada para es:

4. En (1) para :

En (2) para :

5. Por lo tanto:

Ejemplo 7 Si y

Donde , calcular

Solución Sea , una función derivable, entonces por el T.2.27 se

tiene:

Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ecuación obtenemos

Luego, si

Por lo que,

Ahora, si (Def. 2.9)

Por lo tanto:

Ejemplo 8 Si , una función derivada tal que:

i)

ii)

Sí x>0; demostrar que:

Demostración Dado que es una función derivable , también lo es la función g, por lo que:

1.

2. Por la hipótesis:

3. En el particular, para

4. Luego, en (1):

5. Por la Hipótesis :

6. Finalmente, integrando ambos miembros de esta ecuación tenemos:

Ejemplo 9 El siguiente ejemplo es una aplicación del teorema fundamental del cálculo, parte 2.

Recuérdese que si la derivada de la función es continúa en el intervalo , el teorema

de evaluación (fórmula 2.21) con y en lugar de y respectivamente,

producto:

Ejemplo 10 Calcúlese las siguientes integrales definidas

a) b)

c) d)

Solución

a) La función es continua luego, la antiderivada más general de esta

función es

Por tanto:

b) Si , entonces:

c) Sea , que es continua

Entonces:

d)

Ejemplo 11 Sea una función con derivada continua en tal que y . Si

es una partición de , hallar el valor de

Solución Ordenamos convenientemente los términos de la sumatoria y obtenemos:

Cuando , entonces, y , luego por el teorema 2.10

(existencia de la integral definida)

Como y

El siguiente ejemplo trata de como evaluar integrales definidas que contienen integrados con valor absoluto. En cada caso se debe aplicar su definición para tener los intervalos donde el módulo es positivo o negativo, (expresión dentro de las barras de valor absoluto)

Ejemplo 12 Evaluar las siguientes integrales definidas.

a) c)

b) d)

Solución

a) Si

El módulo es positivo en el intervalo

Si

El módulo es negativo en el intervalo

En consecuencia:

b) Si

Luego

c) En este caso usaremos el método de los puntos críticos escribiendo

Ubicamos los puntos críticos y es una escala real y determinamos el signo de cada

intervalo originado por estos números, esto es

Al interceptar estos intervalos con el intervalo de integración , vemos que el modulo es positivo en

y y negativo en luego:

d) En este ejemplo los números críticos son y , entonces:

En la escala real vemos que el módulo es negativo en y positiva en . Por lo que:

Ejemplo 13 Evaluar la integral

Solución Si

1. Si

Como