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Taller de Técnicas de Pronósticos

Tema:

Ejemplos de Análisis de Modelos de Función de Transferencia.

Norman Giraldo Gomez

Especialización en Estadística

Noviembre 8 de 2005

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Temas del Taller

• Ejemplo No 1.

Análisis de un modelo de función de transferencia para las series:

y(t) = tasa de empleo en el país (trimestral)

x(t) = volumen de exportaciones en mill de usd (mensual)

Modelo: )t()bt(x)L(v)t(y

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Gráficas de las Series: exportaciones en mill y empleo

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Resumen de los Pasos para el Análisis de los Modelos de Función de Transferencia

Los pasos a implementar son:

1) Identificar el proceso de entrada

identify var=x nlag=20; run;

2) Ajustar un modelo al proceso de entrada

estimate p=3; run;

3) Calcular la correlación cruzada de las series preblanqueadas

identify var=y crosscorr=(x) nlag=10; run;

4) Ajustar el modelo de transferencia, mirar fac y fac parcial de residuos

estimate input=( 3 $ (1,2)/(1,2) x ) plot; run;

5) Estime el modelo completo

estimate p=2 input=( 3 $ (1,2)/(1) x ); run; quit;

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Instrucciones SAS iniciales: lectura y preparación de los datos. Análisis inicial de x(t) = ln(exptot)

dm 'output;clear'; dm 'log;clear';

data uno;infile 'c:\pib_empleo.dat';input fecha YYQ6. pib e d p;format fecha YYQ6.;run;

data a2;infile 'c:\sec_ext_009.prn';input exptot exptrad expnotrad;fecha = intnx('month','01Jan1970'd,_n_);format fecha MMDDYY10.;run;

proc expand data=uno out=a1 to= month;

id fecha;convert pib e d p;run;data a2; set a2; format fecha MMDDYY10.; run;

data todo;merge a1 a2;by fecha;if fecha >= '01Jan1984'd;e=log(e);exptot = log(exptot);run;

proc arima data = todo;identify var = exptot(1) scan; run; quit;

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Paso intermedio: usar el proc expand para cambir de trimestral a mensual la serie y(t) = empleo

proc expand data=uno out=a1 to = month;

id fecha;

convert pib e d p;

run;

Grafica No 1. Serie empleo trimestral Gráfica No 2. Serie mensual

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Análisis de la serie x(t) = exportaciones mensuales en millones de pesos (tradicionales y no tradicionales)

fac 0 0.023811 1.00000 | |********************| 0 1 -0.011806 -.49582 | **********| . | 0.062137 2 0.00043041 0.01808 | . | . | 0.075890 3 0.0023558 0.09894 | . |**. | 0.075907 4 -0.0036801 -.15455 | ***| . | 0.076403 5 0.00085832 0.03605 | . |* . | 0.077601 6 -0.0002693 -.01131 | . | . | 0.077666 7 0.0013720 0.05762 | . |* . | 0.077672 8 -0.0005054 -.02122 | . | . | 0.077837 9 -0.0008757 -.03678 | . *| . | 0.077859 10 0.00065875 0.02767 | . |* . | 0.077926 11 -0.0006764 -.02841 | . *| . | 0.077964 12 0.0022580 0.09483 | . |**. | 0.078004

fac parcial 1 -0.49582 | **********| . | 2 -0.30200 | ******| . | 3 -0.05709 | .*| . | 4 -0.16272 | ***| . | 5 -0.16020 | ***| . | 6 -0.15911 | ***| . | 7 -0.02427 | . | . | 8 -0.01394 | . | . | 9 -0.07603 | **| . | 10 -0.07404 | .*| . | 11 -0.06969 | .*| . | 12 0.08718 | . |** | 13 0.04695 | . |*. | 14 0.08788 | . |** | 15 0.00178 | . | . | 16 -0.14281 | ***| . |

----SCAN--- p+d q

3 1 1 3 (opción escogida) 0 4

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Análisis de la respuesta al impulso mediante la correlación cruzada con las series preblanqueadas

proc arima data = todo;identify var = exptot(1) noprint; estimate p = 1 q = 3 method = ml noprint;identify var = e(1) crosscor=(exptot(1)) nlag=30 outcov=a3;run; quit;

symbol1 c = red v = none i = needle;symbol2 c = red v = circle i = none;symbol3 c = blue v = none i = j;data a3; set a3; if lag >= 0; mstderr = -stderr; run;

proc gplot data = a3;title 'Analisis y=empleo vs x=exportacines';plot corr*lag=1 corr*lag=2 stderr*lag=3 mstderr*lag=3/overlay;where(crossvar='exptot');run; quit;

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Pre-blanquear y calcular la respuesta al impulso de las series x(t) y y(t)

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Observar las correlaciones cruzadas y los resultados de las pruebas Ljung-Box

Crosscorrelation Check Between Series

To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq --------------------Crosscorrelations-------------------

5 20.51 6 0.0022 0.114 0.117 0.137 0.150 0.121 0.044 11 26.55 12 0.0090 -0.039 -0.078 -0.034 0.035 0.085 0.088 17 33.08 18 0.0163 0.061 0.054 0.077 0.096 0.072 -0.001 23 40.34 24 0.0196 -0.074 -0.099 -0.051 0.020 0.070 0.081 29 49.08 30 0.0154 0.063 0.063 0.090 0.110 0.087 0.017

CONCLUSION: aparentemente sí existe una correlación cruzada significativa entre las series porque la hipótesis nula de incorrelación se rechaza al nivel de 5%. Sin embargo, las correlaciones son muy bajas : las mayores son de 0.15, 0.13, etc.!!!!

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Modelo escogido para transferencia

• Se nota posible rezago. Ensayamos b=1, 2

• En el denominador puede ir un factor cuadrático porque parece

que existiera un patrón periódico

• En el numerador parece haber componente MA de orden 1

• El modelo a ensayar es:

)t()bt(xLL1

)L1(wc)t(y

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Instrucciones en SAS

proc arima data = todo;

identify var = exptot(1) noprint;

estimate p = 1 q = 3 method = ml noprint;

identify var = e(1) crosscor=(exptot(1)) nlag=30 outcov = a3 ;

estimate input =(2$(1)/(1,2) exptot) altparm method = ml maxiter = 50;

forecast lead = 4 out = a4 id = fecha interval = month;

run; quit;

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Resultados preliminares sin incluir el modelo para los residuos

Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag Variable Shift

MU 0.0005258 0.0004463 1.18 0.2388 0 e 0 SCALE1 0.0033403 0.0013164 2.54 0.0112 0 exptot 2 NUM1,1 1.12130 0.22979 4.88 <.0001 1 exptot 2 DEN1,1 1.73903 0.0090747 191.63 <.0001 1 exptot 2 DEN1,2 -1.01540 0.0094646 -107.28 <.0001 2 exptot 2

Model for variable e

Estimated Intercept 0.000526Period(s) of Differencing 1

Input Number 1

Input Variable exptotShift 2Period(s) of Differencing 1Overall Regression Factor 0.00334

Constant Estimate 0.000526 Variance Estimate 0.000047 Std Error Estimate 0.006888

Numerator Factors

Factor 1: 1 - 1.1213 B**(1) Denominator Factors Factor 1: 1 - 1.73903 B**(1) + 1.0154 B**(2)

)t()bt(xlnLL1

)L1(wc)t(yln

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Examinen de los residuos

Grafica No 3. Fac de los residuos Gráfica No 4. Fac parcial residuos

ARMA(p+d,q) Tentative Order Selection Tests ----SCAN--- p+d q 4 4

Modelo sugerido para residuos: arma(4, 4) . También: ar(5)

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Instrucciones SAS

proc arima data = todo;

identify var = exptot(1) noprint;

estimate p = 1 q = 3 method = ml noprint;

identify var = e(1) crosscor=(exptot(1)) nlag=30 outcov = a3 ;

estimate p=4 q=4 input =(2$(1)/(1,2) exptot) altparm method = ml maxiter = 150;

forecast lead = 12 out = a4 id = fecha interval = month;

run; quit;

symbol1 c = red v = none i = needle;

symbol2 c = red v = circle i = none;

symbol3 c = blue v = none i = j;

symbol4 c = red v = circle h = 0.5 i = j;

data a3; set a3; if lag >= 0; mstderr = -stderr; run; proc gplot data = a3;

title 'Analisis y=empleo vs x=exportacines';

plot corr*lag=1 corr*lag=2 stderr*lag=3 mstderr*lag=3/overlay;

where(crossvar='exptot');

run; quit;

proc arima data = a4;

identify var = residual scan outcov = a5;

run; quit;

data a5; set a5; if lag >= 0;

mstderr = -stderr;

run;

proc gplot data = a5;

plot corr*lag=1 corr*lag=2 stderr*lag=3 mstderr*lag=3/overlay;

plot partcorr*lag=1 partcorr*lag=2 stderr*lag=3 mstderr*lag=3/overlay;

run; quit;

proc gplot data = a4;

plot forecast*fecha = 3 e*fecha = 4/overlay legend=legend ;

plot residual*fecha=4;

run; quit;

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Resultados finales

Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag Variable Shift

MU -0.0001117 0.0017345 -0.06 0.9486 0 e 0

MA1,1 -1.44340 0.09581 -15.07 <.0001 1 e 0

MA1,2 -1.92602 0.10420 -18.48 <.0001 2 e 0

MA1,3 -1.25708 0.10747 -11.70 <.0001 3 e 0

MA1,4 -0.64617 0.06716 -9.62 <.0001 4 e 0

AR1,1 0.82904 0.11663 7.11 <.0001 1 e 0

AR1,2 -0.67013 0.17818 -3.76 0.0002 2 e 0

AR1,3 -0.07254 0.17461 -0.42 0.6778 3 e 0

AR1,4 -0.03575 0.10674 -0.33 0.7377 4 e 0

SCALE1 0.0002490 0.0001918 1.30 0.1942 0 exptot 2

NUM1,1 -0.44004 0.47565 -0.93 0.3549 1 exptot 2

DEN1,1 -0.01581 0.02066 -0.77 0.4440 1 exptot 2

DEN1,2 0.99015 0.01843 53.73 <.0001 2 exptot 2

Resultado: desafortunadamente se pierde la relación con la serie

de exportaciones porque los parámetros w y θ no son significativos.

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La matriz de correlaciones entre los parámetros muestra valores muy altos.

Variable e e e e e e e Parameter MU MA1,1 MA1,2 MA1,3 MA1,4 AR1,1 AR1,2

e MU 1.000 0.001 -0.004 0.001 -0.016 -0.009 0.021 e MA1,1 0.001 1.000 0.751 0.894 0.481 0.827 -0.778 e MA1,2 -0.004 0.751 1.000 0.922 0.885 0.628 -0.319 e MA1,3 0.001 0.894 0.922 1.000 0.763 0.741 -0.548 e MA1,4 -0.016 0.481 0.885 0.763 1.000 0.407 -0.059 e AR1,1 -0.009 0.827 0.628 0.741 0.407 1.000 -0.807 e AR1,2 0.021 -0.778 -0.319 -0.548 -0.059 -0.807 1.000 e AR1,3 -0.015 0.690 0.172 0.428 -0.070 0.697 -0.950 e AR1,4 0.022 -0.294 0.242 -0.026 0.388 -0.193 0.664 exptot SCALE1 0.276 0.006 -0.052 -0.013 -0.093 -0.022 -0.009 exptot NUM1,1 -0.306 -0.033 0.030 -0.013 0.073 0.000 0.034 exptot DEN1,1 -0.857 -0.013 0.020 -0.004 0.047 0.010 -0.002 exptot DEN1,2 -0.858 0.002 0.029 0.009 0.055 0.020 -0.016

Variable e e exptot exptot exptot exptot Parameter AR1,3 AR1,4 SCALE1 NUM1,1 DEN1,1 DEN1,2

e MU -0.015 0.022 0.276 -0.306 -0.857 -0.858 e MA1,1 0.690 -0.294 0.006 -0.033 -0.013 0.002 e MA1,2 0.172 0.242 -0.052 0.030 0.020 0.029 e MA1,3 0.428 -0.026 -0.013 -0.013 -0.004 0.009 e MA1,4 -0.070 0.388 -0.093 0.073 0.047 0.055 e AR1,1 0.697 -0.193 -0.022 0.000 0.010 0.020 e AR1,2 -0.950 0.664 -0.009 0.034 -0.002 -0.016 e AR1,3 1.000 -0.778 0.020 -0.044 -0.007 0.007 e AR1,4 -0.778 1.000 -0.044 0.059 0.011 0.001 exptot SCALE1 0.020 -0.044 1.000 -0.904 -0.608 -0.631 exptot NUM1,1 -0.044 0.059 -0.904 1.000 0.663 0.595 exptot DEN1,1 -0.007 0.011 -0.608 0.663 1.000 0.972 exptot DEN1,2 0.007 0.001 -0.631 0.595 0.972 1.000

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Interpretación

• Warning Message: Estimates may not have converged.

• Cuando hay altas correlaciones entre los parámetros estimados es

signo de que la función que representa el error mínimo cuadrático y

que depende de los parámetros a estimar, tiene forma aplanada, y

no es posible encontrar un conjunto de parámetros que la minimice.

• No se encuentra un solo valor de los parámetros: por eso el

algoritmo no converge. Los parámetros obtenidos no son confiables

• El modelo propuesto está especificado incorrectamente o es

demasiado complicado

• Qué sucedió?. La correlación cruzada no era muy fuerte y no

permitió detectar una función de transferencia entre las series.

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Pronósticos

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Pronósticos

• No parecen está bien estos pronósticos?

• R/ Sí. Pero corresponden a pronósticos con base en la misma

series de empleo, no tiene incorporado el efecto de las

importaciones que era lo que se pretendía

• Posiblemente un modelo arima para el empleo, o el logaritmo del

empleo, produzca unos pronósticos semejantes o mejores.

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Ejemplo sugerido: ver Manual SAS proc ARIMA, la sección de Ejemplo.

The ARIMA Procedure

Example 11.3: Model for Series J Data from Box and Jenkins

This example uses the Series J data from Box and Jenkins (1976). First the input

series, X, is modeled with a univariate ARMA model. Next, the dependent series, Y,

is cross correlated with the input series. Since a model has been fit to X, both Y and

X are prewhitened by this model before the sample cross correlations are computed.

Next, a transfer function model is fit with no structure on the noise term. The residuals

from this model are identified by means of the PLOT option; then, the full model,

transfer function and noise is fit to the data.

The following statements read Input Gas Rate and Output CO2 from a gas furnace.

(Data values are not shown. See "Series J" in Box and Jenkins (1976) for the values.)

NOTA: Los datos para este ejemplo se pueden obtener en Internet haciendo una

búsqueda de “Series J data from Box and Jenkins “.