Integración por partes.

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u. Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Integración mediante fracciones parciales.

Es común, que en ocasiones encontremos la integración de una fracción de polinomios en el que el grado del denominador es mayor que el del numerador, lo cual no es un resultado que pueda obtenerse de manera inmediata. En el caso contrario, basta con hacer la división entre polinomios que no necesariamente es fácil pero que conduce a generar una función racional entera. La integración de este tipo de expresiones diferencial a menudo requiere obtener fracciones racionales más simples para su integración.

Teorema:La integral de toda función racional en la que el denominador se puede descomponer en factores reales de primero y segundo grado puede solucionarse una vez que la función racional se expresa en sumas y restas de funciones elementales.

Primer caso. Todos los factores del denominador son de primer grado. Si no se repiten los factores la descomposición en fracciones parciales es de la forma: 

…en el caso que uno de los factores se repita n veces tendremos que desarrollar para ese caso una descomposición de la siguiente forma:

   

Segundo caso. El denominador tiene factores de segundo grado. De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, si los factores son de la forma y además no se repiten, a todo factor corresponderá una fracción parcial de la forma:

 

Integrales trigonométricas.

Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes.

En lo general se deben aplicar las siguientes sugerencias:

1. Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.

2. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.

3. Reducir una fracción impropia.

4. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.

5. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).

6. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).

Es necesario tener siempre a la mano una tabla de identidades trigonométricas y sustituyendo adecuadamente, llegarás a las “fórmulas básicas”.

Potencias pares de sen x o cos x:

Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad:

Integrales impropias.Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.

Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua x a. Si existe f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:

f (x) dx = f (x) dx

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ).

De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.

Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe

f (x) dx, definimos:

f (x) dx = f (x) dx

Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.

Definiciones.

Área entre curvas. Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones y , las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las gráficas están sobre el eje x y la gráfica esta debajo de la gráfica , se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas, es decir restar el área de la función al área de la función , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos. 

Solido de revolución. Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Valor promedio de una función. Si se tuvieran los valores de una función entonces su valor promedio se encontraría, sumando todos los valores y dividiendo dentro de , ahora para una función continua

en un intervalo cerrado puede existir un número infinito de valores para considerar.

El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma.