7/25/2019 Tarea Sobre Lagrange y Taylor

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Polinomio de lagrange, Taylor

Escuela: Ingeniera Civil

POLINOMIO DE LAGRANGE

1. Determine en los siguientes casos, el polinomio interpolador de Lagrange paraaproximar la funcion f(x) =x3.

a) El polinomio lineal P1(x) para los nodos x0 = 1 yx1 = 0.

b) El polinomio cuadratico P2(x) para los nodos x0 = 1, x1 = 0 y x2 = 1.

c) El polinomio cubico P3(x) para los nodos x0 = 1, x1= 0, x2 = 1 y x3= 2.

d) El polinomio lineal Q1(x) para los nodos x0 = 1 y x1= 2.

e) El polinomio cuadratico Q2(x) para los nodos xo = 0, x1= 1 yx2= 2.

2. Seaf(x) =x+

2

x

Use el polinomio interpolador de Lagrange cuadratico con nodos

xo= 1, x1 = 2 y x2 = 2,5

para aproximarf(1,5) y f(1,2).

3. Escriba para las siguientes funcionesf(x) el termino del errorE3(x) del polinomiointerpolador de Lagrange cubico con nodos

xo = 1, x1 = 0, x2= 3 yx3= 4

a) f(x) = 4x3 3x+ 2

b) f(x) =x4 2x3

c) f(x) =x5 5x4

4. Sea f(x) =xx.

a) Determine el polinomio interpolador de lagrange cuadratico P2(x) para los no-dos

x0 = 1, x1= 1,25 y x2= 1,5

b) Use el polinomio calculado en el item a) para estimar el valor medio de f(x)en el intervalo [1;1.5].Nota:Si

g: [a, b] R

es integrable, se define el valor medio de g(x) en [a; b] como

g(x) =

ba

g(x)dx

b a

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(e) Hallar el polinomio de TaylorP5(x) de f(x) alrededor de x0=/4,en el cualaparecen potencias de (x /4).

10. Dada la funcionf(x) = 1/(1 +x)

(a) Hallar el polinomio de TaylorP5(x) de f(x) alrededor de x0= 0

(b) Hallar el termino de error E5(x) para el polinomio obtenido en el item a)

11. Tienef(x) = x1/2 desarrollo en serie de Taylor alrededor de x0 = 0?. Justifiquesu respuesta. Y alrededor de x0 = 1 ?.Justifique su respuesta.

12. Dadaf(x) =x3 2x2 + 2x

(a) Hallar el polinomio de TaylorP3(x) def(x) de grado n=3 alrededor de x0= 1.

(b) Halle el termino del errorE3(x) del polinomio encontrado en el item a). Pruebeque f(x) =P3(x).

13. Dada la funcion f(x) = ln(1 +x)

(a) Demuestre que f(k)(x) = (1)k1(k1)!(1+x)k

(b) Demuestre que el polinomio de Taylor Pn(x) de grado n alrededor de x0 = 0es

Pn(x) =x x2

2 +

x3

3

x4

4 + +

(1)n1xn

n

(c) Pruebe que el termino del error de Pn(x) es

En(x) = (1)nxn+1

(n+ 1)(1 +c)n+1

(d) Evalue P3(0,5), P6(0,5) yP9(0,5) y compare estos valores con ln(1,5).

(e) Demuestre que si 0 x 0,5 entonces la aproximacion

ln(x) x x2

2 +

x3

3 +

x7

7

x8

8 +

x9

9

tiene como cota de error |E9(x)| 0,00009765...

14. Dada la funcionf(x) = (2 +x)1/2

(a) Hallar el polinomio de TaylorP3(x) de f(x) alrededor de x0= 2.

(b) Use P3(x) para hallar una aproximacion a 31/2.

(c) Hallar el maximo valor de |f(4)(x)| sobre el intervalo 1 x 3 y encuentreuna cota para |E3(x)|

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15. Determine el grado del polinomio de TaylorPn(x), desarrollado alrededor de x0=0,que habra que usar para aproximare0,1 con un error menor que 106.

16. Determine el grado del polinomio de TaylorPn(x), desarrollado alrededor de x0=, que habra que usar para aproximar cos(33/32) con un error menor que 106.

17. En los siguientes casos, hallar R tal que |E4(x)|