Ecuaciones diferenciales con Matlab

Tarea 2

14 de septiembre de 2015

1. campo de pendientes

1.1. Ejemplo. Consideremos por ejemplo la ecuación

y′ = f(x, y) = y2 − x

Para dibujar el campo de pendientes (sólo en unos pocos puntos del plano), escogemos unos cuantos

puntos, y calculamos en cada uno de ellos el valor de f . Este número será la pendiente de la recta tangente a

la curva solución que pasa por dichos puntos. Por ejemplo, la pendiente de la tangente a la curva solución en

el punto (1, 1)es f(1, 1) = 1−1 = 0. Dibujamos, entonces, en el punto (1, 1) una pequeña recta de pendiente

0. Podemos hacer lo mismo con otros puntos y podemos colocar todos los valores obtenido en una tabla.

Por ejemplo:

(x, y) f(x, y) (x, y) f(x, y)

(−1, 1) 2 (0,−1) 1

(−1, 0) 1 (1, 1) 0

(−1,−1) 2 (1, 0) −1

(0, 1) 1 (1,−1) 0

(0, 0) 0

En cada uno de esos puntos dibujamos pequeños segmentos, centrados en dichos puntos, con la pendiente

dada por el valor de f en ese punto.

En MatLab

[x y]=meshgrid(-1:1,-1:1)

slope = y.^2-x;

quiver(x,y,ones(size(x)),slope)

grid on

1

Campo de pendientes de la ecuación y′ = y2 − x correspondiente a los nueve puntos de la tabla. No son

puntos su�cientes como para tener una idea de cómo son las grá�cas de las soluciones.

Usando varios puntos, con MatLab obtenemos:

clf

[x y]= meshgrid(-1.5:0.2:1.5,-2:0.2:2);

slope = y.^2-x;

quiver(x,y,ones(size(x)),slope)

grid on

1.2. Ejercicios.

1.2.1. Utilizando MatLab gra�car el campo de pendientes de las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. dydx = −y − sinx

2. dydx = x− y

3. dydx = y − x+ 1

4. dydx = x− y + 1

5. dydx = sinx+ sin y

6. dydx = x2 − y

7. dydx = x2 − y − 2

8. dydx = −x2 + sin y

9. y′ = sin(x− y)

10. x2y′ + y2 = 0

2. métodos numéricos

2.1. Ejemplo.

1. Hallar la solución exacta de la ecuación diferencial y′ = −y + x+ 1

Solución:

Desde la ventana de comando, digitar:

>�>dsolve('Dy=-y+x+1')

2. Aproximar la solución de la ecuación diferencial y′ = −y + x + 1 utilizando el método de Euler,

considere valor inicial y0 = 1y h = 0,1

Solución:

Primero: Crear la función euler

Luego, crear un script (Archivo M-File)

Luego ejecutar (RUN)

2.2. Ejercicios. Utlizando MatLab encuentre la solución exacta , luego con el método de euler aproximar

las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales. Finalmente gra�car la solución exacta y la solución

aproximada en una sola ventana.

1. y′ = −y, y(0) = 2

2. y′ = 2y, y(0) = 12

3. y′ = y + 1, y(0) = 1

4. y′ = x− y, y(0) = 1

5. y′ = y − x− 1, y(0) = 1

6. y′ = −2xy, y(0) = 2

7. y′ = −3x2y, y(0) = 3

8. y′ = e−y, y(0) = 0

9. y′ = 14

(1 + y2

), y(0) = 1

10. y′ = 2xy2, y(0) = 1