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Cálculo diferencial Límites y continuidad
Actividad 2. Límites de funciones
Instrucciones: Resuelve los siguientes los siguientes ejercicios:
1. Resolver .
2. Resolver .
3. Resolver .
4. Resolver .
5. Demostrar por medio de la definición que .
6. Definir y .
7. Sea , demostrar que si es par, entonces y que si es impar
entonces no existe.
8. Supóngase que , demostrar que existen y tales que
, si .
9. Demostrar que si y sólo si .
10. Demostrar por definición que .
Actividad 3. Continuidad de funciones
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Dada la función hallar el valores de y de tal forma que
es continua en y .
Cálculo diferencial Límites y continuidad
2. Dada la función continua en . ¿Qué valor debe tomar
para que la función sea continua en ?
3. Demostrar que es continua en si y sólo si .
4. Dada la función , demostrar que existe tal que .
5. Demostrar que la raíz cuadrada de un número real positivo existe.
6. Sea una función definida en todos los números reales tal que
. Demostrar que es continua en .
Instrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades.
1. Calcular .
a)
b)
c)d) No existe
2. Sean y , calcular .
a)
b)c) No existe
d)
Cálculo diferencial Límites y continuidad
3. Calcular .
a)
b)
c)
d)
4. Dada la función
Hallar los todos los valores que puede tomar para que la función sea continua en dicho valor.
a)
b)
c)
d)
5. Dada la función
Hallar los todos los valores que puede tomar para que la función sea continua
en .a)
b)
c)
d)
Resolver los siguientes ejercicios:
Cálculo diferencial Límites y continuidad1. Dada una función sobreyectiva tal que es continua en ,
demostrar que existe tal que .
2. Dada la función mostrar que es continua en .
3. Muestre que la función es discontinua en todo .
4. Calcular .
5. Discutir la continuidad de la función .
Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las funciones o demostrando las expresiones que mencionan.
1. Calcula las siguientes derivadas:
a. .
b. .
c. .
d. .
e. .
2. Demuestre dados se tiene que:
.
3. Demuestre que dados con y se tiene que:
.4. Calcular los siguientes límites:
Cálculo diferencial Límites y continuidad
a. .
b. .
5. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor
que satisface .
6. Demuestre que para cuales quiera se cumple:
.
7. Dada la función definida en hallar que satisface la
relación .8. Demostrar las siguientes identidades:
Para todo .
Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita
Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funciones presentadas.
1. Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que depende
de .
a. .
b. .
c. .2. Calcular las siguientes derivadas de orden superior:
a. .
b. .
Cálculo diferencial Límites y continuidad
c. .
3. Considerando la función demuestre que
(a) existe en .
(b) .
(c) .
4. Demostrar que .
5. Calcular .
6. Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio existe
tal que para todo .7. Dada la siguiente función:
Calcular y .
8. Demuestre que la función es invertible en y .
Instrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades.
6. Calcular .
e)
f)
g)
Cálculo diferencial Límites y continuidad
h)
7. Sean y , calcular .
a)
b)
c)d) No existe
8. Calcular para la función implícita definida por la relación .
a)
b)
c)
d)
9. Dada la función
Hallar valores de y para que la función sea derivable en .e)
f)g)
h)
10. Dada la función hallar el conjunto donde es creciente.
Cálculo diferencial Límites y continuidad
e)
f)
g)
h)
11. Calcular .i)
j)k)l)
Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Dada la función:
Muestre que . ¿Existe ?2. Considere la función:
Hallar el valor de y para que exista.
3. Supóngase que y que , ¿Cuál es el valor de ?
4. Muestre que la función con y son constantes satisface la relación:
.
Sean un conjunto finito de funciones derivables en , proponer una
fórmula para y demostrarla por inducción matemática.
Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva.
Cálculo diferencial Límites y continuidad
Resuelve los siguientes problema<sobre razón de cambio y tangente de una curva.
1. Un recipiente en forma de cono invertido de de altura y de radio está lleno con un líquido, este sufre una avería y el líquido comienza a fluir con una
velocidad de . ¿Con qué velocidad baja el líquido cuando ha descendido
de altura?
2. Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con
una velocidad de . ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de
?
3. Un niño juega con un papalote a que está a una altura de corriendo
horizontalmente con una velocidad de . Si hilo que sujeta el papalote esta
tenso, ¿a qué razón se afloja cuando la longitud del hilo suelto es de ?
4. Un helicóptero vuela hacia el norte con una velocidad de a una altura de
, en ese instante, el rayo de luz de un faro ubicado en la tierra señala la parte inferior del helicóptero. Si la luz de mantiene señalando al helicóptero, ¿con qué velocidad gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia
horizontal de al sur del faro?
5. Dada la función , hallar la ecuación de la recta tangente a dicha
función que es paralela a la recta normal que pasa por el punto .
6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el
punto .
7. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función en
el punto donde la recta tangente a dicha función en intersecta a la gráfica de misma función.
8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función que sean
que formen un ángulo de con respecto a la horizontal.
Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de máximos y mínimos, así como su representación gráfica de una función.
Cálculo diferencial Límites y continuidad
1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:
Hallar las dimensiones de dicho cilindro.
2. Dada la función y el punto hallar el punto sobre la gráfica
de que está más cerca de .
3. Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea máximo.
4. En un río de de ancho están ubicados dos puntos y uno frente a otro y
del mismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el
segmento es perpendicular a . Una compañía de energía eléctrica quiere
tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:
Si el costo por metro del cable bajo tierra es más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo?
5. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva .
6. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva .
7. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva
8. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva .
Cálculo diferencial Límites y continuidadInstrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades.
12. Se está formando una bola de nieve de tal manera en que la velocidad con la
incrementa su volumen es de . Cuando el diámetro de la bola es de , ¿con qué velocidad aumenta el radio?
i)
j)
k)
l)
13. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función implícita y que pasan
por el punto .
e)
f)
g)h) No existen rectas tangentes.
14. Hallar las dimensiones de un cono recto circular de volumen mínimo que pueda
inscribirse una esfera de de diámetro.
a) Altura del cono es y radio de la base es
b) Altura del cono es y radio de la base es
c) Altura del cono es y radio de la base es
d) Altura del cono es y radio de la base es
15. Hallar los puntos de inflexión de la función .i)
Cálculo diferencial Límites y continuidad
j)
k)
l)
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Un alambre de se corta para formar un cuadrado y un triángulo equilátero, ¿Cómo se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de área máxima?
2. Un incendio en un pastizal seco se propaga en forma circular con una velocidad de
. ¿Con qué velocidad crece el área quemada cuando el radio es igual a
?
3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes al círculo de tal manera
que ambas tangentes pasen por el punto .
4. Gráfica la siguiente curva .
RETROALIMENTACION
1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.
4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la unidad, sigue adelante.