Transferencia de Calor - IWM-230, Mauricio Osses

Tarea n◦ 2 Radiacion e Intercambiadores de Calor

Alan OrdonezUniversidad Tecnica Federico Santa Marıa

Departamento de Ingenierıa Mecanica

24 de Agosto de 2015

Problema 1: Radiacion (20%)

Para esta parte, se le solicita a usted que elija la mejor placa de vidrio para una estufa radiativa,la placase mantendra a una temperatura constante igual a 120 [◦C] y un area de 1 [m2]. Cabe mencionar que seconsiderara regimen estacionario y la eleccion de la placa debera ser justificada por usted.

El proveedor Estufita le ofrece las siguientes opciones:

a) Placa con una emisividad constante, e igual a 0,4, en toda longitud de onda.

b) Placa de vidrio con emisividad variable, primero tiene emisividad de 0,3 entre las longitudes de onda 0a 3,5 [µm], para luego pasar a emisividad igual a 0,6 en adelante.

c) La ultima opcion es una placa multifuncional mas moderna, que posee 5 saltos de emisividad, tieneemisividad 0 entre 0 y 2 [µm], aumentando uniformemente en 0,2 en intervalos del mismo ancho, hastallegar a emisividad 0,8 entre los intervalos de longitud de onda 8 a 10 [µm], y vale 0 en adelante.

Para ser mas certero en la eleccion de la placa mas adecuada, se deberan realizar los graficos de emisividadde las tres placas en cuestion.

Problema 2: Intercambiadores de calor (80%)

Es sabido que para obtener energıa termica funcional (vapor), la mejor opcion es la utilizacion de unacaldera, sea del tipo que sea. Aunque estas tienen un bajo rendimiento termico, por las perdidas en elescape. Para aumentar el rendimiento global de la caldera y aprovechar los gases de escape, se agregan doscomponentes muy utilizados en la industria, un economizador y un pre calentador de aire. Ambos aditamentosson intercambiadores de calor; el primero es para pre calentar el agua de alimentacion en la caldera, y elsegundo pre calienta el aire de combustion.

Sabiendo esto, se le solicita a usted, como flamante alumno del ramo ”Transferencia de calor” que diseneestos dos intercambiadores, para ello se tendran las siguientes restricciones:

• Los gases pasaran primero por el economizador y luego por el pre calentador.

• Usted es libre de elegir el tipo de intercambiador que desee.

• Las limitaciones de temperatura son:

Se considera la temperatura de salida de los gases, despues de pre calentar el aire.

1

Gases entrada Gases salida Agua entrada Aire entrada Aire salidaTemperatura [◦C] 500 > 120 20 25 60

• Los intercambiadores deben ser lo MAS COMPACTO POSIBLE.

• La temperatura de los gases a la salida del economizador es la misma que a la entrada del pre calentador.

Usted debera realizar lo siguiente:

a) Para entender mejor el funcionamiento de estos aditamentos, investigue y resuma de forma breve sufuncionamiento, solo visto desde el punto de vista de intercambio de calor.

b) Calcule los coeficientes de intercambio global de ambos intercambiadores, sabiendo el coeficiente detransferencia de calor por conveccion de los gases de escape es constante en todo el trayecto e igual a3000 [W/m2◦C]. Puede considerar despreciable el espesor de los intercambiadores.

c) Elija la mejor configuracion posible para ambos intercambiadores con las condiciones dadas. Recuerdeque las condiciones del aire estan fijas y dadas, su mision sera optimizar el calor de los gases de escape.Para que el agua tenga un salto de temperatura lo mayor posible, esta debe mantenerse siempre en faselıquida.

d) Es libre de utilizar el metodo de calculo que usted desee, pero es recomendable que utilice ambos (TempLogy NUT), para corroborar sus calculos y ası evitar errores.

HINT: Para el calculo de los coeficientes de transferencia de calor por conveccion del agua y el aire, considereque los fluidos viajan por un tubo cilındrico largo, el diametro del tubo sera dado por usted, cuando diseneel intercambiador.

Datos: flujo masico del agua 25 [kg/s] ,flujo masico del aire 18 [kg/s], flujo masico gases de escape 20[kg/s], calor especıfico de los gases (considerelo constante) 1150 [J/kg◦C].

Solucion

1 Radiacion

a) La placa tiene una emisividad constante ε = 0, 4 [−]. El grafico de la emisividad anterior en funcion dela longitud de onda se observa en la siguiente figura:

Figura 1: Grafico de distribucion de emisividades a diferentes longitudes de ondas para la placa 1.

2

Para determinar la maxima energıa que puede emitir esta placa, se utiliza la formula de Stefan-Boltzmann:

Eb(T ) = σT 4 (1)

donde σ es la constante de Steffan-Boltzmann y es igual a 5, 67 ∗ 10−8 [W/m2K4], y Eb es el poder deemision de un cuerpo negro y es igual a E(T )/ε, con ε la emisividad hemisferica total o promedio.

Para desarrollar este problema, se supondra que todas las placas se comportaran como un cuerpo grisy difuso, ademas de que existe regimen estacionario.

Aplicando la ecuacion (1) a la placa de vidrio, se tiene que:

Eplaca1 = 542, 71 [W

m2]

b) El grafico de la emisividad para esta placa se muestra a continuacion:

Figura 2: Grafico de distribucion de emisividades a diferentes longitudes de ondas para la placa 2.

Si se utiliza la tabla 12-2 del libro guıa (ver ref. [1]) para determinar las funciones de radiacion decuerpo negro fλ, se obtiene la siguiente tabla:

λ [nm] λT [nmK] fλ0 - 0

3,5 1376,55 0,007126∞ - 1

Tabla 1: Funcion de radiacion para la placa 2.

Luego, para determinar la fraccion de energıa de radiacion emitida por un cuerpo negro a la temperaturaT sobre una banda de longitudes de ondas λ = {λ1, λ2}, se aplica la ecuacion siguiente:

fλ1→λ2(T ) = fλ2 − fλ1 (2)

Para poder determinar la emisividad promedio de esta placa, se debe emplear la siguiente ecuacionpara los distintos rangos de λ:

ε(T ) = ε1fλ0→λ1(T ) + ε2fλ1→λ2(T ) + ε3fλ2→λ∞(T ) (3)

3

Tomando los datos entregados, ademas de los mostrados en la tabla 1, y aplicados en la ecuacion (3),se tiene:

ε = 0, 5978 [−]

Por ultimo, aplicando la ecuacion (1) a esta placa, el poder de emision estara dado por:

Eplaca2 = 811, 083 [W

m2]

c) Para el caso de la ultima placa, se muestra el grafico de su emisividad en funcion de la longitud de ondaλ:

Figura 3: Grafico de distribucion de emisividades a diferentes longitudes de ondas para la placa 3.

Al igual que en el caso anterior, se determinan las funciones de radiacion de cuerpo negro fλ y se obtienela siguiente tabla:

λ [nm] λT [nmK] fλ [−]0 - 02 786,6 0,0000154 1573,2 0,0181016 2359,8 0,1322008 3146,4 0,30551110 3933,0 0,467811∞ - 1

Tabla 2: Funcion de radiacion para la placa 3.

Empleando estos datos en la ecuacion (3), se tiene que la emisividad promedio es:

ε = 0, 2730 [−]

Finalmente, aplicando la ecuacion (1) a esta placa, el poder de emision estara dado por:

4

Eplaca2 = 370, 400 [W

m2]

Teniendo todos los resultados anteriores, se observa que la placa de vidrio que presenta un mayor poderde emision, es la segunda.

2 Intercambiadores de calor

a) Estos dos aditamentos son unidades de recuperacion de calor de la caldera y mejoran la eficiencia deesta aprovechando el calor sensible de los gases de escape. El economizador, dispuesto a la salida dela chimenea, es un intercambiador que cede calor de los gases de escape al agua de alimentacion dela caldera, haciendo que dicha agua entre a una temperatura mayor y con esto, que se produzca laevaporacion en menor tiempo.

El precalentador de aire, tambien como lo hace el economizador, aprovecha el calor de los gases desalida de la caldera para calentar el aire que se usara para la combustion en la caldera. Al transferircalor hacia el aire, este eleva su temperatura y produce una combustion mucho mas eficiente, en dondese reduce el gasto de combustible.

b) y c) Metodo NTU

Precalentador

Para calcular los coeficientes de intercambio global de ambos intercambiadores, primero se parteanalizando el precalentador. Se sabe que la temperatura promedio del aire es Tprom = (60+25)/2 = 42, 5[◦C], y se encuentra a presion atmosferica, por lo que sus propiedades termofısicas se pueden obtenera traves de la tabla de aire (A-15) de la referencia [1]. Lo datos conocidos se muestran en la tabla 3.

Aire Gases de escapem [Kg/s] 18 20cp [J/kgK] 1007 1150Tent [◦C] 25 -Tsal [◦C] 60 > 120ρ [Kg/m3] 1, 118 -Pr [−] 0, 7248 -ν [m2/s] 1, 726 ∗ 10−5 -k [W/mK] 0, 0268 -

h [W/m2◦C] - 3000

Tabla 3: Propiedades constantes de los gases de escape y del aire para el precalentador.

Al realizar un equilibrio de energıa a este intercambiador, se tiene lo siguiente:

Qin = Qout (4)

donde Qin es el calor absorbido por el tubo que contiene el aire a calentar y Qout representa el calorcedido por el tubo con el gas de escape.

5

Si se desarrolla la ecuacion anterior, se obtiene lo siguiente:

mhcph(Th,ent − Th,sal) = mccpc(Tc,sal − Tc,ent) (5)

donde los subındices h y c representan el fluido mas caliente y mas frıo, respectivamente. Ademas, mrepresenta el flujo masico, cp, el calor especıfico y Tent y Tsal las temperaturas de entrada y salida delintercambiador, respectivamente.

Si se reemplazan los valores de la tabla 3 en la ecuacion anterior, y ademas se trabaja con el caso lımitepara la temperatura de salida de los gases, i.e., Tsal = 120 [◦C], que serıa el caso en donde mas seaprovecha el calor de los gases de escape, entonces se tiene:

Th,ent = 147, 6 [◦C]

Ademas, resolviendo cualquiera de los lados de la ecuacion, se puede obtener el calor que se transfiereen el intercambiador, resultando ser:

Q = 634, 41 [KW ]

Posteriormente, se procede a aplicar el metodo NTU, cuya principal formula es:

NTU =UAsCmin

(6)

Para esto, primero se calcula la razon de capacidad calorıfica de ambos fluidos, mediante la ecuacion:

C = mcp (7)

obteniendoseCgas = mgascpgas

= 23000 [W/◦C] = Cmax

yCaire = mairecpaire = 18126 [W/◦C] = Cmin

De lo anterior, se puede calcular la relacion de capacidades calorıficas definida como la razon entreCmin y Cmax, cuyo resultado es:

c = 0, 78 [−]

Finalmente, se puede calcular la maxima diferencia de temperaturas entre las entradas y salidas delintercambiador, la cual es entre Tgas−sal = 147, 6 [◦C] y Taire−ent = 25 [◦C], resultando ser ∆Tmax =122, 6 [◦C].

Con todo esto, es posible calcular el calor maximo de este intercambiador, definido como:

Qmax = ∆TmaxCmin (8)

Aplicado al precalentador, el calor maximo posible es Qmax = 222, 476 [kW ]. Con esto se puede calcularla efectividad:

ε =Q

Qmax(9)

6

que para este caso es ε = 28, 54%. Luego, se procede a encontrar el valor de NTU, el cual se consiguea partir de la tabla 11-5 del libro guıa (ver referencia [1]), y para un intercambiador de tubos y coraza(un paso por la coraza y 2,4,6... pasos por los tubos) tiene la siguiente forma:

NTU =−1√1 + c2

ln

(2/ε− 1− c−

√1 + c2

2/ε− 1− c+√

1 + c2

)(10)

EL resultado de lo anterior es NTU = 0, 390. Por lo tanto, la ecuacion (6) queda:

UAs = 7069, 14 [W/◦C]

Cabe mencionar que este intercambiador posee un area superficial As = πLφn, siendo n el numero depasos por los tubos.

Por otra parte, se procede a calcular el coeficiente de conveccion h del aire. Para esto, primero se debecalcular la velocidad del flujo de aire al interior del intercambiador, mediante la ecuacion siguiente:

v =m

ρAt=

m

ρπφ2/4(11)

Con esto, es posible calcular el regimen de este flujo por medio del numero de Reynolds:

Re =vφ

ν=

4m

ρπφν(12)

Que para este caso es Re = 1,1876∗106

φ , el cual es turbulento siempre y cuando el diametro φ sea menor

a 118, 76 [m], lo cual serıa bastante alejado de la realidad. Teniendo el tipo de regimen, es posiblecalcular el numero de Nusselt para este flujo de conveccion interna forzada por medio de la ecuacionde Colburn para calentamiento:

Nu = 0, 027Re0,8Pr0,4 (13)

Por otro lado, tambien se sabe que Nu = hLc

k , con Lc el largo caracterıstico correspondiente aldiametro del tubo. Si se igualan las expresiones anteriores para despejar el coeficiente de conveccion yreemplazando los terminos correspondientes, entonces se tiene que:

haire =39, 236

φ1,8

Finalmente, si se supone que los espesores de los tubos del intercambiador de calor son lo suficientementepequenos como para despreciarlos (por lo que se tambien se supone que no existe incrustacion), se puedeobtener el coeficiente total de transferencia de calor por medio de la siguiente ecuacion:

1

U=

1

hi+

1

ho(14)

7

donde hi y ho representan los coeficientes de calor de los fluidos externos e internos al tubo interior delprecalentador. Si se remplazan los valores anteriores en la ecuacion (14), se tiene que:

U =

3000∗39,237φ1,8

3000 + 39,236φ1,8

Si se reemplaza este valor en la ecuacion (6), es posible obtener una funcion f(φ,L):

L =NTU ∗ Cmin

Uπφn

Para encontrar un largo apropiado, se muestra la siguiente tabla generada a partir de distintos diametrosφ y distintos pasos n por los tubos:

Largo L [m]Diametro φ [m] n = 2 n = 4 n = 6 n = 8

0,05 10,120 5,060 3,373 2,5300,10 8,303 4,151 2,768 2,0760,15 8,794 4,397 2,931 2,1990,20 9,797 4,898 3,266 2,4490,25 10,969 5,485 3,656 2,7420,30 12,206 6,103 4,069 3,0510,35 13,465 6,732 4,488 3,3660,40 14,728 7,364 4,909 3,6820,45 15,986 7,993 5,329 3,9970,50 17,235 8,618 5,745 4,309

Tabla 4: Largo de los tubos del intercambiador para distintos diametros y numeros de pasos.

Si se toma un diametro φ = 10 [cm], entonces el coeficiente total de intercambio de calor es U = 1356, 35[W/m2◦C]. Para elegir un intercambiador compacto, entonces se escogera la mayor cantidad de pasos,lo que aumentara el ancho del intercambiador, pero disminuira su largo, por esto es que se encuentraapropiado escoger un n = 8, por lo que el precalentador tendrıa alrededor de 2 [m] de largo.

Economizador

Para el caso del economizador, se procede de la misma manera. Primero se tabulan los datos conocidos:

Agua Gases de escapem [Kg/s] 25 20cp [J/kgK] - 1150Tent [◦C] 20 500Tsal [◦C] < 100 147, 6

h [W/m2◦C] - 3000

Tabla 5: Propiedades de los gases de escape y del agua para el economizador.

A partir del reemplazo de los valores anteriores en el balance de energıa mostrado en la ecuacion (5),se tiene que la temperatura de salida del agua es Tagua−sal = 97, 47 [◦C]. Con esto, es posible calcular

la tasa de transferencia de calor del intercambiador, el cual resulta ser Q = 8105, 2 [kW ].

8

A partir del metodo NTU (ecuacion (6)), es posible obtener el valor del coeficiente total de intercambiode calor.

Primero se calculan las razones de capacidades calorıficas mediante la ecuacion (7), ademas de la razonc entre el Cmin y el Cmax:

Cgas = mhcph = 23000 [W/◦C] = Cmin

Cagua = mccpc = 104625 [W/◦C] = Cmax

yc = 0, 2198 [−]

Se tiene tambien que la diferencia maxima de temperatura para el economizador esta dada por Tgas−ent =500 [◦C] y Tagua−ent = 20 [◦C], obteniendose un ∆Tmax = 480 [◦C]. Con todo lo anterior, es posible

calcular el Qmax y la efectividad del intercambiador:

Qmax = 11040 [kW ]

yε = 0, 7342 [−]

Posteriormente, se calcula el valor de NTU por medio de la ecuacion (10), obteniendo NTU =1, 6219 [−]. Aplicando este resultado y el valor de Cmin, la ecuacion (6) queda:

UAs = 37467 [W/◦C]

Para calcular el coeficiente de conveccion del aire, primero se calculan las propiedades del agua a latemperatura promedio Tprom = (97, 469− 20)/2 = 58, 73 [◦C], a partir de la tabla A-9 de la referencia[1]:

Agua @ 58,73 [◦C]ρ [Kg/m3] 983, 78cp [J/kgK] 4184Pr [−] 3, 05ν [m2/s] 4, 8425 ∗ 10−7

k [W/mK] 0, 6527

Tabla 6: Propiedades termofısicas constantes del agua a una temperatura promedio Tprom = 58, 73 [◦C].

Luego, se procede a calcular la velocidad del flujo de agua por medio de la ecuacion (11), la cual seintroduce al interior de la ecuacion de Reynolds (12), teniendo lo siguiente:

Re =6, 68163 ∗ 104

φ

que sera turbulento para diametros menores a 6, 68163 [m].

Con esto, se calcula el coeficiente de conveccion h por medio de la ecuacion de Colburn para calentamiento(13). Si se utiliza la definicion del numero de Nusselt Nu = hφ

k en la ecuacion anterior, reemplazandolo que corresponda, se tiene:

9

hagua =169, 85

φ1,8

Si se asume, al igual que como se hizo con el precalentador, que los espesores de los tubos delintercambiador de calor son despreciables, se puede utilizar la ecuacion (14) para obtener el coeficientetotal de intercambio de calor:

U =

3000∗169,85φ1,8

3000 + 169,85φ1,8

Si se reemplaza este valor en la ecuacion que rige el metodo NTU (6), se obtiene la misma funcion quepara el precalentador:

L =NTU ∗ Cmin

Uπφn

Se genera la siguiente tabla a partir de distintos diametros φ y distintos pasos n por los tubos:

Largo L [m]Diametro φ [m] n = 2 n = 4 n = 6 n = 8

0,05 42,763 21,382 14,254 10,6910,10 25,331 12,665 8,444 6,3330,15 20,857 10,428 6,952 5,2140,20 19,541 9,771 6,514 4,8850,25 19,447 9,724 6,482 4,8620,30 19,939 9,969 6,646 4,9850,35 20,747 10,374 6,916 5,1870,40 21,742 10,871 7,247 5,4360,45 22,852 11,426 7,617 5,7130,50 24,035 12,017 8,012 6,009

Tabla 7: Largo de los tubos del economizador para distintos diametros y numeros de pasos.

En este caso, al existir una mayor transferencia de energıa en el economizador, entonces se dispondrade un intercambiador de mayor volumen para poder cumplir los requerimientos. Tomando la logicaque se utilizo para el intercambiador anterior, por lo que se escogera un diametro de 20 [cm], loque entregara un coeficiente de intercambio total U = 1519, 15 [W/m2◦C]. Para obtener un largocompacto dentro de las posibilidades mostradas, se utilizara un intercambiador tal que tenga 8 pasospor los tubos, lo que entregara un largo L = 4, 885 [m]. Cabe mencionar, que a mayor cantidad depasos por los tubos, entonces el largo del intercambiador disminuira, pero a su vez se incrementarael ancho del economizador para poder albergar la cantidad de tubos necesarios para cumplir con losrequisitos. Otro factor importante a mencionar es siempre la mejor optimizacion de los recursos yespacios disponibles, por lo que la eleccion quedarıa sujeta a modificaciones de acuerdo a los materialesa utilizar y dimensiones en donde serıan colocados dichos intercambiadores.

d) Metodo LMTD

Precalentador

El metodo de Temperatura media logarıtmica (LMTD) esta gobernada por la siguiente ecuacion:

10

Q = UAs∆Tml (15)

donde ∆Tml = ∆T1−∆T2

ln∆T1∆T2

es la diferencia de temperatura media logarıtmica para flujo paralelo, con

∆T1 = Thent− Tcent

y ∆T2 = Thsal− Tcsal

.

Los datos del apartado anterior se muestran en la siguiente tabla:

Aire Gases de escape Agua

Economizador Q = 634, 41 [kW ]- Thent = 500 [◦C] Tcent = 20 [◦C]- Thsal

= 147, 6 [◦C] Tcsal= 97, 469 [◦C]

Precalentador Q = 8105, 2 [kW ]Tcent = 25 [◦C] Thent = 147, 6 [◦C] -Tcsal

= 60 [◦C] Thsal= 120 [◦C] -

Tabla 8: Temperaturas de entrada y salida de todos los fluidos en ambos intercambiadores, ası como su calor transferido.

Ademas, como se esta trabajando con un intercambiador de tubos y coraza que posee multiples pasos,se debe utilizar la formula corregida para LMTD :

Q = FUAs∆Tml,CF (16)

donde F el factor de correccion que depende de la configuracion utilizada, y ∆Tml,CF es la diferenciade temperatura media logarıtmica en contraflujo, que se define igual que la anterior (flujo paralelo),pero con ∆T1 = Thent − Tcsal

y ∆T2 = Thsal− Tcent .

Para encontrar el factor de correccion de este intercambiador de tubos y coraza, se debe buscar en elgrafico mostrado en la figura 11-18a del libro guıa (ref. [1]) para los valores de P y R, los cuales serigen por las formulas siguientes:

P =t2 − t1T1 − t1

, R =T1 − T2

t2 − t1(17)

donde T1 y t1 son las temperaturas de entrada del lado de la coraza y del lado del tubo, respectivamente,ası como T2 y t2, las de salida.

Con los valores mostrados en la tabla 8, se tiene que P = 0, 28 [−] y R = 0, 78 [−], lo que entrega unfactor de correccion F = 1 [−].

Si se aplica la ecuacion (16) al precalentador, se obtiene:

UAs = 6952, 44 [W/◦C]

Economizador

Para el caso del economizador, se procede de la misma forma. Aplicando la ecuacion (16) con los valoresmostrados en la tabla 8, ademas del factor de correccion aproximado F = 0, 95 [−] obtenido a partirde P = 0, 16 [−] y R = 4, 5 [−], se obtiene la siguiente ecuacion:

UAs = 35653, 10 [W/◦C]

11

Si se comparan estos valores con los obtenidos con el metodo NTU, se puede observar que el errorrelativo para el caso del precalentador es ε = 1, 65%, mientras que para el economizador es ε = 4, 8%.Se puede notar que existe una diferencia un poco mayor para el caso del economizador, lo que implica,a pesar de que transferencia de calor es mucho mayor que en el caso del precalentador, que existe unaprecision muy proxima entre ambos metodos, siendo igualmente validos para este caso.

Bibliografıa

[1] Cengel Y., Boles M., Heat and Mass Transfer - Fundamentals and Applications., International EditionPub Co., 4th edition, 2006.

[2] Gaffert G. A., Centrales de vapor, Editorial Reverte, 2nd edition, 1980.

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