PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO

INSTITUTO DE ESTADISTICAMAGISTER EN ESTADISTICA

EST 723: Inferencia EstadısticaTAREA: Estimadores Bayesianos

En tarea grupal, tiene como objetivo recoger los principales aprendizajes del tema deestimaciones bayesianos como una herramienta de estimadores puntuales para el problemade la inferencia parametrica.

1. Muestre que la distribucion de Pareto(a,b) es una familia conjugada para la distri-bucion Uniforme y encuentre el estimador de Bayes bajo perdida cuadratica.

Para esto considere:

SeaX = (x1, . . . , xn) muestra aleatoria que sigue una distribucion Uniforme(0, θ).

Considere que p(X | θ) ∼ U(0, θ)

Ademas, se tiene que θ ∼ Pareto(a, b)

Un esquema de prueba puede ser:

a) Exprese la forma de la distribucion conjunta de (X, θ).

b) Obtenga la densidad marginal de X.

c) Calcule la distribucion a posteriori para θ, esto es f(θ | x)

d) Concluya a partir de los resultados anteriores y la definicion de priori conjugada.

e) Deduzca la media a posteriori a partir de la familia a la que pertenece la dis-tribucion a posteriori obtenida anteriormente.

2. Suponga que X | θ ∼ Exp(θ) y utilice como priori para θ la priori no informativade Jeffreys. Obtener la distribucion a posteriori para θ y encontrar un estimador deBayes. ¿Que puede concluir?

3. Sean x1, . . . , xn una muestra aleatoria i.i.d. provenientes de una poblacion Poissonde parametro λ. Suponga ademas que π(λ) ∼ Gamma(α, β) que corresponde a lafamilia conjugada para la distribucion de Poisson.

a) Encuentre la distribucion a posteriori para λ.

b) Calcule la media a posteriori.