taller colaborativo 2l
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taller algebra lineal 2TRANSCRIPT
Colaborativo 2 presentado por
LUIS EYDER ORTIZ COLLAZOS
CC. 76.332.853
Primera parte
−x−4 y−11 z=−15
x−9 y+z=−8
−x+6 z=6
Convertimos la ecuación a matriz.
−1−4−11∨−15
1−91∨−8
−1 06∨6
La fila se divide por (-1), para convertir a positivos
f 1=−1−1
=1− 4−1
=4− 11−1
=11− 15−1
=15
1 4111 5
1−91−8
−1 06 6
Fila 1 multiplicada por (-1) mas Fila 2
(−1 ) (14 1115 )=−1−4−11−15
1−91−8
____________________________
0−13−10−23
1 411∨1 5
0−13−10∨−23
−1 06∨6
Fila 1 mas fila 3
1+(−1 )=0 4+0=411+6=17 15+6=21
1 411∨15
0−13−10∨−23
0 4 17∨21
Fila dos dividida por -13
−13−13
=1− 10−13
=1013
− 23−13
=2313
1 411∨1 5
0 11013
∨2313
0 4 17∨21
Luego -4 por fila 2 + fila 1
−4∗fila2=0−4−4013
−9213
fila1=14 1115
_________________________________
1 010313
10313
1 010313
∨10313
0 11013
∨2313
0 417113
∨15813
-4 por fila 2 + fila 3
−4∗fila2=0−4−4013
−9213
fila3=0 417 21
_________________________________
0 018113
18113
1 010313
∨10313
0 11013
∨2313
0 018113
∨18113
Fila multiplicada por 13/181
1 010313
∨10313
0 11013
∨2313
0 01∨1
-103/13| multiplicado por Fila 3 + fila 1
−10313
∗fila3=00−10313
−10313
fila1=1010313
10313
_________________________________
1 00 0
1 00∨0
0 11013
∨2313
0 01∨1
-103/13 multiplicado por fila 3 + fila 2
−10313
∗fila3=00−1013
−1013
fila2=111012
2313
_________________________________
0 10 1
1 00∨0−−−X
1 00∨0−−−Y
1 00∨0−−−Z
Este es el valor que toma cada variable en el sistema lineal
X = 0
Y= 1
Z= 1
Segunda parte
−7 x+2 y−z+4 w=10
3 x−5 y−2 z−w=−9
|−7 2−1 4|10|
|3−5−2−1|−9| f 2→f 2+−3−7
∗f 1
|−7 2−1 4|10|
|0 −297
−177
57|−97
7 | f 2→1
−29f 2
|−7 2−1 4|10|
|0 11729
−529 |−33
29 | f 1→f 1+(−2 )∗f 2
|−7 0−6329
12629 |224
29 |
|0 11729
−529 |−33
29 | f 1→1
−7f 1
|1 09
29−18
29 |−3229
∨¿
|0 11729
−529 |−33
29∨¿
|1 09
29−18
29 |−3229
∨¿
|0 11729
−529 |−33
29∨¿ x
y = -32/29
z -33/29
w
|x 09
29z−1829
w| = −3229
|0 y1729
z−529
w| −3329
1.
x+ 929
z−1829
w=−3229
2.
y+ 1729
z−−529
w=−3 329
Despejando de 1
x=−3229
− 929
z+ 1829
w
x= 129
(−32−9 z+18w)
Despejando de 2
y=−3229
−−1729
z+ 529
w
x= 129
(−33−17 z+5w)
El ejercicio puede presentar infinitas soluciones.
Segunda parte de la Actividad
Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que
prefiera para hallar A−1.
x− y−z=0
3 x− y+3 z=2
−x+z=−1
1−1−1∨1−1
3−13∨3−1
−1 01∨−1 0
El determinante es:
(1∗−1∗1 )+(−1∗3∗−1 )+ (−1∗3∗0 )− (−1∗−1∗−1 )−(0∗3∗1 )−(1∗3∗−1)
|A|=−1+3+1+3
|A|=6
Hallar los cofactores de los nueve elementos de a
A11=[−1 30 1]A12=[ 3 3
−1 1]A13=[ 3 −1−1 0 ]
A21=[−1 −10 1 ] A22=[ 1 −1
−1 1 ] A23=[ 1 −1−1 0 ]
A31=[−1 −1−1 3 ] A32=[1 −1
3 3 ] A33=[1 −13 −1]
La matriz de los cofactores de A es: [−1 6−1 0−4 6
−1−12 ]
A−1=16∗adjA [−1 6
−1 0−4 6
−1−12 ]
A−1=[−1/6 1−1/6 0−4/6 1
−1/6−1/62/6 ]
0+2−6=−6
0+0+6=6
0+2−2=0
−6−16=1−−−X
6+ 16=1−−−Y
2−06=0−−−Z
Conclusión:
X=1Y=1Z=0
Tercera parte de la Actividad.
Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:
Contiene los puntos R=(-6,6,1) y Q=(-10,2,-3) Las ecuaciones son las siguientes:
Ecuación paramétrica.
X=x1+at Y= y1+at Z=z1+at
Ecuación simétrica.
x−x1a
= y− y 1b
= z−z 1c
Se define el vector de los puntos R y Q (se restan los puntos de la siguiente manera)
v⃗=R⃗Q=(−10−(−6 ) ) i+(2−6 ) j+(−3−1)k
v⃗=R⃗Q=(−4 ) i+ (−4 ) j+(−4)k
Por lo tanto a=−4 , b=−4 , c=−4
X, Y, Z equivalen a los puntos R o Q
Ecuación paramétrica.
X=−6−4 tY=6−4 tZ=1−4 tEcuación simétrica.x+6−4
= y−6−4
= z−1−4
Contiene a P=(−5 ,0 ,8) y es paralela a la recta x−9−1
= y+3−6
= z−5−10
Se define el vector del punto P
xi+ yj+zk=−5 i+0 j−8k+ t(−1 i−6 j−10k )
Por lo tanto a=−1 , b=−6 , c=−10
X, Y, Z, equivalen al punto P
Ecuación paramétrica.
X=−5−1 tY=0−6 tZ=−8−10 t
Ecuación simétrica.x+5−1
= y−0−6
= z+8−10
Contiene a los puntos S= (1,−8 ,−2 ) ,Q=(−3 ,0 ,−8 ) yT=(5 ,−6 ,1)
Formamos los vectores S⃗Q y S⃗T
S⃗Q= (−3−1 ) i+ (0+8 ) j+(−8−1)k S⃗T=(5−1 ) i+(−6+8 ) j+(1−1)kS⃗Q= (−4 i+8 j−9k ) S⃗T=(4 i+2 j+0 k )
Ahora debemos hallar un vector que sea perpendicular a S⃗Q y S⃗T
S⃗Q∗S⃗T=[ i j−4 8
4 2
k−90 ]=i [8 −9
2 0 ]− j [−4 −94 0 ]+k [−4 8
4 2]¿18 i−36 j+40k¿18(x−x1)−36( y− y1)+40(z−z1)¿18 (x−(−3 ))−36 ( y−0 )+40 ( z−(−8 ) )¿18 ( x+3 )−36 ( y−0 )+40 ( z+8 )¿18 x+54−36 y+40 z+320¿18 x−36 y−40 z=−374 Ecuación general del plano
Contiene al punto Q= (−7,2,1 ) y tienecomovector normal a n⃗=−i−2 j+4 k
¿−1 ( x+7 )−2 ( y−2 )+4 ( z−1 )
¿−x−7−2 y+4+4 z−4¿−x−2 y+4 z=7−4+4¿−x−2 y+4 z=7 Ecuación general del plano
Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:
π1:−3 x−5 y+z=−2 y π 2:−9 x+7 y+3 z=−10
V=u∗vV= (−3 ,−5,1 )∗(−9,7,3 )
U⃗∗V⃗=[ i→
j→
u1 u2
v1 v2
K→
u3
v3]=[u2 u3
v2 v3] i→
−[u1 u3
v1 v3] j→
+[u1 u2
v1 v2] k→
V=u∗v=[ i j−3 −5−9 7
k13 ]
V= [ (−5 ) (3 )−(1 ) (7 ) ] i−[ (−3 ) (3 )−(1 ) (−9 ) ] j−[ (−3 ) (7 )−(−5 ) (−9 ) ] kV=−22i ,0 j ,66 kV=(−22 ,0,66)
Teniendo el vector director v, nos hace falta un punto común Q a ambos planos. Por eso damos un valor a la variable X, y obtenemos las otras dos.
El valor será X=1
Con el plano π1 :
π1:−3 x−5+z=−2
π1:−3−5 y+ z=−2
π1:−5 y+z=−2+3
π1:−5 y+z=1
Con el plano π2 :
π2:−9 x+7 y+3 z=−10
π2:−9+7 y+3 z=−10
π2:7 y+3 z=−10+9
π2:7 y+3 z=1
De esta manera queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, realizamos la operación,
−5 y+z=1 *77 y+3 z=−1 *5________________
−35 y+7 z=7 *735 y+15 z=−5 *5________________
0 22z = 222z = 2
z= 222
= 111
Despejamos Y
−5 y+z=1
−5 y+ 111
=1
−5 y=1− 111
−5 y=1 011
y=−1055
El punto común Q a ambos planos es:
Q=(1 ,−1055
,111
)
Hallamos la ecuación teniendo en cuenta que:
( x , y , z )=Q+t ( v )
( x , y , z )=(1,−1055
,1
11 )=(−22,0,66 )