TALLER N 4 DE PROBABILIDADES Y ESTADISTICA

TALLER N 4

PROBABILIDADES Y ESTADISTICA (Ingeniera)

1) Se lanza una serie de cohetes hasta que se obtiene el primer lanzamiento exitoso. Si esto no se logra, el experimento contina, caso contrario se detiene. Suponga que hay una probabilidad de 0,8 de obtener un lanzamiento exitoso y que los ensayos sucesivos son independientes.

a. Determinar la probabilidad de detener el experimento cuando el nmero de lanzamiento sea mltiplo de 3.

b. Si el jefe de pruebas decide detener el experimento al obtener 3 lanzamientos exitosos. Calcule la probabilidad de que se detenga el experimento al efectuar a lo menos cinco lanzamientos.

c. Un comprador de cohetes, recibe un lote de 50 unidades y este decide aceptar si al tomar una muestra de 5 cohetes y los lanza, a lo menos 2 resultan exitosos. Cul es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?

2) En una fbrica se examinan cada hora las piezas producidas por una mquina una a una hasta obtener una defectuosa. Si esto no se logra la mquina contina su produccin. Caso contrario se detiene el proceso para examinar la causa del defecto.

Supongamos que la mquina produce 1.5% de piezas defectuosas:

a. Cul es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar la 5 pieza?

b. Cul es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar ms de 3 piezas?

c. Si se exigieran 3 piezas defectuosas para detener la produccin. Cul ser la probabilidad de detener el proceso al examinar 6 piezas?

3) Se observa una fuente radiactiva durante 5 intervalos de 6 segundos de duracin cada uno y se cuenta el nmero de partculas emitidas durante cada perodo.

Suponiendo que el nmero de partculas, digamos X, durante cada perodo observado tiene una distribucin de Poisson con parmetro de intensidad 2,0 (es decir, las partculas son emitidas a razn de 0,3 partculas por segundo):

a. Cul es la probabilidad de que sean emitidas 3 o ms partculas?

b. Cul es la probabilidad de que al menos en dos de los 5 intervalos de tiempo, sean emitidas 3 o ms partculas?

4) En una fbrica se va a evaluar la efectividad de un programa de seguridad que requiere que algunos trabajadores seleccionados al azar usen zapato de seguridad. Durante el perodo de prueba se encuentra que el 2% de los trabajadores us zapatos de seguridad y sufri lesiones en los pies. Tambin encontr que el 46% no us zapatos de seguridad ni tuvo lesiones en los pies; adems de aquellos que usaron zapatos de seguridad el 5% tuvo lesiones en los pies.

a. Si se escogen 5 trabajadores al azar Cul es la probabilidad de que todos hayan usado zapatos de seguridad?

b. Si se elige una muestra de 400 trabajadores Cul es la probabilidad de que a lo menos 3 hayan usado zapatos de seguridad y sufrido lesiones en los pies?

c. De aquellos que tuvieron lesiones se escogen 10 al azar qu probabilidad hay de que al menos 2 hayan usado zapatos de seguridad?

5) El nmero de partculas emitidas por un trozo de material tiene una distribucin de Poisson con intensidad 2. Un investigador expuesto a dicha radiacin (sin saberlo) sufre trastornos visuales cuando radiacin recibida supera la intensidad de emisin .

a. Cul es la probabilidad de que un investigador no sufra trastornos visuales cuando est expuesto a la radiacin en el perodo antes sealado?

b. Suponga que 10 investigadores disponen cada uno de trozo del mismo material para estudiar sus cualidades Cul es la probabilidad de que por lo menos 2 de ellos sufran trastornos visuales?

6) Una muestra de 60 ampolletas se agrupan segn potencia X y vida til Y, obtenindose los siguientes resultados:

Se sabe que el fabricante garantiza a sus clientes una duracin mnima de 350 horas por ampolleta.

a. Si se eligen al azar 5 ampolletas Cul es la probabilidad de que por lo menos 2 cumplan con la garanta?

b. Si se eligen al azar 5 ampolletas de 60 Wats Cul es la probabilidad de que por lo menos 2 cumplan con la garanta?

7) Se observa una fuente radiactiva durante intervalos de 10 segundos de duracin cada uno y se cuenta el nmero de partculas emitidas durante cada periodo. Suponiendo que el nmero de partculas emitidas X, durante cada periodo observado sigue un modelo de Poisson con .

a. Determine la probabilidad de que de 7 intervalos observados, en 2 se emitan a lo ms 4 partculas, en 3 se emitan ms de 4 y menos de 8 partculas y en 2 se emitan a lo menos 8 partculas.

b. Si se observan intervalos de 10 segundos hasta que en 3 se emiten 8 o ms partculas. Determine la probabilidad de observar a lo menos 6 intervalos.

8) Supongamos que la razn de neumticos defectuosos en una fbrica es 4 en un milln de neumticos fabricados en un mes.

a. Si los neumticos se fabrican independientemente y mensualmente se producen 500000 neumticos:

i. Determine la probabilidad de que a lo ms 4 neumticos resulten defectuosos en un mes.

ii. Determine la probabilidad de que en un ao al menos en 2 meses resulten ms de 4 neumticos defectuosos.

b. Si se observa la produccin de neumticos mes a mes hasta que en 4 meses resultan a lo ms 4 neumticos defectuosos. Determine la probabilidad de tener que observar la produccin de a lo menos 6 meses.

9) Sea X v.a. continua con la siguiente funcin de densidad

a. Determine el valor de A para que sea funcin de densidad de probabilidades.

b. Determine .

c. Calcule .

10) Una industria produce neumticos cuya vida til K (en kilmetros) se relaciona con la temperatura T del medio en el cual sern utilizados, segn la siguiente ecuacin: . Si la temperatura T sigue un modelo normal de media 26 y varianza 6.76:

a. Encuentre la temperatura mnima del 25% de los neumticos que soportan las ms altas temperaturas.

b. Qu porcentaje de neumticos tiene una vida util entre 70000 y 100000 kilmetros?

c. Encuentre un intervalo que contenga el 90% central de la distribucin de la vida util de los neumticos.

11) Sea (U. Sea . Encuentre:

a.

b. E(Y) y V(Y).

c. La probabilidad de que Y no difiera de su valor esperado en ms de 0.08 unidades.

12) Sea X v.a.c. con funcin de densidad definida por:

a. Hallar

b. Hallar la funcin de densidad de .

c. Calcule E(Y) y V(Y).

d. Calcule .

13) La arista de cierto producto en forma de cubo (cerrado) que emite una fbrica tiene una distribucin uniforme en el intervalo . La cantidad Y de pintura (en litros) que se necesita para pintar cada cubo est dada numricamente por la relacin , donde L es un excedente por retoque, que ha sido estimado en 0.5 Lts.

a. Encuentre la funcin de densidad de Y.

b. Cul es la cantidad de pintura que se espera utilizar? Justifique.

c. Si los productos que utilizam ms de 6 litros de pintura se venden con recargo Cul es la probabilidad de que los productos tengan recargo en su valor?

14) Sea X v.a.c. con funcin de densidad

Sea .

a. Determine

b. La esperanza y varianza de Y.

c. Calcule .

15) Sea X v.a.c. con funcin de densidad normal de media 100 y varianza 9. Sea

a. Encontrar k tal que

b. Determine la funcin de cuanta de la nueva variable Y .

c. Calcule la esperanza y la varianza de Y .

16) Las longitudes de las barras de acero producidas por una fbrica es una variable aleatoria continua X con funcin de densidad normal con una media pies y una varianza pies.

a. Calcular .

b. Calcular el mximo valor del 25% inferior de las longitudes.

c. Determine el intervalo que contiene el 95% central de la distribucin de X.

d. Si se mantiene la varianza Cul debe ser la media de X para que las barras cortas constituyan el 0.1% ? Suponga que las barras son consideradas cortas si su longitud es menor a 30 pies.

e. Suponga que las barras son clasificadas como :

Tipo A : longitud mayor a 31.5 pies, Tipo B : longitud menor a 30.2 pies.

Si queremos que las barras del tipo A sean el 5% y la del tipo B sean el 2%

Cules deben ser los valores de y en la mquina ?

17) La figura siguiente representa la grfica de la f.d.a. de una v.a. X .

a. Calcular .

b. Calcular el valor de "a" si .

c. Calcular el valor de "b" si .

d. Calcular la varianza de X .

18) Si el largo de unos pernos es una variable aleatoria X que sigue un modelo normal de media 11 cms. y una varianza de 4 cms y el fabricante clasifica los pernos, segn su longitud, en tres categoras :

a. Si se pide una remesa de 2000 pernos Cuntos deberan venir de cada categora?.

b. Si se selecciona una muestra de 10 pernos de la produccin de la fbrica, determine la probabilidad de obtener 3 de la categora A, 5 de la categora B y 2 de la categora C.

c. Si el 10% de los pernos de mayor longitud son considerados demasiado largos y el 15% de los pernos de menor longitud son considerados demasiado cortos Entre qu longitudes un perno ser considerado correcto?.

d. Si se mantiene la varianza Cunto valdr la longitud media si los pernos de la categora C constituyen el 25% de la produccin?.

19) Supongamos que el dimetro X de un cable elctrico es una variable aleatoria continua con

EMBED Equation.3 a. Es una funcin de densidad de probabilidades? En caso negativo construya una funcin , de la forma , que tenga como factor a , de manera que sea una funcin de densidad de probabilidades.

b. Con la determinada en a) obtenga y grafquela.

c. Determinar el valor de "k" tal que

d. Si el precio de venta del cable depende de su dimetro. Especficamente, si el cable se vende a 8 dlares el metro; de otro modo, se vende a 5 dlares el metro.

e. Si el costo es de 2 dlares por metro, determine la utilidad neta esperada por metro.

20) Sea X variable aleatoria continua y X definida por:

a. Determine el valor de para que X sea funcin de densidad.

b. Determine la funcin de distribucin acumulada de X.

c. Calcule la probabilidad de que X sea mayor que 1.5.

d. Determine .

e. Si se hacen 3 observaciones independientes de X, determine la probabilidad de que a lo ms una sea mayor que 1.5.

f. Se hacen observaciones de X hasta que 4 son mayores que 1.5. Determine la probabilidad de tener que realizar a lo menos 6 observaciones.

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_1038168178.xlsHoja1

Potencia (X)

25406075Total

Vida til (Y)150-250371415

250-350592117

350-450826319

450-55051129

Total2119101060