7/25/2019 Tarea_Unidad3

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

MAESTRIA EN DIDACTICA DE LA

MATEMATICA FUNDAMENTOS DE

ALGEBRA

2 de mayo de 2016

CicloI-2016

Grupo

Tarea Unidad III: Introduccion a Estructuras Algebraicas

Nombre: Carnet: Nota:

Indicaciones: Redacte sus soluciones de forma ordenada y coherente, explique con detalle sus analisis y proce-

dimientos. La fecha de entrega es el domingo 8 de mayo de 2016. La tarea puede ser entregada en grupos de 4

maximo.

1. Sea G es un conjunto finito, con una ley de composicion interna, de G G en G, que asigna a

cada par ordenado de elementos x,yde G, un unico tercer elemento en G (usualmente llamado el

producto de x e y) denotado por xy, tal que se verifiquen las tres propiedades siguientes:

a) Asociativa: para todox,y,zen G, x(yz) =(xy)z.

b) Simplificativa por la derecha: Dadosa, b, cen G, tales queac =bc, entoncesa =b.

c) Simplificativa por la izquierda: Dadosa, b, cen G, tales que ca =cb, entoncesa =b.

Demostrar queG es un grupo.

2. Grupo de orden cinco. SeaG = {e, a, b, c, d}un conjunto con cinco elementos distintos. Demostrar

que solo puede existir enG una leyunica de composicion que cumpla con los axiomas de grupo y

que el grupo obtenido sea cclico.

Ayuda:

a) Demostrar que enG no pueden existir elementos distintos dee que sean iguales a su inverso.

b) Por lo tanto seabel inverso deaydel inverso dec. Discutiendo la tabla del grupo, demostrar

que tomar a2 = b lleva a una imposibilidad. Se considera por tanto a2 = c. Demostrar a

continuacion que solo se puede considerarb2 =d. Deducir la tabla completa.

c) Demostrar que todos los terminos son potencias de ay quea5 =e. Concluyendo que excepto

isomorfismo solo existen ununico grupo de orden cinco.

3. Muestre que un grupoG es abeliano si y solo si (ab)2 =a2b2 para todoa,b G

4. SeaG un grupo, suponga que aba3

b2

a =

e para todoa,b G. Muestre queG es el grupo trivial.

5. Grupo cuaternionico. Se considera la tabla de multiplicacion siguiente:

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e i i1 j j1 k k1

e e i i1 j j1 k k1

e i1 i i1 j k1 k

i i i1 e k k1 j1 j

i1 i1 i e k1 k j j1

j j j1 k1 k e i i1

j1 j1 j k k1 e i1 i

k k k1 j j1 i1 i e

k1 k1 k j1 j i i1 e

a) Comprobar que se trata de una ley de grupo.

b) Determinar todos los subgrupos deG.

c) Se elije {i, j}por sistema de generadores, expresar todos los elementos del grupo en funcion

de estos generadores.

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