Tarea N°3

Gestión de Investigación de Operaciones

Integrantes: Franco Antonucci Camilo Bravo Cristóbal Leiva

Profesor: Luis Acosta Espejo

Problema 1: Problema de política de precios

a) Formule y resuelva un modelo de programación matemática que ayude a la compañía a determinar su política de precios óptima.

Variables de decisión:p1: precio computadorastipo Preat

p2 : precio computadorastipo Apricot

Función Objetivo:

máx ( 4000−10 p1+ p2 ) p1+ (2000−9 p2+0,8 p1 ) p2

Restricciones:

o Restricción de M.O:Para cada computadora Preat se requieren dos horas de mano de obra, y para fabricar una computadora Apricot se requieren tres horas de mano de obra. Se tienen 5000 horas disponibles actualmente:

( 4000−10 p1+ p2 )∗2+ (2000−9 p2+0,8 p1 )∗3≤5000

o Restricción de chip:Para cada computadora Preat se requieren tres chips, y para fabricar una computadora Apricot se requiere uno. Se tienen 4500 chips disponibles actualmente:

( 4000−10 p1+ p2 )∗3+ (2000−9 p2+0,8 p1 )∗1≤5000

o Restricción de No negatividad:p1 , p2≥0

Solución: Es un modelo de programación no lineal por lo tanto se resolverá por el método de Lagrange debido a que tiene restricciones.

L : (4000∗p1+2000∗p2−10∗p12−9∗p2

2+1,8∗p1 p2 )− λ1∗(8000−20∗p1+2∗p2+6000−27∗p2+2,4∗p1−5000)− λ2∗(12000−30∗p1+3∗p2+2000−9∗p2+0,8∗p1−4500)

CPO:

dLd p1

=4000−20 p1+1,8∗p2+17,6∗λ1+29,2∗λ2=0

dLd p2

=2000+1,8∗p1+−18∗p2+25∗λ1+6∗λ2=0

dLd λ1

=−9000+17,6∗p1+25∗p2=0

dLd λ2

=−9500+29,2∗p1+6∗p2=0

Mediante este sistema se obtienen los siguientes resultados:

p1=293,88

p2=153,11

λ1=−4,78

λ2=57,75

Ingreso=488091,62

b) ¿A lo sumo cúanto debe pagar Fruit para obtener una hora adicional de mano de obra? ¿Cuál es el precio máximo que Fruit debe pagar para adquirir un chip adicional? Justifique su respuesta.

Fruit no debería no debería pagar por una hora extra de mano de obra, ya que λ1 es negativo, lo

que significa que por cada hora de mano de obra extra los ingresos caerán en el valor de λ1.

El máximo valor a pagar por un chip adicional es 57,75, ya que por cada chip adicional ese es el máximo valor obtenido, por lo tanto si se adquiere uno por sobre ese valor, Fruit estaría perdiendo dinero.

Problema 2: Problema de localización

a) Si la compañía desea instalar un único centro de distribución, ¿cuál sería su recomendación?

Variables de decisión:x : coordenadax en la cual seencuentra elcentro dedistribucióny :coordenada y en lacual se encuentrael centro dedistribución

Función Objetivo:Se desea minimizar la distancia desde el centro de distribución hacia los clientes en el año

min {200∗√ (5−x )2+(10− y )2+150∗√(10−x )2+(5− y )2+200∗√(0−x )2+ (12− y )2+300∗√(12−x )2+(0− y )2 } Restricciones:

o Restricción de No negatividad:x , y ≥0

Solución: Se le recomienda ubicar un centro de distribución en el punto ( x , y )=(9.314 ,5.028), ya que en este punto se minimiza la distancia que recorrerá para llegar a cada cliente, considerando también la demanda de estos mismos logrando una minimización de la distancia, igual a 5456,54 km.

b) Asuma que existe un nuevo cliente y que este cliente demanda de 250 envíos por año. Evalúe ubicar a este cliente en diferentes lugares, por ejemplo en la esquina superior derecha, en la esquina inferior izquierda, próximo a un cliente actual y así sucesivamente. Para cada una de estas ubicaciones encuentre la localización óptima para el centro de distribución. Discuta el efecto que tendrá la localización óptima del centro de distribución, la existencia de este nuevo cliente y su ubicación.

Para este nuevo problema se tomará como ubicación del cliente 5 el punto (a ,b). Se le darán 4 valores distintos a este punto cercanos a los clientes ya dados, incluyendo además el (0,0), para ver qué sucede con la ubicación del centro de distribución.

Función Objetivo:

min {200∗√ (5−x )2+(10− y )2+150∗√ (10−x )2+(5− y )2+200∗√(0−x )2+ (12− y )2+300∗√(12−x )2+(0− y )2+250∗√(a−x )2+(b− y )2} Restricciones:

o Restricción de No negatividad:x , y ≥0

Solución:o Cliente 5 cercano a Cliente 1, punto (4,10):

Centro de distribución se ubicaría en (4.75 , 9.69), y la distancia óptima sería de 6025.44 km.

o Cliente 5 cercano a Cliente 2, punto (9,5):Centro de distribución se ubicaría en (8.99 , 5), y la distancia óptima sería de 5460.26 km.

o Cliente 5 cercano a Cliente 3, punto (0,10):Centro de distribución se ubicaría en (4.49, 9.17), y la distancia óptima sería de 6990.19 km.

o Cliente 5 cercano a Cliente 4, punto (10,0):Centro de distribución se ubicaría en (9.79 , 2.21), y la distancia óptima sería de 6510.29 km.

o Cliente 5 en el punto (0,0):Centro de distribución se ubicaría en (6.28 , 4.89), y la distancia óptima sería de 7756.51 km.

Se puede notar que la ubicación del nuevo cliente que menos afecta a la ubicación del centro de distribución original es si el primero es ubicado cerca del Cliente 2, debido ya que es el punto más central entre todos los clientes. Además nos damos cuenta que es el que mantiene una menor distancia recorrida, por lo tanto sería el más óptimo.

Problema 3: Problema de localización

a) Formule la evolución del estado de un televisor como una cadena de Markov: identifique los estados y la matriz de transición de estados.

Los estados de un refrigerador como una cadena de Markov son los siguientes: se descompone o no se descompone.

Los Estados de Transición son los siguientes:0: Refrigerador Nuevo1: Refrigerador hasta 1 año de uso2: Refrigerador hasta 2 años de uso3: Refrigerador hasta 3 años de uso

Matriz de Transición de estados:

La matriz de transición es la siguiente:

0 1 2 3

0 1 0 0 0

1 0,03 0 0,97 0

2 0,05 0 0 0,95

3 0,07 0 0 0,93

b) ¿Cuál es la fracción de refrigeradores que Fresco tendrá que reemplazar?

0 1

23

97%

3%

5%

95%

7%

100%

93%

Al LP, la fracción de refrigeradores que habrá que reponer serán todos los que se descomponen en algún momento, que está dado por la siguiente suma:

0 ,03+0 ,97∗0 ,05+0,97∗0,95∗0 ,07=0 ,143

Es decir, un 14,3% de los refrigeradores.

c) ¿Suponga que para Fresco, el costo de reemplazar un refrigerador es US$500 y que la compañía vende 10.000 refrigeradores por año. Si la compañía redujera el período de la garantía a dos años, ¿Cuánto ahorraría anualmente en costos de sustitución?

En este caso el porcentaje de refrigeradores a reponer es:

0,03+0 ,97∗0.05=0 ,0785

El costo actual de reposición, dada la garantía de 3 años es:

10.000∗0,143∗USD$ 500=USD $715.000

Si la compañía decide reducir la garantía a 2 años, el costo de la reposición es:

10.000∗0,0785∗USD$ 500=USD $392.500

Luego, el ahorro es la diferencia entre ambos, vale decir:

715.000−392.500=USD $322.500

Ahora, para ver el ahorro anual que se pueda generar hay que verlo de la siguiente forma. Debido a que en los años 1 y 2 se incurre en las mismas probabilidades de descomposición o no descomposición de los refrigeradores, no se genera ningún ahorro estos años. Para el año 3, en cambio, se tiene el escenario de garantía por 2 años:

10.000∗0.97∗0.95∗0∗USD $500=USD $0

Y el escenario de garantía por 3 años:

10.000∗0.97∗0.95∗0.07∗USD$ 500=USD $322.500

Por lo que el ahorro que se da en este año es igual al ahorro total, y asciende al valor mostrado, USD$ 322.500