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Anto

nio

Gonzále

z F

ern

ández

Tema 1: Introducción y

fundamentos matemáticos

Antonio González Fernández

Departamento de Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Parte 4/4

Vectores en física II:

Coordenadas y componentes

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Aplicaciones geométricas: Puntos del

espacio y vectores de posición

2

Para identificar los puntos del espacio podemos usar etiquetas

El vector de posición relativa

𝐴𝑃 es un vector ligado que va

del punto 𝐴 al 𝑃

Para tres puntos, se

pueden relacionar las

posiciones relativas

𝑂𝑃 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝑃 𝐴𝑃 = 𝑂𝑃 − 𝑂𝐴

La distancia es el módulo del

vector de posición relativa 𝑑 𝐴, 𝑃 = 𝐴𝑃 = 𝐴𝑃 · 𝐴𝑃

AO

P

A

OP

𝑂𝑃

𝐴𝑃𝑂𝐴

𝐴𝐴 = 0 𝐴𝑃 = −𝑃𝐴

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𝐴

𝑁

La ecuación vectorial del plano:

aplicación del producto escalar

3

Un plano se define

por un punto 𝐴 y un

vector normal, 𝑁𝐴

𝑃

𝑁

𝑁 · 𝐴𝑃 = 0

Ecuación

vectorial

del plano

Distancia de

un punto a

un plano

𝑄

𝑑 = 𝐴𝑄 ·𝑁

𝑁

¿Y si un punto

está fuera del

plano?

𝑑

Posiciones respecto a O

𝑁 · 𝑂𝑃 = 𝑁 · 𝑂𝐴 = 𝑘

Variando k resultan planos paralelos

𝑁

𝑁 · 𝑂𝑃 − 𝑂𝐴 = 0

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La ecuación vectorial de la recta:

aplicación del producto vectorial

4

Una recta se

define por un

punto 𝐴 y un

vector director 𝜔

𝜔 ∥ 𝐴𝑃

𝜔 × 𝐴𝑃 = 0

Ecuación

vectorial de

una recta

𝑑 = 𝐴𝑄 sen 𝛼 =𝜔 × 𝐴𝑄

𝜔Distancia a

una recta

𝐴

𝜔

𝑃

Posiciones

respecto a O𝜔 × 𝑂𝑃 = 𝜔 × 𝑂𝐴 = 𝐶

Variando 𝐶resultan rectas

paralelas a 𝜔

𝐴𝜔

𝑄𝑑 𝑃

𝑂𝑃

𝑂𝐴

Para un punto

𝑄 exterior

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Momento de un vector respecto a un

punto

5

Dado un vector ligado 𝐹aplicado en 𝑃, su momento

respecto a 𝐴 se define como:

𝑀𝐴 = 𝐴𝑃 × 𝐹

Módulo: 𝑀𝐴 = 𝐴𝑃 × 𝐹 = 𝑑 𝐹𝑑

Dirección: Sentido:perpendicular al

plano de 𝐴, 𝑃 y 𝐹

Es independiente de la

posición de 𝑃 en la recta

𝑀𝐴 = 𝐴𝑄 × 𝐹 =

𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 × 𝐹 = 𝐴𝑃 × 𝐹

𝐴 también puede moverse

paralelamente a 𝐹

𝑀𝐵 = 𝐵𝑃 × 𝐹 =

𝐵𝐴 + 𝐴𝑃 × 𝐹 = 𝐴𝑃 × 𝐹 = 𝑀𝐴

𝐵 𝑄

𝑃

𝐹

Hacia adentro

o hacia afuera

𝐴𝑃

𝑑: distancia

a la recta

𝐴

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¿Pueden despejarse los vectores en los

productos escalares y vectoriales?

6

Si conocemos 𝑘 = 𝐴 · 𝑋,

¿Podemos despejar 𝑋?𝑋 =

𝑘

𝐴NO

Esto solo nos dice

que 𝑋 está en un

cierto plano

Si conocemos 𝐶 = 𝐴 × 𝑋,

¿Podemos despejar 𝑋?𝑋 =

𝐶

𝐴NO

Esto solo nos dice

que 𝑋 está en una

cierta recta

¿Y si conocemos 𝑘 = 𝐴 · 𝑋 y 𝐶 = 𝐴 × 𝑋? SÍ

𝑋 =𝑘 𝐴

𝐴2 +

𝐶 × 𝐴

𝐴2

𝐴𝑋

Intersección de recta y plano

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𝐴𝑃 · 𝐵𝑃 =

Aplicaciones: El arco capaz

7

Dado un diámetro 𝐴𝐵 de una

circunferencia 𝑐 y un punto 𝑃de 𝑐, el ángulo 𝐴𝑃𝐵 es recto

𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑃 = 𝑅

𝐴𝐶 = −𝐵𝐶

𝐴𝑃 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝑃

𝐵𝑃 = 𝐵𝐶 + 𝐶𝑃 = −𝐴𝐶 + 𝐶𝑃

0

𝐴𝑃

𝐴𝐶

𝐶𝑃𝐵𝑃

𝐵𝐶A

P

BC

−𝑅2 + 𝑅2 == − 𝐴𝐶2+ 𝐶𝑃

2=

= −𝐴𝐶 · 𝐴𝐶 + 𝐴𝐶 · 𝐶𝑃 − 𝐶𝑃 · 𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 · 𝐶𝑃 =

𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 · −𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 =

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Aplicaciones: Barra apoyada en una

esquina

8

A

B

C

Una barra va deslizándose apoyada en

el suelo y la pared, ¿qué trayectoria

describe su centro C?

O

𝐶𝐴 = −𝐶𝐵𝑂𝐴 ⊥ 𝑂𝐵

= 𝑂𝐴 · 𝑂𝐵 =0

𝑂𝐶2− 𝐶𝐴

2== 𝑂𝐶 · 𝑂𝐶 + 𝐶𝐴 · 𝑂𝐶 − 𝑂𝐶 · 𝐶𝐴 − 𝐶𝐴 · 𝐶𝐴 =

𝑂𝐶 + 𝐶𝐴 · 𝑂𝐶 + 𝐶𝐵 =

= 𝑂𝐶 + 𝐶𝐴 · 𝑂𝐶 − 𝐶𝐴 =

= 𝑂𝐶2−

𝐿

2

2

𝑂𝐶 =𝐿

2

Describe un arco

de circunferencia

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𝑋𝑍

𝑌𝑍

𝑋𝑌

Sistemas de referencia: etiquetando los

puntos del espacio

9

Los puntos del espacio se

pueden etiquetar por números.

(coordenadas cartesianas)

𝑃 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧

Un sistema de referencia

cartesiano está formado por un

punto fijo 𝑂 (“origen”) y tres

ejes ortogonales, 𝑋, 𝑌 y 𝑍

𝑥, 𝑦 y 𝑧 son las

distancias con signo a

los planos 𝑌𝑍, 𝑋𝑍 y 𝑋𝑌

𝑋

𝑌

𝑍

𝑥𝑦

𝑧

−∞ < 𝑥 < +∞−∞ < 𝑦 < +∞−∞ < 𝑧 < +∞

𝑂

𝑃

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La base canónica permite expresar

todos los vectores

10

A partir de los ejes se puede

definir una base vectorial 𝑖, 𝑗, 𝑘

Unitarios tangentes a los ejes

Todo vector se puede poner como

combinación lineal de la base

𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘

Componentes cartesianas

≠ coordenadas cartesianas

Vector de posición

𝑟𝑃 = 𝑂𝑃 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘

𝑋

𝑂 𝑌

𝑍

𝑋𝑌

𝑋𝑍

𝑌𝑍

𝑂𝑃𝑃

Dos vectores son iguales cuando lo son sus componentes

𝑖

𝑗

𝑘

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Los vectores se pueden sumar

componente a componente

11

𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘Suma de

vectores

𝐺 = 𝐺𝑥 𝑖 + 𝐺𝑦 𝑗 + 𝐺𝑧𝑘

𝐹 + 𝐺 = 𝐹𝑥 + 𝐺𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 + 𝐺𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧 + 𝐺𝑧 𝑘

2 𝑖 + 3 𝑗 −3 𝑗 − 3𝑘 2 𝑖 − 3𝑘

Posición relativa

𝑂𝐴 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1𝑘

𝑂𝑃 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2𝑘

𝐴𝑃 = 𝑂𝑃 − 𝑂𝐴 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑖 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑗 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑘

Ej.:

𝑂 𝑋

𝑌

𝐴

𝑃

𝑥1 𝑥2

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La multiplicación por un escalar se

calcula multiplicando cada componente

12

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧𝑘

𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧𝑘 = 𝑚𝑎𝑥 𝑖 + 𝑚𝑎𝑦 𝑗 + 𝑚𝑎𝑧𝑘

Separando en

componentes

𝐹 = 𝑚1 𝑎1 +𝑚2 𝑎2 == 𝑚1𝑎𝑥1 +𝑚2𝑎𝑥2 𝑖 +

+ 𝑚1𝑎𝑦1 +𝑚2𝑎𝑦2 𝑗 +

+ 𝑚1𝑎𝑧1 +𝑚2𝑎𝑧2 𝑘

Lo mismo se aplica a las combinaciones lineales

𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘

𝐹𝑥 = 𝑚1𝑎𝑥1 +𝑚2𝑎𝑥2𝐹𝑦 = 𝑚1𝑎𝑦1 +𝑚2𝑎𝑦2𝐹𝑧 = 𝑚1𝑎𝑧1 +𝑚2𝑎𝑧2

𝐹 = 𝑚 𝑎

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧

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La base canónica es ortonormal

(unitaria y ortogonal)

13

La base canónica

es ortonormal

Los vectores 𝑖, 𝑗, 𝑘

son unitarios

Los vectores 𝑖, 𝑗, 𝑘 son ortogonales

Producto escalar

· 𝑖 𝑗 𝑘

𝑖 1 0 0

𝑗 0 1 0

𝑘 0 0 1

𝑖 = 𝑗 =

𝑘 = 1

Permite hallar el producto escalar

𝑖 − 𝑗 − 𝑗 + 𝑘

𝑖 − 𝑗 · − 𝑗 + 𝑘 =

− 𝑖 · 𝑗 + 𝑗 · 𝑗 + 𝑖 · 𝑘 − 𝑗 · 𝑘 =−0 + 1 + 0 − 0 = 1

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Productos escalares y módulos en

función de las coordenadas

14

𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 𝐺 = 𝐺𝑥 𝑖 + 𝐺𝑦 𝑗 + 𝐺𝑧𝑘

𝐹 · 𝐺 = 𝐹𝑥𝐺𝑥 𝑖 · 𝑖 + 𝐹𝑥𝐺𝑦 𝑖 · 𝑗 + 𝐹𝑥𝐺𝑧 𝑖 · 𝑘 + 𝐹𝑦𝐺𝑥 𝑗 · 𝑖 + 𝐹𝑦𝐺𝑦 𝑗 · 𝑗 + ⋯

𝐹 · 𝐺 = 𝐹𝑥𝐺𝑥 + 𝐹𝑦𝐺𝑦 + 𝐹𝑧𝐺𝑧

𝑖 − 𝑗 − 𝑗 + 𝑘

1 · 0 + −1 · −1 + 0 · 1 = 1

Componentes

de un vector𝐹𝑥 = 𝐹 · 𝑖 𝐹𝑦 = 𝐹 · 𝑗 𝐹𝑧 = 𝐹 · 𝑘

Distancia entre

dos puntos 𝐴𝑃 = 𝑥2 − 𝑥1

2 + 𝑦2 − 𝑦12 + 𝑧2 − 𝑧1

2

Módulo de un vector

𝐹 = 𝐹 · 𝐹 = 𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦

2 + 𝐹𝑧2

1 1

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Aplicación: deducción de fórmulas

trigonométricas

15

Halle la expresión del

coseno de una diferencia

de ángulos, cos(𝛽 − 𝛼)

𝛼

𝛽 − 𝛼

𝛽Tomamos los vectores unitarios:

𝑢1 = cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑗 𝑢2 = cos 𝛽 𝑖 + sen 𝛽 𝑗

𝑢1 ⋅ 𝑢2 = cos(𝛼) cos 𝛽 + sen 𝛼 sen 𝛽

𝑢1 ⋅ 𝑢2 = 𝑢1 𝑢2 cos 𝛽 − 𝛼 = cos(𝛽 − 𝛼)

cos 𝛽 − 𝛼 = cos(𝛼) cos 𝛽 + sen 𝛼 sen 𝛽

cos 𝛽 + 𝛼 = cos 𝛼 cos 𝛽 − sen 𝛼 sen 𝛽sen −𝛼= −sen(𝛼)

𝑢2

𝑢1

𝑋

𝑌

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Ejemplo: ¿Qué ángulo forman las

diagonales de un cubo?

16

𝑂𝐴 = 𝑎 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎𝑘

𝐵𝐶 = 𝑎 𝑖 − 𝑎 𝑗 + 𝑎𝑘

cos 𝛼 =𝑂𝐴 · 𝐵𝐶

𝑂𝐴 𝐵𝐶=

𝑎2 − 𝑎2 + 𝑎2

𝑎2 + 𝑎2 + 𝑎22 =

𝑎2

3𝑎2=1

3

𝛼 = 1.23rad = 70.53°

𝑂

𝐴

𝐵

𝐶

X

Y

Z

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La base canónica es una base dextrógira

(cumple la regla de la mano derecha)

17

𝑖 𝑗

𝑘 𝑖 × 𝑗

Producto vectorial

× 𝑖 𝑗 𝑘

𝑖 0 +𝑘 − 𝑗

𝑗 −𝑘 0 + 𝑖

𝑘 + 𝑗 − 𝑖 0

𝑖 × 𝑗 = 𝑖 𝑗 sen 𝜋 2 = 1

𝑖 × 𝑗 ⊥ 𝑖 𝑖 × 𝑗 ⊥ 𝑗

Regla de la mano derecha

𝑖 × 𝑗 = 𝑘

𝑗 × 𝑖 = −𝑘 𝑗 × 𝑘 = 𝑖 𝑘 × 𝑖 = 𝑗

+

Permite hallar el producto vectorial

𝑖 − 𝑗 − 𝑗 + 𝑘

𝑖 − 𝑗 × − 𝑗 + 𝑘 =

− 𝑖 × 𝑗 + 𝑗 × 𝑗 + 𝑖 × 𝑘 − 𝑗 × 𝑘 =

−𝑘 + 0 + − 𝑗 − 𝑖 = − 𝑖 − 𝑗 − 𝑘

-

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El producto vectorial en función de las

componentes

18

𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 𝐺 = 𝐺𝑥 𝑖 + 𝐺𝑦 𝑗 + 𝐺𝑧𝑘

𝐹 × 𝐺 = 𝐹𝑥𝐺𝑥 𝑖 × 𝑖 + 𝐹𝑥𝐺𝑦 𝑖 × 𝑗 + 𝐹𝑥𝐺𝑧 𝑖 × 𝑘 + 𝐹𝑦𝐺𝑥 𝑗 × 𝑖 + ⋯

𝐹 × 𝐺 = 𝐹𝑦𝐺𝑧 − 𝐹𝑧𝐺𝑦 𝑖 + 𝐹𝑧𝐺𝑥 − 𝐹𝑥𝐺𝑧 𝑗 + 𝐹𝑥𝐺𝑦 − 𝐹𝑦𝐺𝑥 𝑘

𝐹 × 𝐺 =𝐹𝑦 𝐹𝑧𝐺𝑦 𝐺𝑧

𝑖 +𝐹𝑧 𝐹𝑥𝐺𝑧 𝐺𝑥

𝑗 +𝐹𝑥 𝐹𝑦𝐺𝑥 𝐺𝑦

𝑘

𝐹 × 𝐺 = 𝑖 𝑗 𝑘𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧𝐺𝑥 𝐺𝑦 𝐺𝑧

𝑖 − 𝑗 − 𝑗 + 𝑘

𝑖 𝑗 𝑘1 −1 00 −1 1

= − 𝑖 − 𝑗 − 𝑘

Equivale a un determinante

𝑘 − 𝑗 −𝑘

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Ejemplo: Distancia de un punto a una

recta

19

Una partícula

se mueve en

la recta (SI)

𝑥 = 3 − 2𝑡𝑦 = 2 − 𝑡

𝑧 = −2 + 2𝑡

¿Mínima distancia a la

que pasa del origen?

𝑂𝑃 = 𝑂𝐴 + 𝑣𝑡 𝑣 = −2 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘

𝑑 =𝑂𝐴 × 𝑣

𝑣

𝑂𝐴 × 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘3 2 −2−2 −1 2

= 2 𝑖 − 2 𝑗 + 𝑘

𝑂𝐴 = 3 𝑖 + 2 𝑗 − 2𝑘

𝑑 =22 + 22 + 12

22 + 12 + 22= 1

𝑂

𝐴 𝑣

𝑑

𝑃

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Aplicación: deducción de fórmulas

trigonométricas

20

Halle la expresión del

seno de una diferencia

de ángulos, sen(𝛽 − 𝛼)

𝛼

𝛽 − 𝛼

𝛽Tomamos los vectores unitarios:

𝑢1 = cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑗 𝑢2 = cos 𝛽 𝑖 + sen 𝛽 𝑗

𝑢1 × 𝑢2 = 𝑖 𝑗 𝑘

cos(𝛼) sen(𝛼) 0cos(𝛽) sen(𝛽) 0

= cos 𝛼 sen 𝛽 − sen 𝛼 cos 𝛽 𝑘

𝑢1 × 𝑢2 = 𝑢1 𝑢2 sen 𝛽 − 𝛼 𝑘 = sen 𝛽 − 𝛼 𝑘

𝑢2

𝑢1

𝑋

𝑌

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𝑋′𝑌′

Rotación de ejes: permiten construir

otra base ortonormal dextrógira

21

𝜃 𝑋

𝑌

𝑍

𝑗

𝑖

𝑘

𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗

𝑍′=

𝑢1𝑢2

𝐹

𝐹𝑥

𝐹𝑦

𝐹 = 𝐹1𝑢1 + 𝐹2𝑢2

Mismo vector;

distintas

componentes

𝑢1 = cos 𝜃 𝑖 + sen 𝜃 𝑗

𝑢2 = −sen 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗

𝑖 = cos 𝜃 𝑢1 − sen 𝜃 𝑢2 𝑗 = sen 𝜃 𝑢1 + cos 𝜃 𝑢2

𝐹1 = 𝐹 · 𝑢1 = 𝐹𝑥 cos 𝜃 + 𝐹𝑦sen(𝜃)

𝐹2 = 𝐹 · 𝑢2 = −𝐹𝑥 sen 𝜃 + 𝐹𝑦cos(𝜃)

𝐹2𝐹1

𝑢3 = 𝑘

𝐹3 = 𝐹 · 𝑢3 = 𝐹𝑧

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Caso práctico de rotación de ejes

22

𝑢1 =4

5 𝑖 +

3

5 𝑗

𝑢2 = −3

5 𝑖 +

4

5 𝑗

𝑢3 = 𝑘

𝐹 = 10 𝑖 − 15 𝑗 + 3𝑘

𝐹1 = 𝐹 · 𝑢1 = 10 ·4

5− 15 ·

3

5= −1

𝐹2 = 𝐹 · 𝑢2 = 10 · −3

5− 15 ·

4

5= −18

tg 𝜃 =3

4

cos 𝜃 =4

5

sen 𝜃 =3

5

𝐹3 = 𝐹 · 𝑢3 = 3 𝐹 = −𝑢1 − 18𝑢2 + 3𝑢3

𝐹 no cambia

102 + 152 + 32

= 12 + 182 + 32

𝑋′𝑌′

𝜃 𝑋

𝑌

𝑍

𝑗

𝑖

𝑘

𝑍′=

𝑢1𝑢2

𝐹

𝐹𝑥

𝐹𝑦

𝐹2𝐹1

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Sevilla, octubre de 2014

23