7/22/2019 Tarea 3 - Metodos de Resolucion de Ecuaciones Polinomicas

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METODOS NUMERICOS

METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES

JULIN ANDRS GIL SANTOS

COD. 20112020105

PROF. CARLOS ALFONSO ACOSTA SERRANO

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

METODOS NUMERICOS

BOGOT D.C.

2012

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1. METODO NICOLAS TARTAGLIA - CARDANO:

El matemtico Nicols Tartaglia ide el mtodo de resolucin de ecuaciones de tercer grado. El

tratamiento de la ecuacin cbica general proporcion, por vez primera argumentos vlidos para

la aceptacin de los nmeros complejos.

Tartaglia descubri la forma de resolver una ecuacin de tercer grado de la forma:

(1)

Tartaglia comunico el hallazgo a su colega Cardano, quien, a pesar de haberle prometido que no lo

divulgara, publico en su obra Ars Magna la teora completa de la ecuacin de tercer grado. Hay

quien afirma, no obstante, que fue Cardano quien encontr la solucin a las citadas ecuaciones

antes que Tartaglia.

Por el mtodo Cardano - Tartaglia las races de la ecuacin cubica se pueden obtener por medio de

finitas sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y races.

En aquellos tiempos se haba podido resolver ecuaciones cubicas de la forma:

(2)

Pero en realidad Tartaglia ya haba podido resolver ecuaciones de la forma: , y finalmente .

Pero Cardano haba resuelto ecuaciones como: (3)

Su mtodo era reducir dicha ecuacin No (1), a las de forma de la ecuacin No (2) mediante una

sustitucin. Dicha, consista en sustituir por , en la ecuacin (1) , obteniendo:

( )

( )

( ) que a su vez corresponde a:

(

)

, donde

y

son constantespor lo que la ecuacin toma la forma de .

Donde la ecuacin de la forma , segn Cardano se resuelve sustituyendo

, y desarrollando la forma cubica

.

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Y donde finalmente y .

2. METODO APROCIMACIONES SUCESIVAS

Se entiende por mtodo de aproximaciones sucesivas, que a partir del conocimiento aproximado

de una raz o cero de una funcin, nos acerca o satisface aproximadamente a la solucin,mediante la aplicacin repetida de una ecuacin, llamada recurrencia (1), que es la que define al

mtodo.

Procedimiento: Dada la ecuacin , el mtodo de las aproximaciones sucesivas reemplazaesta ecuacin por una equivalente, , definida en la forma . Paraencontrar la solucin, partimos de un valor inicial y calculamos una nueva aproximacin

. Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a unasucesin de valores , que si converge, tendr como limite la solucin delproblema.

Nos quedara algo como: ; ; .

Por ejemplo para ; ; .

Entonces la frmula de recurrencia nos quedara:

.

Y as sucesivamente hasta que converge a un nmero.

Vemos un ejemplo claro en la siguiente tabla: con ; donde

Donde podemos ver que , y que despus de la iteracin 13 ya aseguramos suvalor por medio de aproximaciones sucesivas.

f(x) = x^2 RESULTADO ITERACION VALOR DE LA ECUACION

0,6 0,774559 0 -0,85

1 -0,7275

X Xo 2 -0,7982

0,6 -0,5 3 -0,7611

4 -0,7819

5 -0,7706

6 -0,7768

7 -0,7734

8 -0,7753

9 -0,774210 -0,7748

11 -0,7745

12 -0,7747

13 -0,7746

14 -0,7746

15 -0,7746

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3. ECUACION DE CUARTO GRADO

Una ecuacin de cuarto grado con una incgnita es una ecuacin que se puede poner bajo la

forma cannica:

ax4

+ bx3

+ cx2

+ dx + e = 0,

Donde a, b,c, d y e (a 0 ) son nmeros que pertenecen a uncuerpo, usualmente a R. En este

cuerpo, es posible factorizar por todo a 0, y la identidad siguiente es vlida:

(a - b)4

= a4

- 4a3b + 6a

2b

2- 4ab

3+ b

4.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro races.

El mtodo siguiente permite obtener las cuatro races al mismo tiempo, eso s, despus de un

largo clculo.

Los pasos de la resolucin son:

Dividir la ecuacin inicial por el coeficiente a (a 0 ). Se obtiene:x

4+ b'x

3+ c'x

2+ d'x + e' = 0 , con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a y e' = e/a

Proceder al cambio de incgnita z = x + b'/4, para suprimir el trmino cbico. En efecto, aldesarrollar (z - b'/4)

4con la identidad precedente, vemos aparecer el trmino -b'z

3,

compensado exactamente por b'z3

que aparece en b'(z - b'/4)3. Se obtiene:

z4 + pz2 + qz + r = 0, con p, q y r nmeros del cuerpo.

Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en (z2+ z + )( z2 - z + ), lo que es posibleporque no hay z3 en el polinomio.

Desarrollando la expresin e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:

+ - 2 = p (coeficiente de x2)

( - ) = q (coeficiente en x)

= r (trmino constante)

Despus de algunos clculos, hallamos:

6+ 2p

4+ (p

2- 4r)

2- q

2= 0 Es una ecuacin del sexto grado, pero si miramos bien, slo

aparece con potencias pares.

http://100cia.com/enciclopedia/Cuerpohttp://100cia.com/enciclopedia/Cuerpohttp://100cia.com/enciclopedia/N%FAmero_realhttp://100cia.com/enciclopedia/Polinomiohttp://100cia.com/enciclopedia/Polinomiohttp://100cia.com/enciclopedia/N%FAmero_realhttp://100cia.com/enciclopedia/Cuerpo

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Pongamos A = 2. Entonces:

A3

+ 2pA2

+ (p - 4r)A - q2

= 0, lo que se sabe resolver porque es una ecuacin de tercer

grado.

Luego se encuentra , y , y se resuelven z2

+ z + = 0 y z2

- z + = 0, y para rematar,no seolvide que x = z - b'/4.

Nota: El ltimo tema No 3, corresponde a la solucin de ecuaciones de cuarto grado,

correspondiente al mtodo de Brown. De no ser posible obtener mucha informacin sobre el

mismo, fue pertinente describir un mtodo similar.

REFERENCIAS:

- Algunos mtodos para resolver problemas que involucran ecuaciones cbicas en laenseanza media. Martha Liliana Mogolln. Universidad Nacional de Colombia.

Facultado de ciencias. 2012.

http://www.bdigital.unal.edu.co/7257/1/marthalilianamogollonbecerra.2012.pdf

- Modelado Orientado a Objetos para evaluar Mtodos Numricos utilizandoInterfaces visuales. F. Meneses, W. Fuertes. Departamento de Ciencias de la

Computacin, Escuela del Ejercito, Sangolqu-Ecuador. {fmenesesb,

wfuertesd}@espe.edu.ec.

http://biblioteca.espe.edu.ec/upload/Revista_DECC_FMeneses_WFuertes.pdf.

- Mtodos Numricos para Ingenieros. Steven Chapra Raymond P Canalle. EditorialMc Graw Hill. 6ta edicin.

http://100cia.com/enciclopedia/Ecuaci%F3n_de_tercer_gradohttp://100cia.com/enciclopedia/Ecuaci%F3n_de_tercer_gradohttp://100cia.com/enciclopedia/Ecuaci%F3n_de_tercer_gradohttp://100cia.com/enciclopedia/Ecuaci%F3n_de_tercer_grado