Sistemas dinámicos

1) Modelos de Sistemas

En la vida diaria empleamos instintivamente modelos a la hora de tomar decisiones sobre determinados aspectos de la realidad; en ingeniería, constantemente se está aplicando un modelo determinado para describir alguna situación u objeto, en la electrónica, encontramos modelos como por ejemplo el modelo hibrido de un transistor.

Ahora bien, el proceso de toma de decisiones se elige una entre varias acciones posibles, teniendo en cuenta el efecto que dicha acción, por lo cual dicha relación entre las acciones y efectos de estas es lo que se denomina modelo de un sistema. Por lo que en el proceso en el que se toman decisiones se está empleando un modelo del sistema.

Tenemos entonces que, la relación que liga las acciones Ui (entradas) con los efectos Yj (salidas), según Y = R(U), constituye la representación formal de un modelo.

Cuando construimos un modelo de un sistema real, se atraviesan una serie de etapas o niveles de modelización, que son la etapa de Formulación, etapa de verificación, etapa de simulación.

1.1Formulacion

La formulación del modelo, incluye un análisis conceptual básico en el cual es necesario hacer suposiciones y simplificaciones. Se comienza estudiando el sistema real y a continuación se construye un modelo conceptual que contiene todos los elementos que se consideran relevantes del sistema, que comúnmente se denomina etapa de Formulación.

1.2Verficacion

En la etapa de verificación se pasa a un modelo lógico que contiene las relaciones lógicas entre los elementos.

El desarrollo del modelo es un proceso iterativo en el que hay sucesivos refinamientos en cada etapa. El paso entre las distintas etapas está marcado por el éxito o fracaso al realizar la verificación en las mismas. Cuando se verifica un modelo, se establece que el modelo es una representación creíble del sistema real, cuando se verifica un modelo se determina si la lógica del modelo ha sido correctamente implementada.

1.3 Simulación

Por último en la etapa de simulación se construye el modelo de ordenador (o modelo de simulación) que ejecuta la lógica recogida en la fase anterior. Es decir, una vez el modelo está definido se procesa en la computadora con el fin de obtener resultados que nos permitan comparar el modelo con la realidad. Cabe resaltar que es necesario comprobar que el modelo simulado cumple con los requisitos de diseño para los que se elaboró.

2) Concepto de Estado

Formalmente podemos dar el concepto de estado como:

El Estado de un sistema en el tiempo to (o en k0 si es discreto) como la cantidad de información necesaria en ese instante de tiempo para determinar de forma única, junto con las entradas u, el comportamiento del sistema para todo t ≥ t0 (o para todo k ≥ k0 si es discreto),

Es decir, es el conjunto de variables que, junto con la entrada, determinan la configuración futura y las salidas del sistema.

Los sistemas dinámicos se rigen por ecuaciones diferenciales y de diferencia; este tipo de ecuaciones tienen una única solución si se establece un conjunto de condiciones, denominadas condiciones auxiliares; usualmente ´estas determinan en el instante de tiempo considerado como inicial o tiempo cero , y por tanto se denominan condiciones iniciales

3) Respuesta a entrada cero y Respuesta ha estado cero.

Supóngase que un sistema dinámico lineal como el de la figura, cuya relación entre la entrada u(t) y la salida y(t) esta descrita por la siguiente ecuación diferencial genéricaY8s)

Que al presentarlo un forma de sumatoria y aplicándole Laplace tendríamos la ecuación

La ecuación anterior muestra que la respuesta de un sistema dinámico continuo puede descomponerse en dos partes:

En primer lugar Respuesta de estado cero: Es la primera parte de la ecuación. Depende de la entrada U(s) y no de las condiciones iniciales; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero, es decir, si su estado inicial es cero (de allí su nombre).

En segundo lugar Respuesta de entrada cero: Es la segunda parte de la ecuación. Depende de las condiciones iniciales y no de la entrada U(s); de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es cero (de allí su nombre).

4) Sistemas de parámetros concentrados y Sistemas de parámetros distribuidos.

Cuando se trata de modelar matemáticamente fenómenos o sistemas reales con frecuencia se utilizan entidades ideales: (masa puntual, carga concentrada en un punto del espacio etc... es decir, consideramos que los valores que determinan las características físicas de los objetos se encuentran concentrados en un punto. Estas entidades que no tienen existencia real reciben el nombre de elementos de parámetros concentrados. Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ejemplo: 2 sin(2 ) 2 2 x t dt dx dt d x + × - = ×

Ahora bien, En el mundo real las masas no son puntuales, las resistencias eléctricas presentan un efecto capacitivo e inductivo distribuido a lo largo del componente etc... Los modelos que tienen en cuenta este tipo de características se denominan modelos de parámetros distribuidos. Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

7) Sistemas autónomos y No autónomos.