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I. Formulacin de problemas de programacin entera mixta y uso de variables binarias.

1.Una universidad se encuentra en un proceso de formar una comisin. Diez personas han sido nominadas:

Ana, Beatriz, Camila, Daniela, Elena, Felipe, Guillermo, Hernn, Ignacio y Jaime. El reglamento obliga a que sean

incluidos en dicha comisin al menos una mujer, un hombre, un estudiante, un administrativo y un profesor.

Adems, el nmero de mujeres debe ser igual que el de hombres y el nmero de profesores no debe de ser

inferior al de administrativos. Ana, Beatriz, Camila y Jaime son estudiantes, Elena y Felipe son administrativos y

Daniela, Guillermo, Hernn e Ignacio son profesores

Formule el problema usando programacin entera, de modo que cumpla con las restricciones y buscando que

la comisin sea lo ms reducida posible

2.Ford tiene cuatro plantas para fabricar automviles. En cada una es posible producir el Taurus, Lincoln o el

Escort, pero slo es posible fabricar uno de ellos. El costo fijo por operar cada planta por un ao y los costosvariables por producir un automvil de cada tipo se proporcionan:

PlantaCosto Fijo

(dlares)

Costo variable (dlares)

Taurus Lincoln Escort

1 7000 millones 12.000 16.000 9.000

2 6000 millones 15.000 18.000 11.000

3 4000 millones 17.000 19.000 12.000

4 2000 millones 19.000 22.000 14.000

Ford se enfrenta a las restricciones siguientes:

a) Se puede producir slo un tipo de automvil en cada planta.b) La produccin total de cada tipo de automvil tiene que ser en una sola planta; es decir, si se fabrican

algunos Taurus en la planta 1, entonces todos los Taurus se tienen que hacer ah.

c) Si se usan las plantas 3 y 4, la planta 1 se debe utilizar tambin.Ford tiene que producir todos los aos 500.000 unidades de cada tipo de automvil. Formule un Problema de

programacin Entera cuya solucin le indique a Ford cmo minimizar el costo anual en la produccin de

automviles.

3.Una minera explota dos minas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se enva a una de dos

instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se manda a las plantas de acero de la compaa; la

compaa no puede sobrepasar las 80 ton de material almacenado. El siguiente diagrama describe la red de

distribucin, donde M1, M2 y M3 son las dos minas, S1, S2 y S3, los dos almacenes y P1, P2, P3 son las plantas

procesamiento del mineral. Tambin muestra las cantidades mximas producidas en las minas y las necesarias

en las plantas, al igual que el costo de envo y la cantidad mxima que se puede enviar al da por cada va. Se

debe cumplir una cota mnima de envo desde las minas hacia los almacenes. Los datos se muestran en la

siguiente tabla.

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Mina Almacn Ton mnima de material

11 10

2 10

2

1 15

2 15

3 123

2 12

3 12

La empresa no cuenta con una infraestructura vial entre la mina M1 y el almacn S3, la mina M3 y el almacn

S1; tampoco hay vas de acceso entre el almacn S3 y la planta P1, ni entre el almacn S1 y la planta P3.

Adems, se incurre en un costo muy alto si se enva simultneamente material desde la mina M3 al almacn S2

y de la mina M1 al almacn S2, tambin si se enva material desde el almacn S2 a las plantas P1 y P3 en

simultnea; por lo que la administracin quiere eliminar estos costos. La administracin desea determinar el

plan ms econmico de envo del mineral de las minas a las plantas.

Formule el anterior problema usando programacin entera mixta

4. Un Municipio desea abrir unos puestos de salud en dos aos. Se han definido 5 posibles localizaciones i, las

cuales atenderan la demanda de las 5 zonas j, segn las siguientes condiciones:

A cada zona de demanda j le corresponde una poblacin demandante del servicio hj

La construccin de cada puesto de salud implica un costo fijo de construccin cfi, y un costo variable cvi

por cada habitante en el ao que atenderan.

Cada puesto de salud tiene una capacidad mxima de nmero de habitantes que podra atender

anualmente Cqi

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Si un puesto de salud se abre en el ao 1, puede atender tanto ese ao como el ao siguiente (es decirque la poblacin atendida cuenta los dos aos)

Cada ao se cuenta con un presupuesto mximo Pt.

Se desea elegir cules puestos de salud abrir en cada ao y determinar cuntos pacientes se atienden en la

zona j por el puesto de salud ubicado en i, en el ao t, de modo que se maximice la poblacin atendida.

5. Las reglas del Sudoku son simples: hay que llenar la matriz de forma que cada fila, cada columna y cada

submatriz de 3X3 contenga los nmeros del 1 al 9 exactamente una vez. El problema del Sudoku es tan

restringido que es posible hallar la solucin del sudoku usando programacin entera mixta (especficamente

usando variables binarias), sin necesidad de una funcin objetivo especfica.

Formule las variables de decisin y las restricciones necesarias para resolver este sudoku. Cuntas variables

son necesarias?, cuntas restricciones?

II. Solucin de problemas enteros por ramificacin y acotamiento6. Resuelva mediante el mtodo de ramificacin y acotamiento los siguientes problemas de programacin

entera. Para cada ejercicio indique si la solucin del problema relajado de progamacin lineal es factible para el

problema de programacin entera, realice el rbol de ramificacin y acotamiento e indique por cul variable

hizo la ramificacin.

Max Z = 13X1+ 8X2

S.A X1+ 2X2 10

5X1+ 2X220

X1, x20,

X1, X2enteros

Max Z = 2X1+ X2

S.A: 5X1+ 2X2 8

X1+ X23

X1, x20,

X1entera, X2real

Max Z = X1- 3X2

S.A: -X1+ 2X2 6

X1+ X2 5

X1- 7X2 2

X1, x20, X1, X2enteros

III. Problemas de redes7.Logis S.A mueve mercanca desde 6 plantas a 8 mercados. Los costos de transporte de la mercanca entre

planta y mercado (cij) dependen de la distancia recorrida (dij) y de la cantidad de toneladas que se transportan

(xij). La capacidad de produccin en cada planta est dada por un vector Ofertai, cada planta puede enviar

como mximo su capacidad de produccin. La demanda de cada mercado est dada por un vector Demandaj,

2

2 5

7 3 4

2 1 3 4

6 4 8 5 9

9 5 2 1

3 4 8

9 1

1

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se espera que a cada mercado llegue al menos la cantidad demandada de mercanca. La empresa desea

minimizar los costos de transporte, de modo que se cumpla con las restricciones de oferta y demanda.

Formule el problema y resuelva usando el Solver de Excel.

Distancia en km (dij)Mercados (j) Oferta en Ton

(Ofertai)m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8

Plantas

(i)

p1 84 28 91 29 83 44 87 28 500

p2 85 87 20 30 97 24 71 62 450

p3 42 79 25 65 12 16 60 43 350

p4 44 55 63 36 73 25 18 43 600

p5 31 25 68 36 18 78 39 56 400

p6 90 54 42 28 84 99 96 41 500

Demanda en Ton (Demandaj) 350 300 400 200 400 400 400 350

Ahora suponga que llega un nuevo gerente a la empresa y decide que slo enviar mercanca de una planta a

un mercado si y slo si la cantidad que es transportada en ese trayecto es mayor o igual a 200 toneladas.

Formule nuevamente el problema teniendo en cuenta esta nueva restriccin y resuelva nuevamente usando el

Solver de Excel. Compare los resultados.

8. Todos los problemas de red vistos en clase son casos especiales del problema de flujo de costo mnimo: al

igual que el problema de flujo mximo, ste considera flujos en las redes con capacidades, al igual que el

problema del camino ms corto, ste considera un costo por flujo hacia un arco, al igual que el problema de

transporte, ste permite mltiples orgenes y destinos. Por lo tanto, todos estos problemas pueden ser vistos

como casos especiales del problema de flujo de costos mnimo. El problema es minimizar el costo total sujeto a

la disponibilidad y la demanda de algunos nodos, y de la conexin superior de flujo a travs de cada arco.

Formule el problema de flujo de costo mnimo para la siguiente red, donde cada par ordenado en las aristas

corresponde a (costo, capacidad):