Tericos Probabilidad primera Parte

Tericos Probabilidad primera ParteProfesora: Patricia Aurucis

1.

Sean A y B sucesos independientes siendo: P(A) = pA y P(B) = pB . Encuentre una frmula para calcular y demuestre que los sucesos son independientes.

2. Para cada una de las siguientes afirmaciones indique si es verdadera o falsa justificando en cada caso su eleccina)

Si X tiene distribucin normal y entonces la variable Y = a X2 + b donde a y b son constantes tiene b) Sea X una variable continua definida en los reales positivos y a y b dos nmeros reales positivos ,entonces:.c) La funcin de densidad de una variable aleatoria continua es continua, en el intervalo real donde est definida.

3.

Probar que si X tiene una distribucin Poisson de parmetro Indicar como se relacionan la variable Poisson y la Exponencial Negativa

4. Para cada una de las siguientes afirmaciones indique si es verdadera o falsa justificando en cada caso su eleccinSi X es una variable aleatoria continua cuya funcin de densidad asume valores positivos en el intervalo (1,3) y vale cero fuera de ese intervaloa) V(X) = 0.5b) E(2X+5) = 1 c) P(X>2/X>1.5) P(X>2)d) La funcin de densidad en el intervalo (1,3) es positiva y menor o igual que 1.

5. Definir sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes. Cmo se determina la probabilidad de la unin para cada uno de estos pares de sucesos? Enunciar una situacin problemtica referida a un par de sucesos mutuamente excluyentes que no sean sucesos independientes.

6. Caracterice la distribucin exponencial. Pruebe la propiedad de falta de memoria.

7. Para cada una de las siguientes afirmaciones indique si es verdadera o falsa justificando en cada caso su eleccin.Si X es una variable aleatoria continua cuya funcin de densidad asume valores positivos en el intervalo [2 ; 7] y cero fuera de ese intervalo entoncesa) E(X) = 4.5b) La funcin de distribucin en 7 vale 1.c) P(X>5/X>3) P(X>5)d) La funcin de densidad en 4 vale menos que 1. 8. Poisson.a) Indique las condiciones que deben darse para que sea adecuado utilizar como modelo una variable Poisson.b) Qu significado cabe atribuir al parmetro incluido en la funcin de probabilidad de una variable Poisson?c) Qu se puede decir sobre la razn entre la media y la varianza de una variable Poisson?

9. Indique si las siguientes proposiciones son V o F justificando o proporcionando un contraejemploa) Si Cov( X, Y ) = -12 entonces el coeficiente de correlacin lineal puede ser positivo.b) Si E( a2.X + b.X - c) = a E(X)+ 4 E(X) c entonces a = 1 y b =4c) Si X es VA continua

10. Indicar las hiptesis del Teorema de Bayes y proporcionar un ejemplo

11. Probar el Teorema de la Probabilidad Total. Indicar claramente las hiptesis.

12. Indique si las siguientes proposiciones son V o F justificando o proporcionando un contraejemploa) Si Cov( X, Y ) = - 24 entonces el coeficiente de correlacin lineal puede ser positivo.b) Si X es VA discreta c)

Si entonces

13. Sea X una variable aleatoria continua, defina el concepto de funcin de distribucin acumulada a izquierda y proporcione algn ejemplo.

14. Qu entiende por esperanza de una variable aleatoria?.Defnala y explique el concepto. Indique dos ejemplos de variables aleatorias, con sus respectivas funciones de probabilidad o densidad con igual esperanza y distinta varianza.

15. Dados A y B, sucesos tales que demuestre quea) si A y B son mutuamente excluyentes entonces no son independientes.b) Si A y B son independientes entonces A y tambin son independientes.

16. a) Defina el concepto de variable aleatoria.b) Cmo clasifica a las variables aleatorias?c) Defina varianza de una variable aleatoria17. a. Defina varianza de una variable aleatoriab. Qu representa la desviacin estndar de una variable aleatoria discreta?c. Si la desviacin de la variable fuera 2 y su media 13 indicara que el recorrido de la variable est entre 11 y 15 inclusive? Justifique la respuesta y proporcione un ejemplo.

18. Encuentre a partir de una deduccin la relacin entre la variable Poisson y la exponencial.19. Demuestre el Teorema de la Prdida de memoria de la variable aleatoria exponencial.20. Indique qu representan los momentos centrados en la media de segundo, tercer y cuarto orden. Qu representan? Ejemplifique en una distribucin.21. Indique las condiciones del Proceso Bernoulli. Defina en este contexto una variable discreta que se adecue al mismo. Justifique.22. Demuestre que la esperanza es un operador lineal pero que la varianza no lo es.