taller mates parcial 1
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Matematicas especiales para fisicaTRANSCRIPT
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CURSO: Metodos Especiales I para FsicaPROFESOR MATERIA: Alvaro Valdes de LuxanPRIMER TALLER.Fecha de entrega: en el primer parcial.
PROBLEMAS.
1. Demuestre que en coordenadas cilndricas: r = e + zez
2. Escriba en coordenadas esfericas A = xyi xj+ 3xk y exprese Ar, A y A en terminos de r, , .
3. Encuentre si son ortogonales los sistemas de coordenadas definidos por:
x = 2uv, y = u2 + v2, z = v
x = 2uv, y = u2 v2, z = v
4. A partir de la identidad A (BC) = (A C)B (A B)C con A =
Aiei, etc. Y teniendo en
cuenta que ei ej =3
k=1 ijkek probad que
3k=1
ijklmk = iljm imjl
Demostrad ademas que:3jk=1 ijkljk = 2il
AB =3
ijk=1 ijkAiBj ek
A BC =3
ijk=1 ijkAiBjCk
A BC = B CA = C AB
A BA = 0
(AB) (AB) = A2B2 (A B)2
(AB) (CD) = (A C)(B D) (A D)(B C)
5. Sabiendo que se cumple:
ei =1
2
jk
ijkej ek
ei
uj=
ej
hi
hj
ui, i 6= j
Demostrad que:
ei
ui=jkl
ijkiljel
hk
hi
uk=
k 6=i
ek
hk
hi
uk
6. Calcule eiuj
donde ui, uj son las coordenadas cilndricas (, , z). Hagalo tambien para las coorde-
nadas cartesianas (r, , ).
7. Calcule los factores de escala en coordenadas cilndricas y los elementos de lnea, superficie y volu-men. Ademas, demuestre que:
e = e, e = e, ez = 0
v = drdt
= e+ e+ ez z
a = dvdt
= e( 2) + e(+ 2) + ez z
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8. Si f = f(r) con r =x2 + y2 + z2, demuestre que f(r) = rdf(r)
dr.
9. Consideremos una transformacion de coordenadas xi =3
j=1 aijxj donde las xi son las coordenadas
cartesianas, las aij son las componentes de una matriz ortogonal (3
i=1 ajiaki = jk) y los factoresde escala son hi=1, para i = 1, 2, 3. Probad que
2 yA son invariantes bajo esta transformacion.
Nombra un tipo de transformacion que cumpla las condiciones anteriores.
10. Evalue (rrn) y (rrn) en coordenadas cartesianas.
11. Compruebe el Teorema de Gauss para el campo vectorial A = 4xi 2yj+ z2k, sobre la superficiey el volumen de una esfera de radio 4.
12. Evalue (rf(r)) en coodenadas cartesianas y cilndricas. f(r) es funcion de r =x2 + y2 + z2.
13. Demuestre que 2 y A son invariantes bajo rotacion de coordenadas.
Consideremos una transformacion de coordenadas xi =3
j=1 aijxj donde las xi son las coor-
denadas cartesianas, las aij son las componentes de una matriz ortogonal (3
i=1 ajiaki = jk)y los factores de escala son hi=1, para i = 1, 2, 3. Probad que
2 y A son invariantesbajo esta transformacion.
14. Halle la circulacion del campo A = (x2 y2)i+ 2xyj en:
En un contorno cuadrado delimitado por los ejes cartesianos y las rectas x = 1 y y = 1.
Un crculo de centro en el origen y radio 2.
15. Dados los siguientes campos escalar y vectorial g(x, y, z) = 7x+4y2 5z y f(x, y, z) = 3x2 i 3yj+
z2k, convierta cada uno a cilndricas y a esfericas, luego halle gradiente, divergencia, rotacional ylaplaciano en cartesianas, esfericas y cilndricas.
16. Demuestre que los operadores gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas esferi-cas se obtienen por la teora de factores de escala y por la regla de la cadena.
17. El vector potencial de un dipolo magneticom esA(r) = 04pimrr3
. Demuestre que el campo magneticoB = A es:
B(r) =0
4r3
[3r(r m)
r2m
]
18. Demuestre quef(r)(r r)dV = (f(r))r=r
19. Pruebe que:
f(x)[g(x)]dx =Nk=0
[f(x)
(dg(x)
dx
)1]x=xk
Donde las xk son las N races de g(x) = 0. Ademas se pide que(dg(x)dx
)6= 0.
20. Demuestre que el angulo solido subtendido por el cono de abertura en coordenadas esfericas es = 2(1 cos ).
21. Halle el angulo solido, medido desde el origen de coordenadas, que subtiende el rectangulo situadoen el plano y = b y limitado por las lneas x = a, x = a, z = c, z = c.