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MECANICA CLASICA —— Tarea 3: Dinámica de un Sistema de Partículas

FACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE FISICA

TAREA # 3MECANICA CLASICA

DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULASProf. Terenzio Soldovieri C.

BBPin: 568EEB0F - Whatsapp: +584124271575

URL: www.cmc.org.ve/tswebe-mails: [email protected] (institucional); [email protected];

[email protected] guía: Soldovieri C., T. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed

(preprint), 2017. Avances del texto disponibles (en redacción y revisión) en la webwww.cmc.org.ve/tsweb

Ultima actualización de esta tarea: 21/06/2017.

Indicaciones:

Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con plasman-do en su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICECALCULOS “DIRECTOS”. El resto de los problemas queda como ejercitación y nodeben ser anexados en la tarea a entregar. Puede usar tablas de integrales, peroespecificando en cada caso la integral utilizada.

La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tieneque anexar la presente hoja ni reescribirla en su tarea. La tarea y el examen soninseparables, es decir, de faltar uno de los dos, la calificación total será cero.

Establezca, en los casos que sea necesario, los sistemas de referencia y los di-agramas de cuerpo libre. La ausencia de éstos tendrá como consecuencia laanulación de la solución del problema correspondiente.

MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, 2017. República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 1 / 155

Terenzio Soldovieri

Corregido

Terenzio Soldovieri

Cerebro ejercitando


Todos los sistemas de coordenadas a usar deben tener el eje apuntando haciael Este y el hacia el Norte.

Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 1.

Entrega: El día fijado para el examen del capítulo 1. Sin prórroga.

1. Encuentre el centro de masa de una concha semi-esférica homogénea de den-sidad , de radio interno y radio externo . Posicione el origen del sistema decoordenadas en el centro de la base, de manera tal que ésta quede contenida enel plano . Resp.: .

2. Encuentre el centro de masa de una barra homogénea de densidad , longitudy masa , para un referecial cuyo origen está en su extremo izquierdo y dispuestade tal manera que toda ella esté sobre el eje del mismo. Resp.: .

3. Tres partículas puntuales se encuentran, en un cierto instante, en los vértices deun triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas (en el SI) son,

Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constantey longitud natural nula (No hay fuerzas externas actuando sobre el sistema). Para elinstante indicado:

a) Determinar la aceleración de cada partícula. Resp.:

b) Calcular la posición, cantidad de movimiento, velocidad y aceleración del cen-tro de masa. Resp.:



c) Posiciones y velocidades de cada una de las partículas respecto del centro demasa. Resp.:

d) Calcular el momento angular del sistema respecto al origen y respecto al centrode masa. Resp.: ; .

e) Hallar la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al centro demasa. Resp.: ; .

4. Un sistema que está formado por tres partículas de masas ,y se ve sometido a la acción de una única fuerza externa conservativa

. La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a (origen de unsistema de referencia inercial) en función del tiempo viene dada por ,en .

a) ¿Se conserva la energía total del sistema?. Expresar la velocidad y el vector posi-ción del centro de masa del sistema en función del tiempo, suponiendo que suposición inicial es para , expresado en . Resp.:

Si se conserva ya que es conservativa.

b) Determinar la fuerza externa y la aceleración del centro de masa del sistemaen función del tiempo. Resp.:

c) Si la energía cinética total del sistema medida en con respecto a vale, calcular la energía cinética orbital y la energía cinética interna del sistema

en ese mismo instante. Resp.: ; .

5. Encuentre la posición del centro de masa de los cuerpos homogéneos planos, dedensidad , mostrados en la figura 1. Resp.:

Cuerpo (a): .Cuerpo (b): .Cuerpo (c): .



Figura (1): Problema 5.

6. Sean y el vector posición y velocidad, respectivamente, de la partícula -ésima de un sistema de partículas con respecto a su centro de masa. Mostrarque,

a) .

b)

7. Una placa circular homogénea de radio tiene un orificio circular cortado en ellade radio como muestra la figura 2. Hallar el centro de masa de la placa. Resp.:

.


8. Encuentre la posición del centro de masa de un cono sólido homogéneo dedensidad , de base con radio y altura (ver figura 3). Resp.:




9. Encuentre el centro de masa de un cono sólido homogéneo cuya base tiene undiámetro y altura y un hemisferio sólido homogéneo de radio , de manera talque ambas bases se tocan (ver figura 4). Resp.:


10. Encuentre la posición del centro de masa de un alambre homogéneo de densidad, que substiende un arco circular de radio como el mostrado en la figura 5. Resp.:

.




11. El centro de gravedad de un sistema de partículas es el punto en torno alcual las fuerzas externas gravitacionales no ejercen torque. Para un campo gravita-cional uniforme, mostrar que la posición del centro de gravedad es idéntica ala posición del centro de masa . Ayuda: Establecer un sistema como el mostradoen la figura 6, donde indica la posición de la -ésima partícula con respecto alcentro de gravedad.


12. Considere dos partículas de masa . Las fuerzas sobre las partículas sony ( constante positiva). Si las partículas están inicialmente en reposo enel origen, ¿cuál es la posición, velocidad y aceleración del centro de masa?. Resp.:



, , .

13. Encontrar la posición del centro de masa de la lámina triangular mostrada en lafigura 7. El triángulo es rectángulo isósceles con cateto y no es homogéneo, siendosu densidad dada por ( constante positiva). Resp.:


14. Encontrar la posición del centro de masa de la lámina mostrada en la figura 8. Sudensidad es ( constante positiva) Resp.: .


15. Hallar la posición del centro de masa de la pirámide homogénea, de densidad, mostrada en la figura 9. Resp.: .




16. Mostrar que la expresión,

en verdad se anula para para un sistema de partículas si las fuerzasobedecen la forma fuerte de la tercera ley de Newton.

17. Se dispara un proyectil a un ángulo de con energía cinética inicial . El proyec-til explota en el punto más alto de su trayectoria, dividiéndose en dos fragmentos,liberándose una energía adicional . Un fragmento de masa cae verticalmente(ver figura 10). Todo ocurre en el plano y se conserva la energía.




a) ¿Cuál es la velocidad (magnitud y dirección) del primer fragmento de masay del segundo fragmento de masa ?. Resp.: , verticalmente

hacia abajo; y , en la dirección . El su-

períndice indica que es después de la explosión.

b) ¿Cuánto vale la razón cuando es un máximo?. Resp.: .

18. Demuestre que la magnitud del vector de posición del centro de masa conrespecto al origen de un referencial arbitrario viene dado por,

para un sistema de partículas.

19. Un conjunto de partículas de masas , , , , , que conforman unsistema de partículas , están situadas en puntos cuyos vectores de posición conrespecto a un origen de un referencial son respectivamente (verfigura 11).Como ya se sabe, la posición del centro de masa del conjunto de partí-


culas se define como el punto en el espacio cuyo vector de posición viene dadopor,

, con



Mostrar que si se usara un origen de un referencial diferente para el mismosistema de partículas, la anterior definición situaría al centro de masa en el mismopunto del espacio. Es decir,

20. Mostrar que para una sola partícula de masa constante la ecuación de movimien-to implica la siguiente ecuación diferencial para la energía cinética ,

mientras que si la masa varía con el tiempo la ecuación correspondiente es,

21. Las partículas, en un sistema discreto dado, interactúan mediante fuerzas quesiguen la “forma fuerte” de la tercera ley de Newton. Dada la relación usual entreel vector de posición de la -ésima partícula con respecto al origen del sistemareferencial usado y el vector de posición de la misma partícula con respecto ala posición del centro de masa ,

y la fuerza total sobre la -ésima partícula,

mostrar que el torque total ,

, con

para una fuerza externa de la forma , es dado por,

donde es la fuerza externa total.

22. Si cada una de las partículas de un sistema discreto es atraída hacia un puntofijo con una fuerza proporcional a su masa y a su distancia a dicho punto( constante positiva), demostrar que el centro de masa se mueve como si fuera unapartícula del sistema. Supóngase que el agente que origina la fuerza de atracciónno pertenece al sistema y que las fuerzas internas presentes son despreciables.



23. Un sistema discreto está formado por partículas de igual masa que delizansobre alambres paralelos lisos (correderas) y se atraen unas a otras con fuerzas pro-porcionales al producto de sus masas y a sus distancias ( constantepositiva), que se supone mucho mayor que cualquier fuerza externa que pueda ex-istir. Supóngase, además, que las correderas están en la dirección y consideredos de ellas, por ejemplo, la -ésima y la -ésima (ver figura 12). En esta figura, esel ángulo que forma la línea de la fuerza con respecto al eje .


a) Muestre que la aceleración de la -ésima partícula viene dada por,

b) Muestre que la posición del centro de masa viene dada por,

c) Ahora, combinando lo mostrado en 23a y 23b, mostrar que las partículas oscilancon igual frecuencia angular dada por,

donde se ha supuesto que el centro de masa está en reposo. La independenciade de esta cantidad es lo que indica que es igual para todas las partículasdel sistema.



24. Dos partículas de masa se mueven, cada una, sobre las correderas lisas per-pendiculares y (ver figura 13), atrayéndose con una fuerza proporcional asu distancia . Si inicialmente,

,

,


a) Muestre que,

b) Muestre que la ecuación cartesiana de la trayectoria del centro de masa delsistema viene dada por,

que representa una elipse y donde son las coordenadas del centro demasa.

25. Supóngase que las fuerzas internas de un sistema de partículas se pueden obten-er de un potencial de la forma (fuerzas conservativas),



donde,

es la distancia entre la -ésima y la -ésima partícula del sistema. Demostrar que eltrabajo total realizado por las fuerzas internas viene dado por,

donde es la fuerza interna sobre la partícula -ésima debida a la partícula-ésima.

26. El torque total sobre un sistema de partículas con respecto al origen deun sistema de coordenadas viene, como ya se sabe, dado por,

donde es la posición de la -ésima partícula respecto a y es la fuerzaexterna aplicada sobre dicha partícula. Establecer un nuevo sistema de coordena-das de origen cuya posición respecto de sea dada por y donde seala posición de la -ésima partícula respecto a , como se presenta en la figura 14.Mostrar que el torque total sobre mismo sistema de partículas con respecto a es

el mismo si , es decir, que el torque resultante tiene el mismo valor en

cualquier sistema de coordenadas.




27. Determinar la posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogé-neo, de densidad y de radio . Colóquese el origen del sistema de coordenadasen el centro de su base. Resp.: .

28. Determinar la posición del centro de masa de la placa triangular homogénea yde densidad mostrada en la figura 15. Resp.: .


29. Encuéntrese la posición del centro de masa de una barra de longitud de den-sidad no uniforme, cuya gráfica de muestra en la figura 16. Escoja un referencialde tal forma que el origen coincida con el extremo izquierdo de la barra y la barraesté contenida en el eje . Resp.: .


30. Encontrar la velocidad del centro de masa de los cuerpos, de masas y, mostrados en la figura 17 justo en el instante en que ambos se encuentran



a la misma distancia con respecto al origen del sistema referencial. El sistemaparte del reposo, la cuerda tiene longitud constante con masa despreciable y sedesprecia el diámetro de la polea. No existe fricción alguna. Resp.: .


31. Una partícula de masa se encuentra a una altura verticalmente sobre otrapartícula de masa . En se lanzan, a la vez, la partícula horizontalmentehacia con una velocidad inicial y la partícula se lanza vertical-mente hacia arriba con una velocidad inicial (ver figura 18). Determinarla aceleración, velocidad y trayectoria del centro de masa. Calcular también eltiempo que transcurre para que el centro de masa llegue al nivel en el que partió

. Resp.:




32. La posición del centro de gravedad puede ser encontrada mediante,

Muestre que esta expresión se reduce a la de la posición del centro de masacuando se considera una intensidad de campo gravitacional constante.

33. Sea una cadena inextensible homogénea, de dendisdad y longitud , apoy-ada sobre una circunferencia vertical de radio como se muestra en la figura19.Muestre que la posición de su centro de masa respecto al centro de la circunfer-


encia viene dado por,

34. La figura 20 muestra un paralelogramo articulado cuyo lado gira con una ve-locidad angular constante , donde las barras , , son homogéneas deigual densidad lineal y las rótulas y no cambian de posición. Hallar:




a) La posición del centro de masa. Resp.:

b) La trayectoria del centro de masa. Resp.:

que es una circunferencia de radio con centro en .

35. Muestre que las coordenadas del centro de masa del mecanismo mostrado enla figura 21 vienen dadas por,




donde: es el peso de la manivela , es el peso de la biela , es el pe-so de la corredera , y . Suponga que la manivela y la biela sonhomogéneas, que la corredera puede ser considerada puntual y que . Ayu-

da: desarróllese , con , despreciándose los términos conpotencias superiores a .

36. En la figura 22 se muestra un sistema cerrado que consiste en dos partículas demasas que se mueven sobre correderas lisas perpendiculares unidasen el punto . Muestre que si se atraen con una fuerza,

y parten del reposo desde cualquier posición, llegarán a la intersección al mismotiempo.


37. Muéstrese la propiedad de agrupamiento del centro de masa para un sistema departículas contínuo de masa y densidad variable.

38. Muestre que la trayectoria del centro de masa del sistema mostrado en la figura23 viene dada por la recta,

donde,

La cuerda es indeformable, de masa despreciable y de longitud .




39. Considere la lámina semicircular homogénea,

,

de densidad mostrada en la figura 24. Hallar la posición del centro de masa. Resp.:.


40. Determinar la posición del centro de masa del cuerpo plano homogéneo dedensidad mostrado en la figura 25, el cual está formado por la región compren-dida entre la parábola , la recta y la recta . Resp.:




41. Determinar la posición del centro de masa del cuerpo plano homogéneo de den-sidad mostrado en la figura 26a, el cual está formado por un rectángulo y uncuarto de círculo. Resp.: .

Figura (26): (a) Problema 41 y (b) problema 42.

42. Determinar la posición del centro de masa del cuerpo plano homogéneo de den-sidad mostrado en la figura 26b, el cual está formado por un rectángulo y unaporción de la parábola . Resp.: .

43. Una chapa homogénea de densidad tiene la forma correspondiente a un cuartode la superficie de la elipse de semiejes y , como se muestra en la figura 27a.Encontrar la posición del centro de masa para el sistema de referencia indicado.Resp.:




44. Determinar la posición del centro de masa del cuerpo plano homogéneo dedensidad mostrado en la figura 27b, el cual está formado por la región com-prendida entre la recta y la parábola . Resp.:

45. Resuelva el problema 44 empleando la propiedad de agrupamiento del centrode masa, viendo el cuerpo formado por la región como el resultado de restarle laregión a la región (ver figura 28).


46. Encontrar la posición del centro de masa del sector circular homogéneo de densi-dad que se muestra en la figura 29a. Resp.: .




47. Determinar la posición del centro de masa de la papelera de base semicircularsin tapa, mostrada en la figura 29b, y construida con una placa homogénea dedensidad . Resp.:

48. Calcular la posición del centro de masa de la placa homogénea de densidadmostrada en la figura 30. Resp.:




49. Encontrar la posición del centro de masas de la varilla no homoénea de longitudmostrada en la figura 31a, cuya densidad lineal varía con la longitud según la

relación . Resp.: .


50. Con un alambre de densidad constante se moldea una figura constituida pordos regiones y en forma de semicircunferencias de radios y respecti-vamente, como se muestra en la figura 31b. Encontrar la posición de su centro demasa. Resp.:

51. Determinar el centro de masa de la semiesfera de radio mostrada en la figura32a en la que la densidad en cada punto varía como,

donde k es una constante positiva. Resp.: .




52. Encontrar la posición del centro de masa del semicilindro mostrado en la figura 32bsi su densidad es constante. Resp.: .

53. Se dispara un misil balístico. En un punto de su trayectoria y en el momento enque su velocidad es se fragmenta en pedazos, cada uno con de la masadel mismo. Justo después de la fragmentación, uno de los fragmentos continúacon una velocidad igual a la mitad de la velocidad que tenía el misil en elinstante antes de fragmentarse y los fragmentos restantes adquieren velocidades

y de igual magnitud pero perpendiculares entre sí. Encontrar las velocidadesde estos dos últimos fragmentos en función de la velocidad del misil justo antes desu fragmentación. Resp.: .

54. Mostrar que para un sistema de dos partículas de masas y (ver figura 33) setiene que:

a) y , , cuando se coloca el origen del sistemade referencia inercial escogido en el lugar donde está posicionado el centro demasa. Aquí es la masa reducida del sistema de partículas.

b) el momento angular es,

donde es el vector de posición de con respecto a y es la veloci-dad relativa de con respecto a . Usense los resultados obtenidos en (a).

Figura (33): Problemas 54 y 58.



55. Un sistema partículas de discreto está formado por partículas de masa unitariacuyas posiciones y velocidades son las siguientes:

encontrar:

a) La posición del centro de masa, la velocidad del mismo y el momento lineal totaldel sistema. Resp.:

b) La energía cinética total del sistema. Resp.: .

c) La energía cinética del centro de masa. Resp.: .

d) El momento agular del sistema en torno al origen. Resp.: .

56. Mostrar que para un sistema de dos partículas de masas y la energía cinéti-ca viene dada por , donde es la velocidad relativa de lapartícula con respecto a la y es la masa reducida del sistema.

57. Encuentre la posición del centro de masa del cono homogéneo de densidadmostrado en la figura 34. Resp.: .




58. Dos cuerpos de masas y se mueven bajo la acción de su gravitación mutua(ver figura 33). Mostrar que las ecuaciones de movimiento para , y

con respecto al centro de masa del sistema vienen dadas por,

donde la prima indica que el vector tiene su origen en el centro de masa. Aquí, y son versores en la dirección de , y respectivamente. Las

anteriores expresiones indican que la Ley de Gravitación se mantiene con respectoal centro de masa pero modificada por factores de masa, lo que significa que lastrayectorias siguen siendo cónicas.

59. Encontrar la posición del centro de masa de la placa rectangular mostrada enla figura 35a si su densidad viene dada por,

Resp.: .


60. Determinar el centro de masa de la semiesfera homogénea de densidad y radiomostrada en la figura 35b. Resp.: .

61. Se tiene un sistema formado por tres partículas idénticas entre las que se han colo-cado dos resortes comprimidos de masa despreciable. Inicialmente el sistema está



en reposo sobre una mesa sin rozamiento y horizontal, manteniéndose unido gra-cias a unos hilos. En cierto instante los hilos se cortan de manera que las masascomienzan a moverse sobre la mesa. Sabiendo que la energía almacenada en losresortes es y que las velocidades y de dos de las masas son de idénticamagnitud y perpendiculares entre sí, ¿cuáles serán las velocidades delas tres masas una vez puestas en movimiento?. Escójase un sistema de referenciacuyo centro se encuentre en la posición inicial del centro de masa del sistema, yúsese un sistema de coordenadas Cartesiano cuyo eje sea perpendicular a la su-perficie de la mesa y cuyos ejes y son paralelos a las velocidades y . Resp.:

; ; .

62. Se tiene un sistema formado por dos bolas pequeñas (consideradas como partícu-las) de masas y unidas por una barra rígida uniforme de longitud (ver figura36). El centro de masa del sistema se desplaza con velocidad uniforme ,mientras rota con una una rapidez angular uniforme alrededor de su centro.Supóngase que en la posición del centro de masa coincide con el origendel sistema de referencia.


a) Mostrar que la distancia entre y el centro de masa y la distancia entrey el centro de masa vienen dadas por,



b) Mostrar que el momento lineal del centro de masa del sistema viene dadopor,

donde , confirmando que el momento del sistema es igual al pro-ducto de la masa del mismo por la velocidad de su centro de masa (independi-entemente de que la tasa de rotación sea uniforme).

c) Mostrar que la energía cinética total del sistema viene dada por,

donde es la masa reducida del sistema. El primer término es la energía cinéticatraslacional del centro de masa del sistema y el segundo término la suma delas energías cinéticas de cada una de las partículas del sistema medidas conrespecto al centro de masa.

63. Una persona de masa está parada en el interior de una canoa de masay de longitud (suponga que su centro de masa se encuentra a la mitad de sulongitud). En un momento comienza a caminar desde un punto a una distancia

del extremo hacia un punto a una distancia del otro extremo. Despreciandola resistencia al movimiento de la canoa en el agua, ¿qué distancia se muevela canoa?. ¿Qué ocurre cuando ?. Escójase un sistema de referencia cuyoorigen coincida con el extremo de la canoa donde inicialmente se encuentra para-do el hombre y de tal forma que el eje vaya a lo largo de la misma (ver figura 37).Resp.: . Cuando (si la canoa fuese un carguero petroleropor ejemplo) entonces no se movería!.


64. Mostrar, sin tomar un valor particular de , las siguientes expresiones que aparecenen el estudio de la Dinámica de un Sistema de Partículas,



a) .

b) .


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