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thomAs jeCh. Set theory. tercera edición del milenio, revisada y expandida, 4ta reimpresión corregida, springer Monographs in Mathematics, springer, Berlín, 2006, xiii + 769 pp, us$ 160.00, isBn: 978 -3- 540 -44085- 7

recibido: 05/06/10revisado: 21/06/10aprobado: 02/09/10

¿Por qué leer teoría de conjuntos? ¿Por qué leer a Jech? la teoría de conjuntos tiene un siglo largo de existencia: se puede decir —algo muy inusual en matemáticas— que esta área nació el 7 de diciembre de 1873, si uno acepta considerar como el momento de nacimiento la fecha de la carta de cantor a Dedekind, donde demuestra mediante la famosa “prueba diagonal” que los reales no son enumerables.

Durante su tiempo de existencia, la teoría de conjuntos se ha consolidado no sólo como una de las (sub)áreas más importantes de la lógica matemática sino como uno de los dos extremos de una polaridad filosófica bastante acentuada en la matemática de los últimos setenta años: la dicotomía entre la fundamentación conjuntística y la categórica del resto de la matemática, entre el representar todo objeto (función, operador, espacio, estructura) como un conjunto de conjuntos de conjuntos (etc.) en últimas basado en el vacío (extremo conjuntístico) o enfatizar las conexiones entre distintos objetos, las múltiples flechas, acciones (funtores, transformaciones naturales, adjunciones, etc.). Finalmente, la dicotomía matemática entre el extremo conjuntista y el extremo categórico es una expresión más de viejas dicotomías filosóficas (extremo analítico versus extremo sintético, ser estático versus devenir dinámico, etc.). No es excesivo decir que parte de la más interesante filosofía de la matemática hoy en día surge en tensión contra la filosofía analítica: la filosofía sintética de la matemática que proponen F. Zalamea, Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas, (Bogotá: editorial universidad nacional de colombia), 2009; a. Badiou, L’Être et l’Événement, (París: seuil), 1988; J. Petitot, Naturaliser

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la phénoménologie, (París: Éditions cnrs), 2002; J. Baldwin, Model theoretic perspectives on the philosophy of mathematics, Workshop in Practice -Based Philosophy, amsterdam, 2009; etc., entre otros autores. en tensión contra el extremo conjuntístico, a favor del extremo (más novedoso) categórico.

una lectura posible del estado actual de la matemática con-temporánea hace énfasis en la tensión entre dos extremos que, simplificando, se podrían llamar el “extremo conjuntístico” y el “extremo categórico” de la matemática contemporánea. esta vi-sión corresponde de manera intuitiva (y muy esquemática) a la tensión entre lo endógeno (enDo) y lo exógeno (eXo), entre el análisis y la síntesis, entre una ontología estática y una ontología dinámica. De acuerdo con esa visión la teoría de conjuntos sería el culmen del primer extremo, del extremo enDo, del extremo analítico de la matemática. aunque tal tipo de lectura puede ser extremadamente simplista (y en la realidad hay toda una red, toda una espiral de caminos insospechados entre los dos “extre-mos”), es conveniente para ubicar momentáneamente las demás disciplinas matemáticas las unas con respecto a las otras.

en ese orden de cosas, el desarrollo de algunas áreas de la matemática en el siglo XX (distintas de la teoría de conjuntos) pasó por un primer momento (“estructuralista” —años 20 y 30) durante el cual muchas construcciones, muchas subáreas que ve-nían de antes se organizaron en torno a la construcción de mul-tiplísimas estructuras —todas ellas ancladas en ese paraíso de cantor que era la teoría de conjuntos. Durante las siguientes dé-cadas, sucedió algo sorprendente —una especie de explosión en dos caminos aparen temente opuestos y ubicados en los extremos enDo y eXo. en realidad la explosión no fue entre verdaderos opuestos, pero se requiere una formación como la que puede dar la lectura del libro de Jech y de muchas otras obras en varias dis-ciplinas el ver por qué es más complejo: por un lado la necesidad de lograr un mejor control de la tensión “local global” en partes de la geometría, la necesidad de tener herramientas de pegamen-to matemático de estructuras bien controladas localmente en un

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todo global coherente lle vó disciplinas enormes (geometría alge-braica, geometría diferencial, análisis complejo) del lado de los esquemas y los haces; por otro lado, hacia la misma época suce-dió una verdadera revolución en el “otro extremo”, en la teoría de conjuntos.

Teoría de conjuntos: de fundamentos a matemática pura

con el tiempo, logran do trascender su primer rol cercano a los fundamentos de la matemática, la teoría de conjuntos se consolidó como una componente central e ineludible de la lógica mate-mática. el vaivén de ideas entre la teoría de conjuntos y la teoría de modelos ha sido sumamente fructífero, sobrepasando de lejos lo que inicialmente se hubiera podido sos pechar —definiciones y construcciones fundamentales inspiradas en la otra disciplina (indiscernibles, modelos construidos como cubiertas de ehrenfeucht -Mostowski en torno a ordinales, lema de cubrimiento de Jensen, ultrapotencias genéricas, etc.), técnicas de teoría de modelos útiles para la teoría de conjuntos —y viceversa— han aparecido de manera natural a lo largo de toda su historia. Por otro lado, toda una red de conexiones entre la teoría de conjuntos y la topología y más recientemente con la topología algebraica y con las álgebras de operadores (paralelos entre cardinales invariantes del continuo y cardinales invariantes de c* álgebras, entre otros ejemplos de interacción sorprendente) han sido expresiones de ese fluir natural, sorprendente y enriquecedor entre la teoría de conjuntos y el resto de la matemática.

en 1963 cohen demostró la independencia de la Hipótesis del continuo. Pero más allá del resultado en sí (que respondía a trabajos iniciados ochenta años antes por cantor, entronizados por Hilbert en su primer problema en 1900 y refinados de manera extrema por Gödel hacia 1938, cohen y la generación siguiente —sobretodo silver, solovay, Martin en Berkeley), la demostración de cohen introdujo un método que cambió por completo toda la teoría de conjuntos: el forcing.

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el forcing se ha convertido desde entonces en parte obligada de la “paleta” de cual quier especialista en teoría de conjuntos. es una de esas técnicas inmensas en variantes y alcance, en conexiones con otras áreas, en versatilidad de variantes. la idea, muy escue-tamente, consiste en armar un “sistema de aproximaciones” suficientemente coherente de algún “objeto” matemático que uno quisiera construir, pero que no puede construir directamente —entre otras razones porque puede no existir en “el universo base” V. la fuerza de la técnica radica en que permite determinar cuándo en alguna extensión del universo bien controlada por un filtro genérico G (de manera tal que V ⊂ V [G]) aparece el objeto ideal que se quería construir. Detrás de esto hay cantidad de sutilezas que ter minan íntimamente conectadas con la estructura topológica y de teoría de medida de los reales —entre muchas otras cosas.

el otro tema grande dentro de la teoría de conjuntos que ha vivido una revolución durante los últimos treinta años es la teoría descriptiva de conjuntos. los orígenes de ésta se remontan a la escue-la de Moscú durante la década de 1910, en trabajos que buscaban extender el análisis de subconjuntos definibles de los reales que surgió en Francia con los aportes de Baire, Borel y lebesgue. en décadas recientes la teoría descriptiva de conjuntos se ha centrado fuertemente en el estudio del modelo l() bajo hipótesis de gran-des cardinales.

Set theory - The third millenium edition, revised and expanded (que en adelante señalo mediante sttM) se ubica principalmente en ese punto, en lo que llamamos “teoría de conjuntos moderna” y que consideramos que arranca con los trabajos de cohen —y llega a partir de esos trabajos a desarrollos contemporáneos de la disci-plina hacia 2003 (su fecha de edición).

es, de manera muy radical, un libro dirigido a público princi-palmente matemático: estudiantes de posgrado (o pregrado avan-zado en algunas partes) de lógica matemática, investigadores que trabajan en teoría de conjuntos o en topología, teoría de modelos, álgebra, etc. pero requieren usar forcing u otras técnicas conjuntís-ticas en su trabajo. Puede, incluso, ser una excelente referencia para

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diversos filósofos de la matemática —principalmente filósofos no analíticos que requieran ir al grano de una disciplina que (aún) se puede ver como gran fundamentación de buena parte de la ma-temática—, estudiosos serios de los trabajos de Maddy o Badiou acudirán a sttM como una fuente de referencia o de estudio de temas obligatoria en este momento.

el libro es un libro de texto, pero no para ser seguido linealmente por completo en un curso, sino para ser estudiado por distintos públicos, en distintas etapas de formación, siguiendo distintas líneas a lo largo del libro. un semestre típico de nivel maestría puede consistir en todos los temas de forcing del libro, o en los de teoría de grandes cardinales, o en varios otros.

La edición del tercer milenio

la historia de uso de sttM ha mostrado que realmente sirve como fuente muy útil a la hora de escoger un “libro de texto”. cabe aclarar que disciplinas como Matemática (o en general las ciencias o disciplinas estilo teoría musical) dependen muy fuertemente de la calidad de los libros de texto, incluso a niveles muy avanzados (cursos de doctorado). esto puede sorprender un poco a quienes vengan de otras disciplinas, donde los cursos avanzados dependen mucho más de textos, fragmentos, etc. originales. en Matemática, un buen libro de texto rebasa de lejos el rol un poco escolar que alguien podría ver de manera un poco superficial. Algunos libros de texto han marcado maneras de pensar, maneras de enfocar disciplinas enteras. el rol epistemológico de textos como Jacobson o lang en Álgebra, spanier en topología algebraica, o atiyah en Álgebra conmutativa rebasa de lejos el rol primario pedagógico. el ejemplo extremo de este fenómeno es (naturalmente) los Elementos de euclides.

En este sentido el reto de Jech (reflejado en el título ambicioso “del tercer milenio”) es altísimo: intenta dar a estudiantes, estudio-sos, investigadores, filósofos o sencillamente curiosos un marco de pensamiento a través de su libro.

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Jech no es novato en el tema: en 1978 había sacado una prime-ra edición de su Set theory. el libro salió en época cercana al otro texto de referencia y uso en universidades, de Kenneth Kunen. Du-rante casi tres décadas, las dos referencias esenciales eran Kunen y Jech. el contraste entre estos libros (Kunen breve, al grano, casi humorístico en la profundidad de algunos de sus ejercicios, que llevaban al estudiante casi por su cuenta a “descubrir” secretos de la teoría de conjuntos – Jech exhaustivo, extenso, detallado) definía estilos enteros de abordar inicialmente los temas. usualmente, se consideraba mejor pasar por Kunen primero y luego llenar vacíos y detalles con Jech —evitando (por ejemplo) el tratamiento algo engorroso de la definición de las extensiones genéricas en Jech, pero luego sí usándolo para estudiar en detalle muchos temas que Kunen en su elegancia extrema juzgaba oportuno omitir.

en 1997 Jech sacó una segunda edición, aún muy parecida a la primera (correcciones menores, poco material nuevo).

la “tercera edición” (sttM) trae cambios profundos. estruc-turalmente, el libro ahora trae las tres partes bien distintas men-cionadas antes —pero sobre todo trae consigo un enfoque que simultáneamente cubre muchos temas nuevos— o conexiones nuevas entre temas antes más distantes. los ejercicios no son par-ticularmente difíciles para alguien que haya absorbido el material del libro —sirven principalmente para complementar temas, cons-trucciones, ejemplos.

es evidente que Jech intenta definir lo que cierto mainstream con-juntístico debe con siderar como “básico”, lo que debe considerarse “avanzado” y finalmente “nivel de especialista”. Esta diferencia-ción nítida no aparece en ningún otro libro de teoría de conjuntos, y tampoco aparecía en las dos primeras ediciones de Jech.

el libro consta entonces de tres partes: la primera (Basic set theory) con temas generales y un desarrollo rápido a través de la historia de la disciplina y con los temas que (a decir del autor) “todo estudiante de teoría de conjuntos debe aprender”. es importante señalar aquí que sttM no pretende ser una fuente histórica exhaustiva del área. Aunque en las referencias finales

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de cada capítulo aparecen unas notas históricas muy útiles, con mención a los autores de observaciones, ejercicios, teoremas y fuentes iniciales, el objetivo primordial del libro no es histórico. en esta parte todos los resultados contienen demostraciones detalladas. arranca desde la axiomática de Zermelo Fraenkel, pasa por ordinales, cardinales, axioma de elección, ultrafiltros, algo de teoría combinatoria de conjuntos, cardinales medibles, de ramsey, débilmente compactos, etc., y un inicio de teoría descriptiva de conjuntos (conjuntos borelianos y analíticos). la segunda parte (Advanced set theory) consta de lo que todo especialista en teoría de conjuntos debe manejar: forcing y forcing iterado, el universo construible y modelos internos, grandes cardinales, el ideal no estacionario, ultrapotencias iteradas y l(u), algo de teoría pcf, etc. el tratamiento es menos detallado que en la primera parte aquí. Finalmente, en la tercera parte (Selected topics), el autor entra en muchos temas más contemporáneos que reflejan de manera bastante fiel el “estado del arte” de la teoría de conjuntos hacia el inicio del tercer milenio: trabajos de Woodin y la escuela de california, determinación, modelos internos para grandes cardinales, el máximo de Martin, forcing propio, tower forcing, etc.

el libro hace justicia a la impresionante mezcla (contaminación, dirían algunos, ha blando de manera entusiasta sobre el tema, ver Zalamea, op. cit.) de temas que estamos atestiguando en matemá-tica hoy en día —aunque por razones obvias lo hace dentro del ámbito de la teoría de conjuntos. en ese sentido el libro hace justi-cia a la segunda parte de su nombre —la “edición del tercer mile-nio”. en 1978 (y en la edición casi igual a la primera, de 1997) los temas estaban mucho más separados en compartimientos. uno de los grandes logros de la edición de 2003 es ser el primer récord en forma de libro de texto de la genuina “polinización cruzada” que se vive en teoría de conjuntos (al igual que en varias otras áreas de la matemática, y entre estas áreas también). así, en ese impresio-nante Selected topics que constituye la tercera parte el forcing apa-rece como herramienta ubicua, la teoría de grandes cardinales y de modelos internos aparecen mezcladas y la teoría descriptiva de

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conjuntos es el estudio del modelo l() bajo hipótesis de grandes cardinales. en ese sentido muy preciso sttM es genuinamente la edición para el (abrir del) tercer milenio.

en síntesis: en su tercera edición, sttM es un verdadero ma-nual de consulta de teoría de conjuntos, que sirve para un amplí-simo espectro de lectores: desde estudiantes de nivel licenciatura (avanzada) hasta investigadores en el área —pasando por estu-diantes de doctorado que se estén formando en teoría de conjuntos o en disciplinas relaciona das con ésta. Para el público filosófico, claramente es material de consulta (además de las fuentes origi-nales) en temas frecuentemente mencionados, usados o criticados por filósofos (fenomenólogos como Badiou, Petitot; sintéticos / ca-tegóricos como Zalamea; o filósofos de la teoría de conjuntos de la línea de Maddy).

aunque es muy probable que el lema “del tercer milenio” que-de obsoleto muy pronto (como sucede siempre en estas discipli-nas), rebasado por textos que recojan desarrollos más novedosos, o sencillamente mejor conectados con el resto de la matemática (li-bros recientes de todorcevic o áreas de trabajo que conectan teoría de conjuntos con sistemas dinámicos —trabajos de Pestov, Kechris y todorcevic vienen a la mente), es claro que por ahora Jech ha logrado un hito epistemológico/pedagógico con su libro —no solo en términos de los temas y de su uso muy amplio en seminarios de investigación o en cursos, sino por su definición (más incluyente, más exhaustiva aún que en las dos ediciones anteriores) nítida de qué es lo básico que “todo estudiante” debe saber, qué es lo “avan-zado” y qué es lo “de especialistas”.

andrés Villaveces Departamento de Matemáticas, Facultad de ciencias, universidad nacio-nal de co lombia, aK 30 # 45 07, Bogotá D.c., colombia. correo electrónico: avillavecesn@unal.edu.co