Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto III.1

TEMA III: LÍMITE Y CONTINUIDAD

III.1 LÍMITE Y CONTINUIDAD.

La definición de límite para funciones de 1nℜ → ℜ es similar a la de funciones de 11 ℜ→ℜ .

Pero con la salvedad de que los entornos tomados alrededor del punto donde queremos

encontrar el límite serán ahora discos o bolas, de acuerdo a la dimensión del espacio de las

variables, la mayor dimensión del espacio del dominio, genera una mayor complejidad.

Recordemos la definición de límite de una función de 1 1ℜ → ℜ :

Decimos que el número L es el límite de una función ( )xf para x que tiende a 0x si y sólo si

para todo 0>ε existe un 0δ > (en general función de ε), tal que:

f x Lb g − < ε cuando 00 x x< − < δ

El punto 0x puede o no pertenecer al dominio de la función, pero si debe ser punto de

acumulación∗ de dicho dominio, de modo que si 0x no pertenece al dominio, debe

pertenecer a su frontera. En la figura 1 interpretamos geométricamente la definición:

Si x pertenece al intervalo de largo

δ2 , centrado en 0x , la imagen ( )xf

debe estar en el intervalo de largo

ε2 centrado en L .

Obsérvese que, dado ε quedan, en

general determinados δ y δ’ > δ, se

debe tomar como máximo δ, el

menor de ellos.

∗ Sea n nA p⊂ ℜ ∧ ∈ℜ , se dice que: p es un punto límite o de acumulación de A , si y solo si todo entorno

reducido de p tiene puntos de A . Entorno reducido del punto x0 , es el conjunto de puntos x n∈ ℜ , cuya

distancia a x0 es menor que un cierto 0r > , excluido el punto x0 .

Gráfica de ( )xf

( )xf

ε+L

L

ε−L

δ+0x

( )0xf

δ−0x δ′+0x0x

( )xf

x x

Figura 1

Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto III.2

El valor de f en 0x puede no ser L o bien puede que f no esté definida en 0x . En la figura

1 se ha supuesto que ( ) Lxf ≠0 . Recordemos que para indicar que L es el límite de f para

x x→ 0 se escribe:

límx x

f x L→

=0

b g o también límx x

f x L=

=0

b g

La definición de límite de funciones de 1nℜ → ℜ es similar, sólo que los “intervalos”, en lugar

de ser segmentos, son de mayor dimensión: en 2ℜ se tienen círculos (o discos) y en 3ℜ

esferas (o bolas). Obviamente para dimensiones mayores que tres no tenemos figuras.

III.1.1 Definición de límite para funciones de 1nℜ → ℜ .

Límite simultáneo

Sea 1: nf D ⊂ ℜ → ℜ y sea ( )0 01 0nx x ,...,x= un punto de acumulación de D , entonces:

( )0

límx x

f x L→

= si y sólo si, para todo 0ε > existe un 0δ > (en general δ es función de ε ),

tal que para cualquier x D∈ que satisfaga 00 x x< − < δ signifique que ( )f x L− < ε .

En la figura 2 interpretamos esta

definición para el caso de una

función ( )z f x, y= , se tiene que: el

lím x y x y

f x y L, ,

,b g b g b g→

=0 0

, si y sólo si,

dado un intervalo de largo 2ε

centrado en L , que determina

algún “disco” de radio δ, centrado

en ( )00 y,x e incluido entre las

curvas de nivel ( )ε+L y ( )ε−L , al

tomar un punto ( )y,x cualquiera

en el disco, la imagen f x y,b g debe “caer” en el intervalo de

largo 2ε .

curva de nivel ε+= Lz

curva de nivel ε−= Lz disco de radio δ

x 0x

0y y y

x

( )00 y,xf

L

z

( )y,xf

−ε+L

−ε−L

Figura 2

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto III.3

El límite que hemos definido se suele denominar Simultáneo o n-múltiple (“doble” en el caso

de 2 1ℜ → ℜ ), porque no se impone ninguna restricción para “ir” de cualquier punto x del

dominio a 0x .

Mientras que en funciones de una variable hay sólo dos maneras de acercarnos a un punto

del dominio (por derecha y por izquierda), en funciones de varias variables hay infinitos

caminos para acercarse a un punto del plano de las variables. Para que exista un límite, el

mismo debe ser igual para todos los posibles acercamientos.

III.1.2 Límites sucesivos y restringidos.

Se tiene un límite sucesivo, cuando en una función de n variables independientes se toma

límite con respecto a una variable, permitiendo que varíe sólo ésta y manteniendo

constantes las ( )1n - restantes. De existir dicho límite, resultará una nueva función de las

( )1n - variables que permanecieron constantes, luego se repite el procedimiento de tomar

límite pero ahora respecto a otra variable que antes permaneció constante y así

sucesivamente, hasta haber tomado límite con respecto a las n variables iniciales.

Cambiando el orden de las variables que se van considerando, resultan otros límites

sucesivos no necesariamente iguales e incluso puede que no existan algunos o todos los

sucesivos. Para n variables es posible plantear n! límites sucesivos.

En la figura 3 se interpreta geométricamente para el

caso 2 1ℜ → ℜ : por el camino 1-2 primero se calcula

el límite dejando y constante, tendiendo x a 0x , el

cual puede resultar una función de y , luego se

toma el límite de esta función para 0yy → , es decir:

Camino 1-2: lím lím y y x x

f x y→ →

LNM

OQP0 0

,b g

Camino 3-4: lím lím x x y y

f x y→ →

LNM

OQP0 0

,b g

Si se especifica alguna restricción para “ir” desde un punto x del dominio hasta otro punto

0x podemos llamar a este límite restringido. Estas restricciones en general implican ciertos

caminos o curvas para ir de cualquier x a 0x .

x

0y 0x

x

y

4

2

1

3

0x

Figura 3

Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto III.4

En la figura 4, se ve que diversas curvas son posibles

para “tender a 0x ” (en 2ℜ ). Veremos ejemplos

dónde los límites restringidos para distintas curvas

pueden ser distintos o algunos no existir.

Advertencia: La relación entre el límite simultáneo,

los restringidos y los sucesivos es “delicada”.

Si existe el límite simultáneo y también existen los límites restringidos y sucesivos en 0x ,

entonces todos ellos son iguales entre sí.

Si existen límites restringidos y sucesivos en 0x y alguno de ellos son distintos, entonces el

límite simultáneo en 0x no puede existir. Esto puede ser utilizado para desechar la

existencia del límite simultáneo. En cambio para la comprobación de la existencia y el

cálculo del límite simultáneo por el cálculo de los restringidos es imposible pues estos

últimos son infinitos.

Los límites sucesivos pueden no existir en 0x , pero el límite simultáneo puede que exista.

Si los límites sucesivos o restringidos (que existan) son iguales entre sí, es muy probable

que el límite exista y tenga ese valor, pero la forma de calcularlo es aplicando la

definición.

Ejemplo 1

Sea ( )( )2 2

2 2

yxyxsen

z+

+= , muestre que lím

x yz

, ,b g b g→=

0 01.

Solución

Para mostrar esto se puede hacer ( )y,xx = , entonces: ,x

xsenz 2

2

= luego lím x

z→

=0

1, por

tratarse de un límite notable.

Ejemplo 2

Sea ( ) 22

2

yxxy,xf+

= , calcule lím x y

f x y, ,

,b g b g b g→ 0 0

x

y

Figura 4

x

0x

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto III.5

calculemos los límites sucesivos:

lím lím lím lím lím y x y x y

f x y xx y→ → → → →

LNM

OQP =

+

LNMM

OQPP = =

0 0 0 0

2

2 2 00 0,b g

lím lím lím lím lím x y x y x

f x y xx y→ → → → →

LNM

OQP =

+

LNMM

OQPP = =

0 0 0 0

2

2 2 01 1,b g

como son distintos, el límite simultáneo en ( )00, no existe.

Ejemplo 3

Sea f x yxy

x y,b g =

+2 2 , encontrar lím x y

f x y, ,

,b g b g b g→ 0 0

.

Solución

Calculemos los límites sucesivos:

lím lím lím y x y

xyx y→ → →+

LNMM

OQPP = =

0 0 2 2 00 0 lím lím lím

x y x

xyx y→ → →+

LNMM

OQPP = =

0 0 2 2 00 0

son iguales, esto es alentador y parecería que deberíamos probar ahora que el límite es 0.

Sin embargo, conviene analizar otros acercamientos al origen. Debemos recordar que una

sola coincidencia entre límites por distintos acercamientos no garantiza nada; por el

contrario, un solo caso de límite distinto prueba que no existe el límite.

Normalmente, se suelen calcular a ese efecto los límites radiales, en los cuales se determina

el límite por líneas rectas oblicuas que convergen al punto en análisis.

En nuestro caso, las líneas rectas que convergen al origen son de la forma: y mx=

( ) ( )2222

2

1 mm

xmxmxx,mxfx,yf

+=

+==

de modo que:

( ) 2200 implica

que ,0 11 lím

mm

mmlímx,yf

xy

x +=

+=

→⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

→→

Este último valor depende de m ; por lo tanto el valor del límite variará de acuerdo al camino

de acercamiento al origen, esto es, depende de la trayectoria recta de pendiente m , por

ejemplo:

Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto III.6

para 1=m (recta a 45° C), resulta: ( )

( )0 0

1lím2x

y

f x,mx→→

=

para 2=m , se tiene: ( )

( )0 0

2lím5x

y

f x,mx→→

=

y así se pueden seguir obteniendo distintos valores para diferentes valores de m . Esto indica

que al ser distintos los límites restringidos, no existe límite simultáneo en ( )00, .

Ejemplo 4

Sea ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

≠=

x z

, xxπsenyz

0si0

0 si encontrar

( ) ( )z

,x,y lím

00→

Solución

Es posible mostrar que en el punto ( )00, el límite es ( ) ( )

0 lím 00

=→

z,x,y

, sin embargo uno de los

límites sucesivos no existe.

0, lím lím 00

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

→→ xπseny

yx ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

→→ xπseny

xy lím lím

00, que para 0≠y , no existe.

Ejemplo 5

Sea ( ) 22

23yxyx

y,xf+

= , encuentre el límite para x y, ,b g b g→ 0 0

Solución

Es posible verificar que el límite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen es 0. Si

bien esto no es suficiente, también es posible mostrar que los límites sucesivos son iguales a 0,

lo mismo que a lo largo de las parábolas 2xy = , 2yx = , o de la sinusoide y sen x= , con lo

cual comenzamos a sospechar que el límite puede existir y valer 0.

Sea 0>ε . Queremos encontrar 0>δ , tal que:

3 02

2 2x y

x y+− < ε siempre que 0 2 2< + <x y δ

es decir,

3 2

2 2

x y

x y+< ε siempre que 0 2 2< + <x y δ

pero ( )2 2 2x x y≤ + y 2 2 2y x y≤ + , de modo que:

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto III.7

33 3 3

2

2 22 2 2x y

x yy y x y

+≤ = ≤ +

luego, si tomamos 3ε=δ , nos queda:

3 0 3 3 33

2

2 22 2x y

x yx y

+− ≤ + ≤ = FHG

IKJ =δ

εε

Entonces cumple con lo indicado en la definición de límite, el límite existe y vale 0.

Observación: Si calcular el lím x y

f x y, ,

,b g b g b g→ 0 0

se torna muy complicado, se puede intentar

cambiar a coordenadas polares. Se sustituye θ= cosrx , θ= rseny , y se investiga el límite de

la expresión resultante cuando 0→r . En otras palabras, buscamos si existe un número L

que satisfaga el siguiente criterio:

Dado 0>ε , existe 0>δ tal que r∀ y θ∀ : si ( )0 r f r cos ,rsen L< < δ ⇒ θ θ − < ε .

Esto es, si L existe, entonces: lím lím x y r

f x y f r r sen L, ,

, cos ,b g b g b g b g

→ →= =

0 0 0θ θ

Ejemplo 6

Encontrar ( ) ( ) 22

3

00 lím

yxx

,x,y +→.

Solución

lím lím lím x y r r

xx y

rr

r, ,

cos cosb g b g→ → →+

= = =0 0

3

2 2 0

3 3

2 03 0θ

θ

Al igual que antes el candidato a límite es 0=L , pero hace falta mostrar que dado

cualquier 0>ε , existe un 0>δ tal que para todo r y θ , 30 0r r cos< < δ ⇒ θ − < ε .

Como

rrcosrcosr =⋅≤θ=θ 133 ,

haciendo ε=δ , obtenemos un 0>δ y el límite existe y vale 0.

Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto III.8

Ejemplo 7

Encontrar ( ) ( ) 22

2

00 lím

yxx

,x,y +→.

Solución

lím lím lím ?x y r r

xx y

rr, ,

cos cosb g b g→ → →+

= = =0 0

2

2 2 0

2 2

2 02θ

θ

En este caso, el θ2cos toma todos los valores entre 0 y 1, independientemente de cuánto

valga r , luego ( ) ( ) 22

2

00 lím

yxx

,x,y +→, no existe.

Ejemplo 8

Encontrar ( ) ( ) 24

2

00

2 lím yxyx

,x,y +→.

Solución

lím lím x y r

x yx y

r senr sen, ,

coscosb g b g→ →+

=+0 0

2

4 2 0 2 4 22 2θ θ

θ θ

que para 0→r y θ = constante , el límite es 0. Sin embargo sobre la trayectoria 2xy = ,

tenemos:

( ) ( )1

22 lím2 lím2 lím 4

4

044

4

024

2

00==

+=

+ →→→ xx

xxx

yxyx

xx,x,y

si evaluamos la trayectoria anterior usando las coordenadas polares, esto es

r sen rθ θ= 2 2cos , obtenemos el mismo resultado:

lím lím lím lím ry x

r r rf r r sen

r sen

r r

r senr

r senr→

=→ → →

=+

= = =0 0 2 4 2 2 0

2

2 4 0 2 22

2 22

1

e jb g

e jcos ,

cos

cos cos

coscos cos

θ θθ θ

θ

θ θ

θ

θ

θ

Por lo tanto el cambiar a coordenadas polares, no siempre ayuda y puede llevarnos a

resultados falsos.

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto III.9

III.1.3 Funciones contínuas

Igual que en funciones de una variable, para que una función de varias variables sea

continua en un punto debe estar definida en el mismo, debe tener límite en él y el valor de

la función debe ser igual al del límite. Si una función es combinación de otras continuas, será

también continua excepto en aquellos puntos donde no esté definida.

Una función f es continua en 0x si ( ) ( )0

0lím ,x x

f x f x→

= lo que implica tres propiedades:

1. La función está definida en 0x .

2. Existe límite simultáneo en 0x .

3. El valor del límite en 0x es ( )0f x .

Si se cumple para todo punto de un intervalo se dice que f es continua en dicho intervalo.

Ejemplo 9

¿En qué conjunto de puntos es continua la función f x yx yx y

,b g =−

+

2 2

2 2 ?

Solución

La función dada es discontinua en el ( )00, debido a que no está definida en ese punto,

luego la función es continua en el conjunto ( ) ( ) ( ){ }00,y,x|y,xD ≠=

Ejemplo 10

Sea ( )( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

00si0

00 si 222

,y,x

,y,xyx

xyy,xg , ¿en qué región del plano es continua la

función dada?

Solución

En este caso g está definida en ( )00, , pero es discontinua porque el lím x y

g x y, ,

,b g b g b g→ 0 0

no

existe, tal como se vio en un ejemplo anterior.

Ejemplo 11

¿Es continua la función dada por ( ) ( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

00si0

00si322

2

,y,x

,y,xyxyx

y,xf ?

Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto III.10

Solución

La función f está definida en todo el plano ( )y,x , y de un ejemplo anterior vimos que

lím lím x y x y

f x yx y

x y, , , ,,

b g b g b g b gb g→ →

=+

=0 0 0 0

2

2 23 0

además: lím x y

f x y f, ,

, ,b g b g b g b g

→= =

0 00 0 0 , entonces la función es continua en todo el plano.

Ejemplo 12

Calcular ( ) ( ), ,0 1

lím x

x ye y

→.

Solución

Se trata en este caso de funciones continuas ambas, y su producto está definido en el punto

indicado, por lo tanto el producto es continuo allí. Entonces el límite de la función es igual al

valor de la función, o sea 1.

Ejemplo 13

Calcular ( ) ( ) 2 20 0

lím2x ,y ,

xyx y→ + +

.

Solución

Este es un cociente de funciones continuas y además definido en el origen, por lo cual la

función es continua y su límite es el valor de la función en el origen, vale decir 0.

Ejemplo 14

Calcular ( ) ( )

( )2

2 20 0lím

x ,y ,

x yx y→

−

+.

Solución

En este caso, si bien las funciones del numerador y el denominador son ambas continuas, el

cociente entre ambas no está definido en el origen. Para tratar de ver si existe un límite,

analizaremos primero los acercamientos por los ejes.

Por el eje x : ( ) ( )

( )2 2

2 2 20 0 0 0

0lím lím 1

0x , , x

x xx x→ →

−= =

+

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Por el eje y : ( ) ( )

( ) ( )2 2

2 2 20 0 0 0

0lím lím 1

0,y , y

y yy y→ →

− −= =

+

Esto es alentador y parecería que deberíamos probar ahora que el límite es 1. Sin embargo,

conviene analizar otros acercamientos al origen. Debemos recordar que una sola

coincidencia entre límites por distintos acercamientos no garantiza nada; por el contrario, un

solo caso de límite distinto prueba que no existe el límite.

Normalmente, se suelen calcular a ese efecto los límites radiales, en los cuales se determina

el límite por líneas rectas oblicuas que convergen al punto en análisis.

En nuestro caso, las líneas rectas que convergen al origen son de la forma: y mx= .

Determinemos, pues, los límites acercándonos por estos caminos:

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

22 2 22

2 2 2 2 2 220 0 0 0

1 1 1lím lím lím

1 1 1x ,mx , x x

x mx mx x m mx m x m mx mx→ → →

−⎡ ⎤− − −⎣ ⎦= = =+ − ++

Este último valor depende de m ; por lo tanto variará de acuerdo al camino de

acercamiento al origen. Como los límites no son todos iguales para todos los acercamientos,

se concluye que no existe el límite.

III.2 GENERALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS DE LÍMITE Y CONTINUIDAD A FUNCIONES

VECTORIALES.

La definición de límite para funciones de n mℜ → ℜ es similar a la de funciones de 1nℜ → ℜ y

desde luego a las de 11 ℜ→ℜ . Al igual que lo que ocurría con las funciones de 1nℜ → ℜ , la

mayor dimensión del dominio modificaba el concepto de “intervalo”, en lugar de ser

segmentos ahora son regiones de mayor dimensión: en 2ℜ se tienen círculos (o discos); en 3ℜ esferas (o bolas) y para dimensiones mayores que tres no tenemos figuras.

Muchos temas de Cálculo vectorial son una generalización a más dimensiones de los

correspondientes a Cálculo de una variable. Esto ocurre con el concepto de límite: si se

tiene una función :f n mℜ → ℜ , es decir, una función de m componentes mf,,f,f 21 y n

variables independientes y si se cumple que:

( ) ( ) ( )0 0 0

1 1 i ilím lím lím m mx x x x x xf x L , , f x L , , f x L

→ → →= = =

entonces el cumplimiento de n límites implica que ( ) Lxfxx

=→ 0

lím , siendo ( )1 mL L ,...,L= .

Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto III.12

III.2.1 Definición de límite para funciones de n mℜ → ℜ .

Sea : n mf D ⊂ ℜ → ℜ y sea ( )0 10 0 mx x ,...,x= un punto de acumulación de D , entonces es:

( ) Lxfxx

=→ 0

lím si y sólo si, para todo 0ε > existe un 0δ > (en general δ es función de ε), tal

que para cualquier x D∈ que satisfaga 00 x x< − < δ signifique que f x Lb g − < ε .

III.2.2 Continuidad de funciones vectoriales

Una función f es continua en 0x si ( ) ( )0 lím0

xfxfxx

=→

lo que implica tres condiciones:

1. La función está definida en 0x .

2. Existe límite en 0x .

3. El valor del límite en 0x es ( )0xf .

Si se cumple para todo punto de un intervalo se dice que es continua en dicho intervalo.