i. fundamentos matemáticoslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/t1/leccion_i_1_10_11.pdf ·...

I. Fundamentos I. Fundamentos matemáticosmatemáticos

1 C d d ilí1 C d d ilí1. Coordenadas curvilíneas1. Coordenadas curvilíneas

Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación

I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticosI. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos

1.1. Coordenadas Coordenadas curvilíneascurvilíneas Introducción.Descripción del espacio físicoCoordenadas curvilíneas: propiedadesLíneas y superficies coordenadas

El d í dif i lElementos de geometría diferencial2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales33 C lC l3.3. Campos escalaresCampos escalares4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos

® G

a®

Ga

2

IntroducciónIntroducciónMagnitudes físicasMagnitudes físicas

descripción cuantitativa de las propiedades de

IntroducciónIntroducciónTemperatura (T) y

velocidad (v) en un fluido descripción cuantitativa de las propiedades de los fenómenos (electromagnéticos)susceptibles de medida

velocidad (v) en un fluido en movimiento

correspondencia con entes matemáticos necesidad de un álgebra

tipos de magnitudes: tipos de magnitudes:escalarvectorial

T T v 33

tensorial Campos escalares y vectorialesCampos escalares y vectoriales

d ib i d l di i

W 3333 P

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 describen magnitudes con valores distintos en

cada punto del espacio (P3)se pueden expresar como funciones de la

TT((PP;;tt)) vv((PP;;tt))Z

vv((PP))

r

vvTT((PP))TT

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

p pposición:

T=T(r); v=v(r) (estacionarios) y también del tiempo: T=T(r;t); v=v(r;t) OX Y

r


® G

a®

Ga

3

…y también del tiempo: T=T(r;t); v=v(r;t) OX Y

Descripción del espacio (I)Descripción del espacio (I)

{x,y,z}: Coordenadas cartesianas

Descripción del espacio (I)Descripción del espacio (I)

33 Z

P r , tal que r = OP3

1

Z

zP(x,y,z)2 P q1q2=y

=x

3

q2

q3rP

3r(x,y,z)

y

=z

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

O 21O

2q3 z

xP1

P2 Yy

x

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

1

y1

X

3

r =x+y+z=x 1+y 2 +z 3

x


® G

a®

Ga

4

1 X r x+y+z x 1+y 2 +z 3

Descripción del espacio (II)Descripción del espacio (II)

{,,z}: Coordenadas cilíndricas

Descripción del espacio (II)Descripción del espacio (II)

3P r , tal que r = OP

Z

33

1=

Z

zq2 P

= P(,,z)

q1

=z r z3q3 r(,,z)

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

O 2z

x Y21

O

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

31

= Xr =x+y+z= cos 1

yq2

+sen 2+z 3Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos

® G

a®

Ga

5

1 r x+y+z cos 1+sen 2+z 3

Descripción del espacio (III)Descripción del espacio (III)

{r,,}: Coordenadas esféricas

Descripción del espacio (III)Descripción del espacio (III)

33P r , tal que r = OPZ3

1

Z

2 P=q2 r

P(r,)=

=r z3q1

q2(r,,)r

r

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

O 2r

Oz

x21 Y

q1

r sen

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

31

=yX

q3

r =x+y+z

=rsen cos 1+rsen sen 2+r cos 3Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos

® G

a®

Ga

6

1 r x+y+z rsen cos 1+rsen sen 2+r cos 3

Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)¿Qué son?¿Qué son?{q q q }: terna de números reales (q )

Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)

Z{q1, q2, q3}: terna de números reales (qi )valores de parámetros geométricos:

( ) + ( ) +r=r (qq qq qq )r

Z

r(q q q )

P

P'

{1 ; 2 ;3}, vectores ortogonales unitarios fijos

= x(qq1, q, q22, q, q33) 1 + y(qq1, q, q22, q, q33) 2++z(qq1, q, q22, q, q33) 3

r=r (qq1, q, q22, q, q33)

3

r(q1,q2,q3) Pr(q'1,q'2,q'3 )

z{1 ; 2 ;3}, vectores ortogonales unitarios fijosRequisitosRequisitosdescripción continua del espacio:

O2

1

XY

z

xdescripción continua del espacio:

sólo si x (q1,q2,q3), y (q1,q2,q3), z (q1,q2,q3) P OP=r 3

X y( 1, 2, 3)0i iq 0 r

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 1 2 3 1 2 3 1 2 3

son funciones continuas y derivablesdescripción de todo entorno de P: ( ) li l i d di

P 3 OP=r

r q q q r r r

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G ei(P)=[r/qi]P linealmente independientes

(no coplanarios):

r 1 2 31 2 3P P P

q q qq q q

0q q q

r r r i i iq q q


® G

a®

Ga

7

1 2 3q q q

Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)Base natural. Sistema de referencia localBase natural. Sistema de referencia local

t t li l t i d di t ( ev

Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)

tres vectores linealmente independientes (no coplanarios) son basebase de 3

Z r r r

e2e1e'3

e'2Pl

r(q1 q2 q3)

1 2 3

1 2 3; ; ; ; PPq q q

r r r e e e e3e'1P'P

31 1 2 2 3 3

tal que ;v v v v e e e v

en particular, dr=dq1e1+dq2e2+dq3e3 base natural y punto P forman sistema localsistema local O

3

21 Y

r(q1,q2,q3)r(q'1,q'2,q'3)3 3

2X

1 2 3( , , )ii P

q q qq

r e 1 2 3( , , )ii P

q q qq

re

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

Base físicaBase física:Coordenadas ortogonalesCoordenadas ortogonales su base natural es ortogonal en todo P

2 0h( , , ) ( , , )i i iq q q q q q hu e

1 2 3 tal que; ; Pu u u

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

vectores ortogonales unitarios

f t d l

1 2 3 1 e e e e

( ) 1h

2 00;

i i i

i j

hi j

e ee e

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) i i iq q q q q q hu e

1; 0i i i i j u u u u u


® G

a®

Ga

8

factor de escala: 1 2 3( , , ) 1i ih q q q e;i i i i j

Líneas y superficies coordenadas (I)Líneas y superficies coordenadas (I)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)03 P(q1,q2,q3)03

Líneas y superficies coordenadas (I)Líneas y superficies coordenadas (I)

LíneaLíneacoordenadacoordenada

RectaRectatangentetangente

1

reC d d C d d

1

1Pq

eCoordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales P(a,b,c) PlanoPlanotangentetangente

e 3e

Z

2e 3e

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

r(q1=a;q2=b;q3=c)3

Z

[ ] [ ]i iP P SuperficieSuperficie

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

O

321

XY

[ ] [ ]i iP P SuperficieSuperficiecoordenadacoordenada


® G

a®

Ga

9

X

Líneas y superficies coordenadas (II)Líneas y superficies coordenadas (II)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)03 P(q1,q2,q3)03

Líneas y superficies coordenadas (II)Líneas y superficies coordenadas (II)

Coordenadas Coordenadas ortogonalesortogonaleso togo aleso togo ales

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G


® G

a®

Ga

10

Elementos de geometría diferencial (I)Elementos de geometría diferencial (I)Elementos geométricosElementos geométricos estudio local de magnitudes

Elementos de geometría diferencial (I)Elementos de geometría diferencial (I)

estudio local de magnitudes en torno a P3

1 2 3i i i iq q dq elementos geométricos de

dicho entorno

1,2,3i i i iq q q

Diferencial de caminoDiferencial de camino variación infinitesimal de

vector posición, “dr”ddrr

1 1 2 2 3 3d dq dq dq r e e e ddrrdsds

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

elemento de arco ds:longitud de dr

ddrr22ddrr11

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G o g ud de d

ddrr33ds d d d r r r


® G

a®

Ga

11

Elementos de geometría diferencial (II)Elementos de geometría diferencial (II)Diferencial de superficieDiferencial de superficieparalelogramo con lados “dri”

Elementos de geometría diferencial (II)Elementos de geometría diferencial (II)

paralelogramo con lados dri y “drj”; descrito por:

1 2 3d d d S r r1 2 32 3 1d d d S r r3 1 2d d d S r r

área y orientación: ddrr11dd3 1 2

ddSSsini j k id d d S r r

ddrr33ddrr

ddSS11sin

,i j k i

i j k

i j kd d d

d

S r r

S e e

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

Diferencial de volumenDiferencial de volumenparalelepípedo con aristas “d ” “d ” “d ”

ddrr2211

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G “dr1”, “dr2” y “dr3”:

i id d d r S d d d d


® G

a®

Ga

12

1 2 3d d d d r r r

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