Tarea 3: Diseo de Controladores y Observadores de Estado para un Sistema MIMOSea el siguiente proceso multivariable descrito por las ecuaciones diferenciales:

Donde , : las variables de salida; : las variables de entradaa) Eligiendo como variable de estado

Representaremos al sistema mediante variables de estado en tiempo continuo y con un muestreador de periodo T=0.04 seg y un retenedor de orden cero, discretizaremos el proceso.Llevando a matrices el siguiente sistema, tendremos:

En forma compacta el proceso se puede representar como

El tiempo discreto con muestreador de periodo T=0.04 seg. Las ecuaciones en el espacio de estado se convierten en

Usaremos el MATLAB para convertir el sistema a Digital y hallar las matrices G y H.

Programa en MATLAB% a) Sistema continuo, luego retenedor de Orden ZeroA=[0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;-8 -3 -4 -6 0 -5;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;-7 0 -6 -5 -2 4]B=[0 0 0;0 0 0;8 6 -2;0 0 0;0 0 0;6 8 -3]C=[1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0]D=[0 0 0;0 0 0]I=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1]Ts=0.04[Gd Hd Cd Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,'zoh')

Respuesta del MATLAB>> Planta_SSGd = 0.9999 0.0400 0.0008 -0.0001 0.0000 -0.0001 -0.0057 0.9976 0.0372 -0.0043 0.0000 -0.0040 -0.2698 -0.1174 0.8728 -0.2033 0.0037 -0.2023 -0.0001 0.0000 -0.0001 0.9999 0.0400 0.0008 -0.0054 0.0001 -0.0048 -0.0039 0.9983 0.0437 -0.2672 0.0091 -0.2427 -0.1895 -0.0912 1.1971Hd = 0.0001 0.0001 -0.0000 0.0058 0.0041 -0.0014 0.2738 0.1913 -0.0624 0.0001 0.0001 -0.0000 0.0046 0.0064 -0.0024 0.2235 0.3205 -0.1214Cd = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

Dd = 0 0 0 0 0 0De aqu obtenemos las matrices Gd, Hd.

b) Mediante el mtodo de ubicacin de polos para un sistema multivariable, disearemos un controlador en realimentacin de estados de ganancia K para que el vector de salida y(kT) siga un vector de referencia r(kT) en estado estacionario corrigiendo el error en estado estacionario mediante una matriz de prealimentacin , con la siguiente ley de control . Las variables de respuesta deben ser moderadas en el tiempo transitorio y apropiadas en rgimen permanente para que las variables de control u(kT) no presenten grandes magnitudes.Vamos a ver si el Sistema es Completamente controlable, esto significa que la matriz de controlabilidad M deber tener un rango=6.

Ingresando la ecuacin para hallar M en MATLAB tenemos:M=[Hd Gd*Hd Gd^2*Hd Gd^3*Hd Gd^4*Hd Gd^5*Hd]rango_M=rank(M)

El MATLAB nos devuelve:M = Columns 1 through 7

0.0001 0.0001 -0.0000 0.0005 0.0004 -0.0001 0.0012 0.0058 0.0041 -0.0014 0.0151 0.0100 -0.0032 0.0214 0.2738 0.1913 -0.0624 0.1931 0.1016 -0.0298 0.1260 0.0001 0.0001 -0.0000 0.0004 0.0006 -0.0002 0.0011 0.0046 0.0064 -0.0024 0.0130 0.0195 -0.0074 0.0208 0.2235 0.3205 -0.1214 0.2007 0.3367 -0.1300 0.1922

Columns 8 through 14 0.0008 -0.0003 0.0022 0.0013 -0.0004 0.0032 0.0017 0.0124 -0.0038 0.0253 0.0115 -0.0031 0.0269 0.0074 0.0193 0.0007 0.0681 -0.0612 0.0311 0.0157 -0.1452 0.0017 -0.0006 0.0021 0.0033 -0.0013 0.0034 0.0057 0.0336 -0.0129 0.0286 0.0499 -0.0194 0.0368 0.0695 0.3766 -0.1477 0.1972 0.4426 -0.1756 0.2162 0.5393

Columns 15 through 18 -0.0005 0.0043 0.0018 -0.0005 -0.0013 0.0265 -0.0002 0.0020 0.0633 -0.0346 -0.2380 0.0995 -0.0022 0.0050 0.0089 -0.0035 -0.0271 0.0461 0.0936 -0.0368 -0.2157 0.2505 0.6731 -0.2706

rango_M = 6

Ahora usaremos la matriz aleatoria Ks:

La Matriz Usando el siguiente cdigo en Matlab:Ks=[1 -3 4 5 6 -5;4 13 -4 2 -2 4;1 -2 4 0 -3 2]G0=Gd-Hd*Ksm=eig(G0)

Matlab nos devuelve:Ks = 1 -3 4 5 6 -5 4 13 -4 2 -2 4 1 -2 4 0 -3 2G0 = 0.9996 0.0394 0.0008 -0.0006 -0.0004 0.0001 -0.0267 0.9584 0.0362 -0.0415 -0.0304 0.0110 -1.2463 -1.9074 0.7924 -1.9549 -1.4438 0.5265 -0.0004 -0.0010 0.0002 0.9995 0.0397 0.0009 -0.0332 -0.0741 0.0121 -0.0395 0.9764 0.0458 -1.6515 -3.7303 0.6311 -1.9481 -1.1555 1.2754m = 0.3798 1.2977 + 0.2744i 1.2977 - 0.2744i 0.9625 0.9925 1.0713Vemos que los valores propios de la matriz son distintos, esto es:

Sea entonces la matriz El cdigo en Matlab sera:v=[1 -4 2]'H0=Hd*v

Matlab nos regresa:v = 1 -4 2H0 = -0.0002 -0.0135 -0.6161 -0.0003 -0.0258 -1.3015Sean los polos en tiempo continuo:

En tiempo discreto los polos sern (usando Matlab):s=[-5+5i -5-5i -3+3i -3-3i -10 -12]z0=exp(Ts*s)

Matlab nos regresa:s = -5.0000 + 5.0000i -5.0000 - 5.0000i -3.0000 + 3.0000i -3.0000 - 3.0000i -10.0000 -12.0000 z0 = 0.8024 + 0.1627i 0.8024 - 0.1627i 0.8805 + 0.1062i 0.8805 - 0.1062i 0.6703 0.6188Las matrices representan un sistema de simple entrada y con el espectro de polos en lazo cerrado se obtiene la matriz .Luego de hallar hallaremos la matriz deseada de realimentacin Cdigo en MATLAB:K0=place(G0,H0,z0)K=Ks+v*K0 eig(Gd-Hd*K)

Matlab nos devuelve:K0 = 37.9981 6.7827 -0.3967 -52.6251 -6.4576 -0.7807K = 38.9981 3.7827 3.6033 -47.6251 -0.4576 -5.7807 -147.9924 -14.1310 -2.4133 212.5003 23.8306 7.1229 76.9962 11.5655 3.2066 -105.2501 -15.9153 0.4385ans = 0.6188 0.6703 0.8024 + 0.1627i 0.8024 - 0.1627i 0.8805 + 0.1062i 0.8805 - 0.1062iEntonces la matriz K:

Vemos que los autovalores coinciden con los polos de lazo cerrado propuestos.La matriz de Prealimentacin tiene dimensin 3x2 se determina utilizando la siguiente representacin obtenida en estado estacionario

Con la matriz D=0 se consigue:

La matriz de dimensin 2x3, por lo tanto no es posible despejar la matriz directamente, entonces se debe determinar la pseudoinversa de la matriz F que viene a ser:

Evaluando en Matlab se obtiene:F=Cd*(I-Gd+Hd*K)^-1*HdKr=F'*(F*F')^-1

Matlab nos devuelve:F = 0.1414 0.0299 -0.0027 0.0991 0.0248 -0.0036Kr = 40.4359 -47.6288 -151.6189 216.5228 67.8678 -96.1976Entonces tendramos las matrices F y Kr:

Tambien es posible determinar la matriz de realimentacin de estados utilizando la funcin place del MATLAB directamente:K=place(Gd,Hd,z0)eig(Gd-Hd*K) F=Cd*(I-Gd+Hd*K)^-1*HdKr=F'*(F*F')^-1

MATLAB nos regresa:K = 61.9203 21.3595 4.1105 -30.2407 -15.6371 -4.8131 -35.8564 -10.6509 -2.8546 41.1216 17.9169 4.8849 19.7899 6.0904 1.5170 -19.7836 -8.7956 -2.4373ans = 0.8805 + 0.1062i 0.8805 - 0.1062i 0.8024 + 0.1627i 0.8024 - 0.1627i 0.6188 0.6703 F = 0.0273 0.0170 -0.0053 0.0242 0.0352 -0.0133Kr = 62.7100 -29.5970 -35.5946 41.2589 19.7341 -19.7965

c) Con el diseo de la parte b) graficaremos el vector de Salida y(kT), el vector de estado x(kT) y el vector de control u(kT) ante un vector de referencia r(kT) de un escalon unitario y un vector de estado de tiempo inicial .}El cdigo en Matlab para obtener la Salidas y(kT)Gr=Gd-Hd*K;Hr=Hd*Kr;Cr=Cd;Dr=[0 0;0 0];X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]'N=100;k=0:N-1;[Y1,X1]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,1,N);[Y2,X2]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,2,N);[Y3,X3]=dinitial(Gr,Hr,Cr,Dr,X0,N);Y=(Y1+Y2+Y3);X=(X1+X2+X3);hold offstairs(k*Ts,Y(:,1))grid onhold onstairs(k*Ts,Y(:,2))hold on

Matlab nos devuelve el siguiente grfico:

Para observar los vectores de estado x(kT):Gr=Gd-Hd*K;Hr=Hd*Kr;Cr=Cd;Dr=[0 0;0 0];X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]'N=100;k=0:N-1;[Y1,X1]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,1,N);[Y2,X2]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,2,N);[Y3,X3]=dinitial(Gr,Hr,Cr,Dr,X0,N);Y=(Y1+Y2+Y3);X=(X1+X2+X3); hold offstairs(k*Ts,X(:,1))grid onhold onstairs(k*Ts,X(:,2))hold onstairs(k*Ts,X(:,3))hold onstairs(k*Ts,X(:,4))hold onstairs(k*Ts,X(:,5))hold onstairs(k*Ts,X(:,6))hold on

Matlab nos ofrece el siguiente grfico:

Para la seal de control U:

La respuesta del sistema usando el K usando la funcin place:El cdigo en Matlab para obtener la Salidas y(kT)Gr=Gd-Hd*K;Hr=Hd*Kr;Cr=Cd;Dr=[0 0;0 0];X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]'N=100;k=0:N-1;[Y1,X1]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,1,N);[Y2,X2]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,2,N);[Y3,X3]=dinitial(Gr,Hr,Cr,Dr,X0,N);Y=(Y1+Y2+Y3);X=(X1+X2+X3);hold offstairs(k*Ts,Y(:,1))grid onhold onstairs(k*Ts,Y(:,2))hold on

Matlab nos devuelve el siguiente grfico:

Para observar los vectores de estado x(kT):Gr=Gd-Hd*K;Hr=Hd*Kr;Cr=Cd;Dr=[0 0;0 0];X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]'N=100;k=0:N-1;[Y1,X1]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,1,N);[Y2,X2]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,2,N);[Y3,X3]=dinitial(Gr,Hr,Cr,Dr,X0,N);Y=(Y1+Y2+Y3);X=(X1+X2+X3); hold offstairs(k*Ts,X(:,1))grid onhold onstairs(k*Ts,X(:,2))hold onstairs(k*Ts,X(:,3))hold onstairs(k*Ts,X(:,4))hold onstairs(k*Ts,X(:,5))hold onstairs(k*Ts,X(:,6))hold on

Matlab nos ofrece el siguiente grfico:

Para la seal de control U:

d) Disearemos un observador de estados de ganancia Ke usando el mtodo de reubicacin de polos para que la dinmica o respuesta de estimacin sea lo suficientemente rpida respecto del controlador diseado en (b).Hallamos en primer lugar la matriz de observabilidad N, lo cual ayudndonos del MATLAB nos da una matriz de orden 6, por tanto la observabilidad del sistema es completa.Sean los polos ubicados en el plano S para el observador:

El cdigo en MATLAB es:%Matriz de ObservabilidadN=[Cd;Cd*Gd;Cd*Gd^2;Cd*Gd^3;Cd*Gd^4;Cd*Gd^5]rank(N) se=[-20+4i -20-4i -16+6i -16-6i -30 -40]ze=exp(se*Ts)

MATLAB nos devuelve:>> observadorN = 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0.9999 0.0400 0.0008 -0.0001 0.0000 -0.0001 -0.0001 0.0000 -0.0001 0.9999 0.0400 0.0008 0.9994 0.0797 0.0029 -0.0004 0.0000 -0.0004 -0.0006 0.0000 -0.0005 0.9996 0.0798 0.0036 0.9982 0.1192 0.0064 -0.0014 0.0000 -0.0015 -0.0019 0.0001 -0.0018 0.9987 0.1193 0.0088 0.9961 0.1580 0.0111 -0.0029 0.0002 -0.0036 -0.0045 0.0003 -0.0043 0.9968 0.1582 0.0169 0.9931 0.1961 0.0172 -0.0053 0.0004 -0.0072 -0.0088 0.0008 -0.0087 0.9939 0.1962 0.0289ans = 6se = -20.0000 + 4.0000i -20.0000 - 4.0000i -16.0000 + 6.0000i -16.0000 - 6.0000i -30.0000 -40.0000 ze = 0.4436 + 0.0716i 0.4436 - 0.0716i 0.5122 + 0.1253i 0.5122 - 0.1253i 0.3012 0.2019

Los polos en el plano Z resultan ser:

La ganancia Ke del observador la determinaremos usando el algoritmo del diseo del controlador para sistemas multivariables teniendo en cuenta el criterio de Sistema Dual. Para esto es necesario usar las matrices del sistema original.La matriz Kes arbitraria para el sistema dual de dimensin 2x6 es:

La matriz :Usando el Matlab:Kes=[2 50 5 0 1 -1;1 3 40 0 -1 4]Ge0=Gd'-Cd'*Kesm=eig(G0)

El Matlab no regresa:Kes = 2 50 5 0 1 -1 1 3 40 0 -1 4Ge0 = -1.0001 -50.0057 -5.2698 -0.0001 -1.0054 0.7328 0.0400 0.9976 -0.1174 0.0000 0.0001 0.0091 0.0008 0.0372 0.8728 -0.0001 -0.0048 -0.2427 -1.0001 -3.0043 -40.2033 0.9999 0.9961 -4.1895 0.0000 0.0000 0.0037 0.0400 0.9983 -0.0912 -0.0001 -0.0040 -0.2023 0.0008 0.0437 1.1971m = 0.3798 1.2977 + 0.2744i 1.2977 - 0.2744i 0.9625 0.9925 1.0713Por tanto la Matriz :

Los valores propios de la matriz son distintos, por lo tanto la matriz Kes es vlida. El vector v de transformacin a un sistema de una entrada puede ser:

La matriz numericamente es:

La matriz de realimentacin para el sistema univariable es:

El cdigo en MATLAB ser:v=[-1 2]'C0=Cd'*vKe0=place(Ge0,C0,ze)Ke=Ks+v*Ke0

El MATLAB nos regresa:v = -1 2C0 = -1 0 0 2 0 0Ke0 = -0.4777 3.3170 -51.6385 0.5867 8.8016 74.2686Ke = 2.4777 46.6830 56.6385 -0.5867 -7.8016 -75.2686 0.0446 9.6339 -63.2770 1.1734 16.6031 152.5372Por lo tanto la matriz de ganancia del estimador u observador de estados multivariable se obtiene como:

Aplicando la funcin place del MATLAB se obtieneKe=place(Gd',Cd',ze)

El MATLAB regresa:Ke = 1.5758 17.3814 51.7124 0.0199 -0.4734 -34.0778 -0.2203 -7.7137 -132.5347 2.0753 33.8543 319.8262

e) Con diseo del observador de estados de la parte d) graficaremos el vector de error entre el vector de estado real y el vector de estado estimado considerando un vector de estado real de tiempo inicial y el vector de estado estimado inicial nulo.

El Cdigo en MATLAB para los grficos sera:X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]';N=20;k=0:N-1;e0=X0;e(:,1)=[0 0 0 0 0 0];e(:,2)=(Gd-Ke'*Cd)*e0; for i=2:19 e(:,i+1)=(Gd-Ke'*Cd)*e(:,i);end hold offplot(k*Ts,e(1,:))grid onhold on plot(k*Ts,e(2,:))hold onplot(k*Ts,e(3,:))hold onplot(k*Ts,e(4,:))hold onplot(k*Ts,e(5,:))hold onplot(k*Ts,e(6,:))hold on

El Matlab nos regresa el siguiente Grfico:

El grfico que nos da el MATLAB usando la funcin place: