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Taller de talento matemático Departamento de matemáticas

Combinatoria Contar collares


Paz Jiménez SeralUniversidad de Zaragoza


“La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.”

CombinatoriaEl arte de contar


En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind compró en Luxor (Egipto) el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 antes de nuestra era.

Comienza con la frase: “Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios.”

El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia antigua conocida.

El papiro Rhind (problema 79)


Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria. Veamos una versión “moderna”...

El papiro Rhind (problema 79)


Yendo al pueblo de San Marcosme crucé con un señor con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Entre gatitos, gatos, sacos y esposas, ¿Cuántos iban a San Marcos?

(En mi primer libro)

La regla del producto


La respuesta es ninguno

Pero cruzarme, me cruce en total con

7 esposas. 7sacos. 7gatos. 7gatitos

Total =74


¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas?

El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067. Si por cada ordenación tomamos un granito de arena tan

pequeño que caben 10 en un mm3 ¿Cuantas planetas como la Tierra huecos, necesitamos para meter la arena?

Explosión combinatoria


¿Cuántos collares distintos podemos hacer?

Si tenemos 5 bolas negras, 5 azules y 3 rojas. Las bolas son esféricas Los collares no tienen broche Pasamos un hilo y unimos los extremos

Si tenemos 13 bolas distintas. Si ponemos las 13 bolas distintas en fila.


¿Cuántas formas hay de colocar en fila 13 bolas?

13 bolas distintas las podemos poner en fila de 13.12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1=13! formas

¿Y si tenemos 5 bolas negras, 5 azules y 3 rojas? Piensa que tenemos que elegir 5 lugares para las

negras, 5 para las azules y 3 para las rojas.

¿Serán 13.12.11.10.9 las posibles formas de elegir los lugares para las negras?


NO!!!!

Da igual elegir los lugares 1,3,4,2 y 9 que los lugares 4,2,9,1 y 3.

¿Si hemos elegido 5 lugares de cuantas formas se pueden ordenar?

De 5! formas. Las posibles maneras de elegir los 5 lugares

para colocar las bolas negras son 13.12.11.10.9/5!


Volvemos al problema

¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 bolas negras, 5 azules y 3 rojas?

La respuesta es

(13.12.11.10.9/5!)(8.7.6.5.4/5!)(3.2.1)/3!=13!/5!5!3!


Pasamos el hilo para hacer collares

Nos encontramos con filas distintas que dan el mismo collar.

Por ejemplo, estas dos filas me dan collares iguales


¿Cuántas filas me dan un mismo collar?

Nos encontramos con filas distintas que dan el mismo collar. Vamos a pensar en los lugares de la fila numerados.

De estas filas 8 9 11

13

754321 126

1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12

1310

7


Sería mas sencillo si fuesen bolas distintas…

Vamos a hacerlo otra vez mas sencillo


(1) El collar lo podemos mover con permutaciones

cíclicas y simetrías.

Con cuatro bolas distintas? ¿Y con 7? ¿Y con n?


Espejo

Permutaciones cíclicas

Permutaciones simétricas

Como el número total de filas es

igual a 4! = 24, tendremos 24 / 8 = 3 collares distintos .


(2) Si hay 7 bolas distintas tendremos

7! / (7 x 2) = 360 collares.

(3) Y, en general, en el caso de n bolas distintas:

n! / (n x 2) formas.


¿Cuántas filas me dan un mismo collar?

8

10

11

13

7

5

4

32

1112

6 78

10

12

6

4

3

21

11311

59

9


Las filas que hemos puesto antes

8

10

11

13

7

5

4

32

1112

6 910

12

1

8

6

5

43

1213

79

11


Volvemos al problema ¿Con cuantas filas consigo el mismo collar?

Más concreto. ¿Con cuantas filas consigo el collar anterior? Imagina el collar y una ruleta con los números debajo. Si muevo la

ruleta tengo una numeración para las bolas y por tanto una fila que me proporciona el collar.

¿Cuántos movimientos distintos puede hacer la ruleta? Giros de trece amplitudes distintas. (El uno puede quedar en trece

bolas distintas) ¿Estás seguro de que así obtenemos 13 filas distintas?


Con otro collar distinto…..

89

10

12

75

4

32

1111

6

13


Un paso mas del problema

¿cuántas filas consigo con este collar girando la ruleta?

Sí también son trece. Pero ¿Y con otro collar? ¿Hay alguna posibilidad de que sean menos de 13? Hay que pensar en un giro de la ruleta que me

pueda llevar de una fila a la misma fila. ¿Puede ser?


Que ocurre con este collar?

8

9

10

12

75

4

32

1111

6


No es de los nuestros!Tiene 12 bolas y ..

Pero en este caso girando la ruleta solo consigo 3 filas distintas.

En nuestro caso ¿dónde tendrían que estar las bolas negras?

Necesitaríamos un número de bolas negras divisor de 13 y tenemos 5.

En nuestro caso, girando la ruleta con cualquier collar obtenemos 13 filas distintas.


¿Hay mas filas para el mismo collar?

Teniendo la ruleta, le puedo dar la vuelta al collar y tengo otra fila distinta.


Piensa en las filas que salen así

89

11

13

7

5

4

32

1112

6 5

4

3

1

6

9

10

1112113

2

7

10

8


Vamos a ordenar el razonamiento

Supongamos que el collar está sobre los trece números que forman un polígono regular de trece lados.

Hay trece giros del collar. La composición de dos giros es otro giro y para cada giro hay otro que me lleva el collar a su posición inicial.

Dar la vuelta al collar es otro movimiento que me proporciona una nueva numeración para las bolas. Puedo dar la vuelta al collar de 13 modos distintos. Siempre hay una bola que queda en su sitio y permuto de dos en dos las demás. Son simetrías.


Sigue La composición de un giro y una simetría es una simetría. Y

una simetría con un giro también es una simetría. Partiendo de una posición del collar y aplicando los 26

movimientos obtenemos, cortando el hilo antes del 1, 26 filas de bolas.

La cuestión es si puede haber dos filas iguales. Las dos filas parten del mismo collar con una numeración, para obtener una, hemos aplicado un movimiento y para la otra, otro movimiento. Si hemos llegado a la misma fila al aplicarle el inverso de uno de los dos obtenemos la numeración de partida. Así que hay un collar numerado(fila) y un movimiento que me lo lleva a otra numeración que da la misma fila.

Ya hemos comentado que no puede ser un giro. Pero tampoco puede ser simetría por ser impares las bolas de dos colores.


Volvemos al problema

¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 bolas negras, 5 azules y 3 rojas?

La respuesta es

(13.12.11.10.9/5!)(8.7.6.5.4/5!)(3.2.1)/3!=13!/5!5!3!

Partido por 26, es decir

12!/5!5!3!2= 2772collares


Mas problemas: ¿De cuantas formas se puede pintar un tetraedro regular con

una cara azul otra verde otra roja y otra negra?. Y si tengo cinco colores ¿de cuántas formas se pueden pintar

las caras del tetraedro suponiendo que no se puede repetir color?

Y si tengo cinco colores ¿de cuántas formas se pueden pintar las caras del tetraedro suponiendo que sí se puede repetir color?

Imagínate del tetraedro quieto. Son 54 formas. Ahora lo mueves y pasas de una posibilidad a otra.

¿De cuantos modos puedes mover el tetraedro?


Y Mas problemas:

Hay 12 giros que dejan fijo el tetraedro. Descríbelos, imagínalos. Si de una de las posibilidades contadas antes paso a otra las dos me dan el mismo tetraedro.

Suma divide y cuenta el total de tetraedros. ¿Y si en vez de un tetraedro es un cubo? Te aconsejo que no lo intentes resolver sin un poquito de

teoría de grupos. Y si quieres pregúntame las soluciones en [email protected]

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