Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 1

TEMA 1

FONAMENTS FISICOMATEMÀTICS DE LA

MECÀNICA

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 2

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 3

1.1 Escalars i vectors

Les magnituds físiques es poden classificar en termes del nombre de paràmetres necessaris per especificar-les en:

ESCALARS: Només cal un paràmetre. Ex: temps, massa, temperatura, etc.

VECTORS: Cal més d’un paràmetre, ja que ara cal especificar el mòdul, la direcció i el sentit. Concretament el nombre de paràmetres coincideix amb la dimensionalitat de l’espai. En cas de tres dimensions serien tres paràmetres. Ex: posició, velocitat, força.

A aquesta animació de Math Insight es veuen clarament les tres característiques essencials d’un vector: mòdul, direcció i sentit. http://mathinsight.org/applet/vector_magnitude_direction

Definim un sistema de referència mitjançant:

• Un origen O

• Un sistema d’eixos de coordenades (x,y,z) mútuament perpendiculars.

• Tres vectors unitaris (i,j,k) segons els eixos (x,y,z) amb sentit dextrogir, de forma que es verifica:

A aquesta animació de Math Insight es mostra un sistema de referència amb l’origen i els vectors unitaris. http://mathinsight.org/applet/standard_unit_vectors_3d

Un vector qualsevol A es representa en termes de les seves components (Ax,Ay,Az), que són les projeccions respectivament segons els eixos (x,y,z).

𝐀 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦, 𝐴𝑧) = 𝐴𝑥𝐢 + 𝐴𝑦𝐣+𝐴𝑧𝐤

A aquesta animació d’Elvira Martínez i Carlos Romeri a GeoGebra es mostra un vector qualsevol en 3D i les seves components. Observeu que aquestes són les projeccions segons els tres eixos coordenats. https://www.geogebra.org/m/E2B7VqKh

Es defineix el mòdul (quantitat sempre positiva) en termes de les components com:

|𝐀| = 𝐴 = √𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

2 + 𝐴𝑧2

Observeu, si cal de nou, l’animació de Math Insight per refermar el concepte de mòdul. http://mathinsight.org/applet/vector_magnitude_direction

Es defineix un vector unitari com un vector de mòdul 1

𝐮 =𝐀

𝐴

x

y

z

O

i j

k

k

Ax

Ay

Az A

i j

j i

k

j i

k

i j

k

ixj=k jxk=i kxi=j

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 4

A

B

S=A+B

A

B

S=A+B

1.2 Operacions amb vectors

1.2.1 Suma

Donats dos vectors A i B de components (Ax,Ay,Az) i (Bx,By,Bz) el vector suma es construeix gràficament traslladant un dels vectors a continuació de l’altre, tot mantenint la seva orientació. El vector resultant comença on ho fa el que no s’ha traslladat i acaba on ho fa el que s’ha traslladat.

En termes de les components tenim:

𝐒 = 𝐀 + 𝐁 = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥)𝐢 + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)𝐣+(𝐴𝑧+𝐵𝑧)𝐤

Es tracta d’una operació commutativa.

A aquestes animacions de Math Insight i Walter Fendt podeu visualitzar com es determina la suma de vectors. A més, la Walter Fendt ens permet sumar 2, 3, 4 i 5 vectors. https://mathinsight.org/applet/vector_sum

https://www.walter-fendt.de/html5/phen/resultant_en.htm

A l’animació de Juan Carlos Ponce a GeoGebra es visualitza la suma de velocitats pel cas d’una persona que vol creuar un riu amb una barca. Observeu que, com les velocitats són vectors, la persona creua el riu però no assoleix el punt directament oposat. Per fer-ho ha d’orientar la barca de forma que la component de la velocitat de la barca, en la direcció contraria al corrent, compensi la velocitat del corrent. https://www.geogebra.org/m/vmdupkcn

1.2.2 Multiplicació per un escalar

Donats un vector A de components (Ax,Ay,Az) i un escalar m es defineix el vector producte per un escalar com un vector paral·lel a A que, en termes de les seves components, es calcula com:

𝐏 = 𝑚𝐀 = (𝑚𝐴𝑥)𝐢 + (𝑚𝐴𝑦)𝐣+(𝑚𝐴𝑧)𝐤

1.2.3 Resta

Donats dos vectors A i B de components (Ax,Ay,Az) i (Bx,By,Bz) el vector resta es construeix gràficament fent que els seus orígens coincideixin, tot mantenint les seves orientacions. El vector resta és un altre vector que comença on acaba el segon (el que resta) i acaba on ho fa el primer.

En termes de les components tenim:

𝐑 = 𝐀 − 𝐁 = (𝐴𝑥 − 𝐵𝑥)𝐢 + (𝐴𝑦 − 𝐵𝑦)𝐣+(𝐴𝑧−𝐵𝑧)𝐤

𝐑′ = 𝐁 − 𝐀 = (𝐵𝑥 − 𝐴𝑥)𝐢 + (𝐵𝑦 − 𝐴𝑦)𝐣+(𝐵𝑧−𝐴𝑧)𝐤

Operació no commutativa

A B

R’=B-A A

B

R=A-B

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 5

𝐑′ = 𝐁 − 𝐀 = −(𝐀 − 𝐁) = −𝑹

A aquesta animació de Malin Christersson a GeoGebra es resten dos vectors https://www.geogebra.org/m/BBKHyHFV

A aquesta animació de Peter Sassman a GeoGebra es determinen les restes de dos vectors (R i R’) pel mètode de sumar a un d’ells (A o B) l’altre en negatiu (-B o -A, respectivament). https://www.geogebra.org/m/uEzA9h4g

1.2.4 Producte escalar

Donats dos vectors A i B de components (Ax,Ay,Az)

i (Bx,By,Bz), que formen un angle es defineix el producte escalar com una quantitat escalar proporcional a la projecció d’un vector respecte l’altre (a la figura es projecta A sobre B):

𝐀 · 𝐁 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦+𝐴𝑧𝐵𝑧 = 𝐴𝐵 cos 𝜃

Es verifica la propietat commutativa:

𝐁 · 𝐀 = 𝐀 · 𝐁

El producte escalar es pot utilitzar per determinar l’angle que formen els dos vectors:

𝜃 = cos−1 (𝐀 · 𝐁

AB)

A es pot expressar en termes d’un vector unitari paral·lel a B (que anomenem 𝐀∥) i un altre perpendicular a B (que anomenem 𝐀⊥):

𝐀 = 𝐀∥ + 𝐀⊥ = (𝐀 ∙𝐁

𝐵)

𝐁

𝐵 + 𝐀⊥ =

𝐀 · 𝐁

𝐵𝟐 𝐁 + 𝐀⊥

A aquesta animació de John Stenger GeoGebra es calcula el producte escalar de dos vectors, en dos dimensions, a partir del producte de les components, i també a partir dels mòduls i l’angle que formen.

També es mostren les projeccions d’un respecte l’altre. Observeu, com en funció de l’angle , la projecció és negativa, positiva o nul·la. Plantegeu un problema i resoleu-lo. https://www.geogebra.org/m/UGF3MVgn

1.2.5. Producte vectorial

Donats dos vectors A i B de components (Ax,Ay,Az) i (Bx,By,Bz), que formen un angle es defineix el producte vectorial com un vector de:

1. Mòdul: 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2. Direcció perpendicular al pla format

pels dos vectors. 3. Sentit donat pel criteri de la mà dreta,

del llevataps o del caragol.

En termes de les components tenim

𝐀 × 𝐁 = |

𝒊 𝒋 𝒌𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

| = 𝐢(𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦) + 𝐣(𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧) + 𝐤(𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)

A

B 𝐴 cos 𝜃

A

B

𝑨⊥

𝑨∥

A

B

AxB

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 6

A aquestes animacions d’Elvira Martínez i Carlos Romero a GeoGebra podeu repassar el càlcul de determinants per la regla de Sarrus i el producte vectorial de dos vectors. https://www.geogebra.org/m/FzFfAhzv https://www.geogebra.org/m/GbKEvPmj

El producte vectorial no verifica la propietat commutativa:

𝐁 × 𝐀 = −𝐀 × 𝐁

A aquesta animació de GeoGebra es mostra el producte vectorial de dos vectors u (vermell) i v (blau). Observeu com el vector producte vectorial uxv varia segons els mòduls de u i v, així com de l’angle que formen, però com uxv sempre és perpendicular al pla que formen u i v. Practiqueu el criteri de la mà dreta per determinar el sentit de uxv. Observeu que passa quan varieu les components z d’ambdós vectors amb els cursors de sota. Plantegeu un problema numèric i intenteu resoldre’l. https://www.geogebra.org/classic/jcnba3fg

Pel que fa al mòdul, cal dir que, com es pot veure a la figura, el vector A es pot

expressar com a suma de dues components: una paral·lela a B (𝑨∥) i l’altra

perpendicular (𝑨⊥), de forma que 𝐀 = 𝐀∥ + 𝐀⊥. El

producte vectorial s’expressa com:

𝐀 × 𝐁 = (𝐀∥ + 𝐀⊥) × 𝐁 = 𝐀⊥ × 𝐁

Per tant, el mòdul és:

|𝐀 × 𝐁| = |𝐀⊥ × 𝐁| = |𝐀⊥||𝐁| = (𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝐵 = 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝜃

És a dir, el mòdul del producte vectorial és igual al producte del mòdul de la component del vector A perpendicular a B pel mòdul del propi vector B. Per tant, és l’àrea del paral·lelogram que formen els vectors A i B.

Si teniu dubtes sobre el càlcul de l’area podeu visualitzar l’animació de Tim Brzezinski a GeoGebra. https://www.geogebra.org/m/D8rjsGzF

Tant pel producte escalar com el vectorial, s’hauria pogut projectar B sobre A. És a dir, expressar B com a suma de dues components: una paral·lela a A (𝑩∥) i l’altra perpendicular (𝑩⊥), de forma que 𝐁 = 𝐁∥ + 𝐁⊥. En aquest cas el producte vectorial s’expressa com:

𝐀 × 𝐁 = 𝐀 × (𝐁∥ + 𝐁⊥) = 𝐀 × 𝐁⊥

Per tant, el mòdul és:

|𝐀 × 𝐁| = |𝐀 × 𝐁⊥| = |𝐀||𝐁⊥| = 𝐴(𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝜃) = 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝜃

És a dir, el mòdul del producte vectorial és igual al producte del mòdul de la component del vector B perpendicular a A pel mòdul del propi vector A.

A

B

AxB

BxA

A

B

𝑨⊥

𝑨∥

A

B

𝑩⊥ 𝑩∥

A

B

𝐀⊥

B

𝐀⊥ =

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 7

A aquesta animació de Kara Babcock i Wolfe Wall a GeoGebra es determina l’àrea del paral·lelogram que formen dos vectors. Observeu com varia l’àrea (és a dir el mòdul del vector producte vectorial) en termes dels mòduls dels dos vectors i l’angle que formen. Plantegeu un problema numèric i resoleu-lo. https://www.geogebra.org/m/psMTGDgc

Fer el problema 1.3.1

1.3 Operacions diferencials amb vectors

En general els escalars i els vectors poden dependre de diferents variables, com per exemple el temps. Introduïm, per tant, els conceptes de derivada i integral d’un vector respecte la variable temps (o qualsevol altra variable).

1.3.1 Derivada respecte d’una variable

Es calcula la diferència A(t) entre els vectors en dos instants de temps diferents A(t) i

A(t+t).

Tot seguit es fa el quocient i el pas al límit per t molt petit.

𝑑𝐀(𝑡)

𝑑𝑡= lim

∆𝑡→0

∆𝐀(t)

∆𝑡= (𝐢

𝑑𝐴𝑥

𝑑𝑡+ 𝐣

𝑑𝐴𝑦

𝑑𝑡+ 𝐤

𝑑𝐴𝑧

𝑑𝑡)

És a dir, la derivada d’un vector és la derivada de les seves components.

Se suposa que les derivades dels vectors unitaris i, j, k són nul·les.

1.3.2 Propietats de les derivades

𝑑

𝑑𝑡(𝑚𝐀) = 𝐀

𝑑𝑚

𝑑𝑡+ 𝑚

𝑑𝐀

𝑑𝑡

𝑑

𝑑𝑡(𝐀 · 𝐁) = 𝐀 ·

𝑑𝐁

𝑑𝑡+ 𝐁 ·

𝑑𝐀

𝑑𝑡

𝑑

𝑑𝑡(𝐀 × 𝐁) = 𝐀 ×

𝑑𝐁

𝑑𝑡+

𝑑𝐀

𝑑𝑡× 𝐁

1.3.3 Integral respecte d’una variable

∫ 𝐀(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐢 ∫ 𝐴𝑥(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐣 ∫ 𝐴𝑦(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐤 ∫ 𝐴𝑧(𝑡)𝑑𝑡

És a dir, la integral d’un vector és la integral de les seves components.

1.4 Cinemàtica del punt. Posició, trajectòria, velocitat i acceleració

1.4.1 Vector posició

És un vector amb el qual es determina la posició P(xP,yP,zP) d’una partícula en un determinat instant respecte un determinat origen O(xO,yO,zO).

𝐫𝐏(𝐎) = (𝑥𝑃 − 𝑥𝑂)𝐢 + (𝑦𝑃 − 𝑦𝑂)𝐣 + (𝑧𝑃 − 𝑧𝑂)𝐤

A(t)

A(t+t)

A(t)

x

y

z

O

i j

k

P

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 8

Generalment i per comoditat prendrem O(0,0,0), de forma que

𝐫𝑷(𝑶) = (𝑥𝑃)𝐢 + (𝑦𝑃)𝐣 + (𝑧𝑃)𝐤

El mòdul serà:

|𝐫𝑷(𝑶)| = 𝑟𝑃(𝑂) = √𝑥𝑃2 + 𝑦𝑃

2 + 𝑧𝑃2

Unitats SI: metres (m)

A aquesta animació d’Amaia San Sebastian a GeoGebra es mostra el vector posició en 3D, respecte l’origen (0,0), per una determinada trajectòria parametritzada en el temps. https://www.geogebra.org/m/Gj6FrU5W

1.4.2 Vector desplaçament

Una partícula recorre una determinada trajectòria en funció del temps. El vector desplaçament és la diferència entre els vectors posició en dos instants diferents

𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝐢 + 𝑦(𝑡)𝐣 + 𝑧(𝑡)𝐤

𝒓(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑥(𝑡 + ∆𝑡)𝐢 + 𝑦(𝑡 + ∆𝑡)𝐣 + 𝑧(𝑡 + ∆𝑡)𝐤

∆𝒓(𝑡) = 𝒓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝒓(𝑡)= [𝑥(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥(𝑡)]𝐢 + [𝑦(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑡)]𝐣 + [𝑧(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑧(𝑡)]𝐤= ∆𝑥𝐢 + ∆𝑦𝐣 + ∆𝑧𝐤

Unitats SI: m

1.4.3 Vector velocitat mitjana

𝐯𝒎 =∆𝐫(𝑡)

∆𝑡=

𝐫(𝑡 + ∆𝑡) − 𝐫(𝑡)

∆𝑡

Unitats SI: m/s

1.4.4 Vector velocitat instantània

𝐯(𝑡) =𝑑𝐫(𝑡)

𝑑𝑡= lim

∆𝑡→0

∆𝐫(t)

∆𝑡= (𝐢

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝐣

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝐤

𝑑𝑧

𝑑𝑡) = �̇�(𝑡)

El vector velocitat instantània és tangent a la trajectòria en el punt.

Unitats SI: m/s

A aquesta animació de Kaitlin Murphy a GeoGebra es calcula la funció derivada i la tangent a cada punt de qualsevol funció. L’animació, per tant, il·lustra el concepte de velocitat instantània. https://www.geogebra.org/m/NNnd6y4H

A l’animació de Jesus Benayas Yepes a GeoGebra es compara la velocitat mitjana amb la instantània. Observeu com quan la distància entre ambdós punts es fa més petita les dues velocitat s’igualen. https://www.geogebra.org/m/swtmksdy

P’ r(t+t)

r(t) r(t)

x

y

z

O

i j

k

P

v(t)

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 9

1.4.5 Vector velocitat instantània relativa

Si l’observador O es mou a una velocitat vO, la velocitat instantània relativa del punt P respecte de l’origen és la diferència de velocitats entre la partícula i l’observador:

𝐯𝒓(𝑡) = 𝐯(𝑡) − 𝐯𝐎(𝑡)

1.4.6 Vector acceleració mitjana

𝐚𝒎 =∆𝐯(𝑡)

∆𝑡=

𝐯(𝑡 + ∆𝑡) − 𝐯(𝑡)

∆𝑡

Unitats SI: m/s2

1.4.7 Vector acceleració instantània

𝐚(𝑡) =𝑑𝐯(𝑡)

𝑑𝑡= lim

∆𝑡→0

∆𝐯(t)

∆𝑡= (𝐢

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡+ 𝐣

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡+ 𝐤

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡) = �̇�(𝑡) =

𝑑2𝐫

𝑑𝑡2

= (𝐢𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝐣

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝐤

𝑑2𝑧

𝑑𝑡2) = �̈�(𝑡)

Unitats SI: m/s2

1.5 Cinemàtica del punt. Resolució general del problema de la cinemàtica

Coneguts el vector posició r(t) per qualsevol instant de temps es poden determinar la velocitat i l’acceleració instantànies per derivació simple:

𝐯(𝑡) =𝑑𝐫(𝑡)

𝑑𝑡; 𝐚(𝑡) =

𝑑𝐯(𝑡)

𝑑𝑡

Conegudes l’acceleració instantània a(t) així com les condicions inicials v0=v(t0) i r0=r(t0), en un instant inicial t0, es poden determinar la velocitat i la posició instantànies per qualsevol instant de temps per integració simple:

𝐯(𝑡) = 𝐯0 + ∫ 𝐚(𝑡)𝑑𝑡𝑡

𝑡0

; 𝐫(𝑡) = 𝐫0 + ∫ 𝐯(𝑡)𝑑𝑡𝑡

𝑡0

A aquesta animació de oPhysics es determina la posició i la velocitat d’un mòbil, del qual es coneix l’acceleració per quatre instants, així com la velocitat i la posició inicials. Com a cas particular observeu que si l’acceleració és constant, el mòbil es mou segons un moviment rectilini uniformement accelerat. També, si l’acceleració és nul·la, el mòbil es mou segons un moviment rectilini uniforme. https://ophysics.com/k5.html

1.5.1 Moviment rectilini

v(t) i a(t) són paral·leles al vector desplaçament, que podem orientar segons eix x. En aquest cas les variacions són degudes a canvis en el mòdul de la velocitat i l’acceleració, però en tot moment la direcció i el sentit no canvien

1.5.1.1 Moviment rectilini uniforme

𝑎(𝑡) = 0; v(𝑡) = v0

x(𝑡) = x0 + v0(𝑡 − 𝑡0)

P’ r(t+t)

r(t) r(t)

x

y

z

O

i j

k

P

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 10

A aquesta animació d’Elvira Martínez i Carlos Romero a GeoGebra se simula un moviment rectilini uniforme, que parteix de l’origen. https://www.geogebra.org/m/AXHs2Zpm

1.5.1.2 Moviment rectilini uniformement accelerat

𝑎(𝑡) = 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

v(𝑡) = v0 + ∫ a𝑑𝑡𝑡

𝑡0

= v0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0)

x(𝑡) = x0 + ∫ [𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0)]𝑑𝑡 = x0 + 𝑣0(𝑡 − 𝑡0) +1

2𝑎𝑡2 −

1

2𝑎𝑡0

2 − 𝑎𝑡0𝑡 + 𝑎𝑡02 =

𝑡

𝑡0

= x0 + 𝑣0(𝑡 − 𝑡0) +1

2𝑎(𝑡 − 𝑡0)2

A aquesta animació de Walter Fendt es representen x, v i a pel cas d’un moviment rectilini uniformement accelerat. Com el programa ens dona l’opció de canviar els valors de l’acceleració, la velocitat i posició inicials, podem també visualitzar un moviment rectilini uniforme. https://www.walter-fendt.de/html5/phen/acceleration_en.htm

Fer a classe el problema 1.7.3

1.5.2 Moviment circular uniforme En aquest cas el mòdul de la velocitat v és constant i es pot

expressar en termes de la velocitat angular i el radi R de la trajectòria:

𝜔 = lim∆𝑡→0

∆𝜃

∆𝑡=

𝑑𝜃

𝑑𝑡; 𝑣 = 𝜔𝑅

Si t és prou petit l’increment de velocitats v(t), i per tant l’acceleració a(t), estan dirigides cap al centre de la trajectòria i l’acceleració s’anomena normal o centrípeta ac.

A aquesta animació de Giovanni Organtini a GeoGebra es representa la velocitat d’una partícula, que es mou segons un moviment circular uniforme, en dos instants de temps diferents A i B. S’observa que a mida que apropem ambdós punts la diferència de velocitats, i per tant l’acceleració, està orientada cap el centre de la trajectòria. https://www.geogebra.org/m/qVFcfY4W

Com es pot observar a la figura, l’increment de velocitat es pot expressar en termes del mòdul de la velocitat v (que és constant) i el desplaçament angular ∆𝜃. Així, doncs:

∆𝑣 = 𝑣∆𝜃

Per tant, el mòdul de l’acceleració és:

𝑎𝑐 =𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑣

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝑣𝜔 = 𝜔2𝑅 =

𝑣2

𝑅

Treball autònom de l’estudiant: entendre la resolució del problema 1.3.2 (veure llibre) en el que es demostra que si el mòdul d’un vector A(t) és constant, la seva derivada dA(t)/dt és perpendicular al mateix vector A(t). Observeu que el moviment circular

v(t)

v(t+t)

R

v(t)

v(t+t)

v(t) R

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 11

uniforme n’és un cas particular, ja que la velocitat és perpendicular a la derivada, que és l’acceleració centrípeta.

A aquesta animació de Andrew Duffy es visualitzen la velocitat (blau) i l’acceleració centrípeta (verd) pel cas d’un moviment circular uniforme, pel que es por variar el mòdul de la velocitat i el radi. Observeu com canvia l’acceleració centrípeta quan es varien aquests dos paràmetres. Observeu també com, a la dreta i avall, es determina la direcció de l’acceleració centrípeta a partir de la velocitat en dos instants de temps. http://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/circular_motion.html

1.5.3 Moviment circular uniformement accelerat

En aquest cas el ritme amb el que canvia la velocitat angular

(és a dir l’acceleració angular ) és constant i per tant:

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡, 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡

Ara tenim dues acceleracions:

Acceleració centrípeta o normal ac, associada als canvis de direcció de la velocitat

𝑎𝑐 = 𝜔2𝑅 =𝑣2

𝑅

Acceleració tangencial at, paral·lela a la velocitat i associada als canvis en el mòdul de la velocitat

𝑎𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝜔𝑅) = 𝑅

𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝛼𝑅

A aquesta animació d’Elvira Martínez i Carlos Romero a GeoGebra se simula un moviment circular uniformement accelerat. Observeu com l’acceleració tangencial és constant i la velocitat i l’acceleració centrípeta augmenten. https://www.geogebra.org/m/wEP5muwX

1.6 Moviment curvilini. Components intrínseques de l’acceleració

El moviment curvilini és el cas més general possible. A cada punt de la trajectòria es poden determinar la velocitat i l’acceleració instantànies. Com es va indicar a l’apartat 1.2.4 qualsevol vector A es pot expressar en termes d’un vector paral·lel a B (que anomenem 𝐀∥) i un altre perpendicular a B (que anomenem 𝐀⊥).

En aquest cas l’acceleració es pot descompondre en dos parts, una paral·lela a la velocitat i l’altra perpendicular, que anomenem components intrínseques de l’acceleració :

𝐚 = 𝐚𝐭 + 𝐚𝐜

• La que és paral·lela a la velocitat s’anomena tangencial at i està associada als canvis en el mòdul de la velocitat.

𝐚𝐭 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝐯

𝑣= (𝐚 ·

𝐯

𝑣)

𝐯

𝑣= (

𝐚 · 𝐯

𝑣2) 𝐯

v

a

at

an

v(t)

R

at

ac a

v

a

at

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 12

• La que és perpendicular a la velocitat s’anomena centrípeta ac o normal an i està associada a canvis en la direcció de la velocitat. El seu sentit és cap al centre de la curvatura de la trajectòria en el punt.

𝐚𝐜 =𝑣2

𝜌𝐧

1. és el radi de curvatura de la trajectòria en el punt, o radi de la circumferència que a cada punt és tangent a la trajectòria (circumferència osculatriu).

2. n és el vector unitari paral·lel a ac. 3. Com més suau és la corba major és el radi de

curvatura. Així pel cas d’una trajectòria rectilínia el radi de curvatura és infinit.

4. Mètode per calcular si prèviament coneixem a i v:

a. Es calcula v.

b. Es determina at a partir de 𝐚𝐭 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝐯

𝑣 o 𝐚𝐭 = (

𝐚·𝐯

𝑣2 ) 𝐯.

c. Es calcula ac a partir de ac= a-at i es determina el seu mòdul ac.

d. S’aplica la relació 𝜌 = 𝑣2

𝑎𝑐⁄

A l’animació de Doug Kuhlmann a GeoGebra es visualitzen la velocitat i les acceleracions centrípeta, tangencial i total d’una partícula que es mou segons una determinada trajectòria. Observeu com, en tot moment, l’acceleració tangencial i la normal són respectivament paral·lela i perpendicular a la velocitat. https://www.geogebra.org/m/XhKVhThW

A aquesta animació d’Antonio Di Muro a GeoGebra es visualitza la velocitat, acceleració (amb les seves components) i circumferència osculatriu i radi de curvatura d’una trajectòria parametritzada en el temps, que es pot modificar. Observeu com el radi de curvatura canvia pels diferents punts de la corba. https://www.geogebra.org/m/wCN7XAmn

Fer a a classe Q2 del juliol de 2016

Treball autònom de l’estudiant. Entendre la resolució del problema 1.7.4 (veure llibre).

at

ac

n

a

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 13

Problemes suggerits

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 14

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 15

Q1 del novembre de 2020

Q1 de l’abril de 2017

T8 de l’abril de 2015

T2 de l’abril de 2014

T3 de l’octubre de 2013

T5 de l’octubre de 2012

Tema 1: Fonaments fisicomatemàtics de la Mecànica 16