Tarea IVMecanica clasica (2020)

Profesor: Marcel G. Clerc

Auxiliar: David Pinto & Roberto Gajardo

Las tareas son personales y se entregan el lunes, respectivo.

1- Partıcula relativista: Considere una partıculaque se mueve a gran velocidad—partıcula relativista—la cual es descrita por el siguiente lagrangeano

L = −mc

√√√√c2 −3∑

i=1

xixi − U(xi),

donde c es la velocidad de la luz, m y xi es la masay coordenadas de la partıcula. U(xi) da cuenta de unpotencial ejercido sobre la partıcula.

1-a Encuentre las ecuaciones de movimiento que des-criben a este sistema e interprete.

1-b Que forma tendrıa el lagrangeano si la velocidades pequena comparada con la de la luz.

1-c Encuentre las cantidades conservadas o demovimiento del sistema sistema e interprete a que sime-trias estan relacionadas.

1-d Si U(xi) = kxixi/2 es un potencial armonico, car-acterice el espacio de fase si la partıcula se mueve en unespacio bidimensional (i = {1, 2}).

2) Trompo con pua Fija: Considere un tromposimetrico de masa M , momentos de inercia I1 = I2 = I,I3 con respecto a los ejes principales. El centro de Masase ubica a una distancia l de la pua (ver figura 1), la cuales representada por el punto O. En el Caso que la puaeste fija

2-a ¿Cual es la velocidad angular del trompo?

g

0

FIG. 1. Trompo de pua fija. La pua esta representada por elpunto 0.

2-b ¿Cual es la accion que describe a este sistema?

2-c Encuentre las cantidades conservadas de este sis-tema e interprete a que simetrias infinitesimales estanrelacionadas estas cantidades conservadas.

2-d Determine la ecuacion de movimiento y caractericecualitativamente la dinamica del trompo.

3-Forzamiento: Una partıcula de masa m unidimen-sional sometida a un potencial externo h(t) esta descritapor el Lagrangeano

L =m

2x2 + xh(t),

3-a Encuentre una transformacion no trivial que dejainvariante este Lagranjeano en el sentido de Noether.

3-b Calcule e interprete las cantidades conservadas.

4) Unicidad de lagangeanos: Mediante varia-ciones muestre que si considera un lagrangeano mas unaderivada total, que tiene la forma

L’(~q, ~q) = L(~q, ~q) +df(~q, ~q)

dt,

las ecuaciones de Euler-lagrange obtenida por cada la-grangeano son las mismas.

Escriba tres lagrangeanos diferentes (no triviales) quedescriben un pendulo esferico.